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フレネル回折からみたレンズの公式
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天体望遠鏡で大口径のレンズが望まれるのはなぜでしょうか．ここではフレネル回折の性質を用いた
レンズの公式の導き方と開口部の影響の計算の仕方を紹介します．計算に作用素代数を用いているのが
特徴です．


フレネル回折の簡易モデル
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$z$ 軸方向に進む平面波が $xy$ 平面内に置かれた開口を通過するときのフレネル回折の式

<tex>
u'(x', y') = \frac{A}{i \lambda R} e^{i k R} \int\mspace{-11mu}\int 
g(x, y) e^{\frac{i k}{2 R} \{(x' - x)^2 + (y' - y)^2\}} dx dy
</tex>

から出発します[1]．ここで $u'(x', y')$ は点 $(x', y', R) (R > 0)$ における波面（のフェーザ），
$\lambda = \frac{2 \pi}{k}$ は波長， $g(x, y)$ は（開口部で 1，遮蔽部で 0 となる）開口関数です [*]_ ．


.. [*] $z$ 軸に垂直な平面波の波動は $A e^{i (\omega t - k z)}$ のように表されますが，
      時間変化を表す $e^{i \omega t}$ は空間内で共通なので，通常は残りの部分（フェーザ）
      だけを考えます．


$h(x, y) = e^{i \pi (x^2 + y^2) / \lambda R}$ とおくと，畳み込み積分

<tex>
(g * h)(x', y') = \int\mspace{-11mu}\int g(x, y) h(x' - x, y' - y) dx dy
</tex>

を使って $u'(x', y')$ を

<tex>
u'(x', y') = \frac{A}{i \lambda R} e^{i k R}(g * h)(x', y')
</tex>

と表すことができます．また
$h(x' - x, y' - y) = h(x', y') h(x, y) e^{- i 2 \pi (x' x + y' y) / \lambda R}$ ですから

<tex>
u'(x', y') = \frac{A}{i \lambda R} e^{ikR} h(x', y') \int\mspace{-11mu}\int 
g(x, y) h(x, y) e^{- i 2 \pi (x' x + y' y) / \lambda R} dx dy
</tex>

が成立します．すなわち $u'(x', y')$ は $g(x, y) h(x, y)$ の２次元フーリエ変換を $\lambda R$ 
倍に拡大した関数に $\frac{A}{i \lambda R} e^{i k R} h(x', y')$ をかけたものに等しくなります．
このことは $g(x, y)$ が文字の形に切り抜かれた開口でも，さらに開口の直前に適当な光学素子を
おいたとして $g(x, y)$ を複素数値の関数 $u(x, y)$ で置換したときでも変わりません． ただし，
フレネル近似が成立するためには $u(x, y)$ の 0 でない部分は $R$ に比べて十分小さいことが
必要です．

人が知覚したり，媒体に記録するのは波面 $u'(x', y')$ そのものでなく，強度分布 $|u'(x', y')|^2$ 
です．上記の式に含まれる $e^{ikR}$ は $x$, $y$ に依存しない定数なので，フレネル回折の簡易モデル
として，以下では

<tex>
u'(x, y) = \frac{1}{i \lambda R} (u * h)(x, y)
</tex>

を考えましょう（後述の光学素子も同様にモデル化します）．




２次元フーリエ変換の公式
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点 $(x, y)$ での値が $u(x, y)$ である関数 $u$ を，点 $(x', y')$ での値が

<tex>
u'(x', y') = \int\mspace{-11mu}\int u(x, y) e^{- i 2 \pi (x x' + y y')} dx dy
</tex>

である関数 $u'$ に変換する写像 $F$ を（２次元の）フーリエ変換といい， $u' = F u$ とかきます． 
$u'(x', y') = (F u)(x', y')$, $u'(x, y) = (F u)(x, y)$ です．一般に関数を関数に変換する写像を
作用素といいます．例えば微分作用素はある関数をその導関数に変換します．

$u$ を点 $(x, y)$ での値が $v(x, y) u(x, y)$ である関数や $u(x / a, y / a)$ である関数， 
$u(x - a, x - b)$ である関数に変換する写像も作用素です．以下ではこれらの作用素を $\{ v \}$, 
$M_a$, $S_{a,b}$ で表します．すなわち，

<tex>
(\{ v \} u)(x, y) = v(x, y) u(x, y) 
</tex>

<tex>
(M_a u)(x, y) = u(x / a, y / a)
</tex>

<tex>
(S_{a,b} u)(x, y) = u(x - a, y - b)
</tex>

です．ここで， $v$ は任意の関数， $a$, $b$ は任意の定数で，慣例に従って

<tex>
(a u + b v)(x, y) = a u(x, y) + b v(x, y)
</tex>

と考えます．また，以下でよく使う次の関数もここで定義しておきましょう．

<tex>
\theta _a (x, y) = e^{i \pi a (x^2 + y^2)}
</tex>

<tex>
\phi _{a,b} (x, y) = e^{i2 \pi (a x + b y)}
</tex>


よく知られているように，フーリエ変換について次の公式が成立します．

1. $F(v * u) = (F{v})(F u)$ したがって $v * u = F^{-1} \{ F v \} F u$ 

2. $F M_a = a^2 M_{1 / a} F$ 

3. $F S_{a,b} = \{ \phi _{-a, -b} \} F$, $S_{a,b} F = F \{ \phi _{a, b} \}$ 

4. $F^2 = M_{-1}$ したがって $F^4 u = u$, $F^{-1} u = F M_{-1} u$ 

5. $F \phi _{a,b} = S_{a,b} \delta$, $F \theta _{- a} = \{ \frac{1}{i a} \theta _{1 / a}$ 

