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ボイル-シャルルの法則の導出
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ここでは、ボイルの法則とシャルルの法則からボイル-シャルルの法則を導く方法を、具体的に説明し
たいと思います。


大まかな方法
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最初に、導出方法をおおまかにお話します。次の図をご覧ください。

.. image:: tomi-boylecharle-fig2.png
   :align: center

ボイル-シャルルの法則を導く際、図中の三状態、 A、B、C間の移動を考えます。つまり、まず **圧力を一定に保ったまま** AからBへ移動し、次に **温度を一定に保ったまま** BからCへ移動する、という手法をとるのです。勘の良い方ならもうお分かりですね！ 
気体の三法則_ の中でお話ししたように、「圧力を一定に保った時」成立するのは *シャルルの法則* 、「温度を一定に保った時」成立す
るのは *ボイルの法則* です。ということは、これらの法則を順に適用していけば、ボイル-シャルルの法則を導くことができるわけです！

.. _気体の三法則: http://www12.plala.or.jp/ksp/thermo/threelawsofvapor/


シャルルの法則の適用
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では実際に導出していきましょう。上図の状態Aの時の気体の体積と温度をそれぞれ $V_{A},T_{A}$ 、状態Bの時の気体の体積と温度をそれ
ぞれ $V_{B},T_{B}$ とします。ここで $T_{i}(i=A,B)$ は 絶対温度_ です。気体の状態が圧力を一定に保ったままAからBに移動するので、
シャルルの法則より

<tex>
\frac{V_{A}}{T_{A}}=\frac{V_{B}}{T_{B}}
</tex>

すなわち

<tex>
V_{B}=V_{A}\frac{T_{B}}{T_{A}} \tag{1}
</tex>

が成り立ちます。


.. _絶対温度: http://hooktail.maxwell.jp/kagi/af9401e933f52baf82fb7815f3dfa2b1.html


ボイルの法則の適用
`````````````````````

次に、状態Bの時の気体の圧力を $P_{B}$ 、状態Cの時の気体の圧力と体積をそれぞれ $P_{C},V_{C}$ とします。気体の温度を一定に保っ
たままBからCに移動するので、ボイルの法則より

<tex>
P_{B}V_{B}=P_{C}V_{C} \tag{2}
</tex>

が成り立ちます。


ボイル-シャルルの法則へ
````````````````````````````````

いよいよボイル-シャルルの法則を導出します。式(1)を式(2)に代入してみましょう。すると、

<tex>
P_{B}V_{A}\frac{T_{B}}{T_{A}}=P_{C}V_{C}
</tex>

となります。これを整理すると、

<tex>
\frac{P_{B}V_{A}}{T_{A}}=\frac{P_{C}V_{C}}{T_{B}} \tag{3}
</tex>

となります。状態AからBへの移動では、圧力が一定なので $P_{A}=P_{B}$ 、状態BからCへの移動では、温度が一定なので $T_{B}=T_{C}$ 
です。これらを式(3)に代入すると、

<tex>
\frac{P_{A}V_{A}}{T_{A}}=\frac{P_{C}V_{C}}{T_{C}} \tag{4}
</tex>

が得られます。状態Aも状態Cも共に状態のある一点なので、 $P_{i},V_{i},T_{i}(i=A,C)$ はそれぞれ、ある特定の値であることがお分か
りいただけると思います。ゆえに式(4)は

<tex>
\frac{P_{A}V_{A}}{T_{A}}=\frac{P_{C}V_{C}}{T_{C}}=Const. \tag{5}
</tex>

となります。(ここで $Const.$ とは定数(constant)を表します)。この定数を $R$ とおくと [*]_ 式(5)は

<tex>
\frac{P_{A}V_{A}}{T_{A}}=\frac{P_{C}V_{C}}{T_{C}}=Const.=R \tag{6}
</tex>

となり、式(6)は任意の状態の圧力 $P$ 、体積 $V$ 、(絶対)温度 $T$ について

<tex>
\frac{PV}{T}=Const.=R \tag{7}
</tex>

が成り立っていることを表します。式(7)より、

<tex>
PV=RT \tag{8}
</tex>

とすることができます。式(8)は、ボイル-シャルルの法則、そのものですね！これで無事、導出が完了したことがわか
ります。

.. [*] この $R$ は、 *気体定数* と呼ばれるものです。気体定数の値を定める時、扱う気体の量は *1モル* であることが決まっています。詳しくは、関連記事 気体定数_ をご覧ください。

.. _気体定数: http://hooktail.maxwell.jp/kagi/6a3c21817209c18ae1b9b96fd7d8d133.html

@@author:トミー@@
@@accept:2006-03-28@@
@@category: 熱力学@@
@@reference: 戸田盛和・市村純, 物理入門コース/演習4 例解 熱・統計力学, 岩波書店, 1991, 6-7, 4000077945@@
@@id:boylecharle@@