ここで $\delta$ は

<tex>
\int\mspace{-11mu}\int v(x, y) \delta(x, y) dx dy = v(0, 0) , \hspace{2zw}
v(x, y) = 0 \hspace{1zw} ( (x, y) \neq (0, 0) )
</tex>

という性質をもつ２次元のデルタ関数です．これらの記号を用いると，簡易化したフレネル回折の
作用素 $D_{\lambda d}$ を

<tex>
D_{\lambda d} = F^{-1} \{ \theta _{- \lambda d} \} F
</tex>

で定義でき，さきに積分形式で示したように

<tex>
D_{\lambda d} = \frac{1}{i \lambda d} \{ \theta _{1 / \lambda d} \} 
M_{\lambda d} F \{ \theta_{1 / \lambda d} \} 
</tex>

が成立します． $D_{\lambda b} D_{\lambda a} = D_{\lambda (a + b)}$ であることは

<tex>
F^{-1} \{ \theta _{- \lambda b} \} F F^{-1} \{ \theta _{- \lambda a} \} F = 
F^{-1} \{ \theta _{- \lambda b} \theta _{- \lambda a} \} F = 
F^{-1} \{ \theta _{- \lambda (a + b)} \} F
</tex>

で容易に確認できます．




レンズの公式
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$z$ 軸方向の位相変化を無視すると，開口が十分に広く，焦点距離が $f$ である凸レンズの
機能は作用素 $\{ \theta _{- 1 / \lambda f} \}$ で表され，

<tex>
D_{ \lambda b} \{ \theta _{- 1 / \lambda f} \} D_{ \lambda a} = 
\left \{ \frac{1}{i \lambda b} \theta _{1 / \lambda b} \right \} 
M_b F \left \{ \frac{1}{i \lambda a} \theta _{1 / \lambda b} \theta _{- 1 / \lambda f} 
\theta _{1 / \lambda a} \right \} M_a F \{ \theta _{1 / \lambda a} \} 
</tex>

より， $\theta _{1 / \lambda b} \theta _{- 1 / \lambda f} \theta _{1 / \lambda a} = \theta _0$ 
すなわち

<tex>
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}
</tex>

であれば

<tex>
D_{\lambda b} \{ \theta _{- 1 / \lambda f} \} D_{\lambda a} = 
\left \{- \frac{a}{b} \theta _{1 / \lambda b} \right \} M_{- b / a} \{ \theta _{1 / \lambda a} \}
</tex>

<tex>
|( D_{\lambda b} \{ \theta _{- 1 / \lambda f} \} D_{\lambda a} u)(x, y)|^2 = 
\left| \frac{a}{b} u \left(- \frac{a}{b} x, - \frac{a}{b} y \right) \right|^2
</tex>

が成立します．これがレンズの公式です．

レンズの開口関数 $g$ を無視できないときは $u' = D_{\lambda a} \{ g \} D_{- \lambda a} u$ とおいて 
$g$ の影響を解析できます． 

<tex>
u' = \left \{ \frac{1}{i \lambda a} \theta _{1 / \lambda a} \right \} M_{\lambda a} F 
\left \{ - \frac{1}{i \lambda a} g \right \} M_{- \lambda a} F \{ \theta _{- 1 / \lambda a} \} u = 
\{ \theta _{1 / \lambda a} \} F^{-1} \{ M_{- 1 / \lambda a} g \} F \{ \theta _{- 1 / \lambda a} \} u 
</tex>

ですから， $u'$ は 
$u' = \{ \theta _{1 / \lambda a} \} (F M_{1 / \lambda a} g * \{ \theta _{- 1 /\lambda a} \} u)$ 
と表され，開口が狭くなると $F g$ がデルタ関数で近似できなくなり，畳み込み積分によって 
$\{ \theta _{- 1 / \lambda a} \} u$ がぼけてきます．これが大口径のレンズが望まれる理由です．

一般に $u'$ の強度分布は $u$ のコヒーレンシー（可干渉性）に依存します．線形の作用素 $T$ を
用いて $u' = T u$ と表される光学系に対して $K(x', y', x, y) = (T S_{x, y} \delta )(x', y')$ 
と定義しますと， $u$ の各点の位相が完全に同期している場合は

<tex>
| u'(x', y')|^2 = \left | \int\mspace{-11mu}\int K(x', y', x, y) u(x, y) dx dy \right |^2
</tex>

$u$ の各点の位相が完全にランダムの場合は

<tex>
| u'(x', y')|^2 = \int\mspace{-11mu}\int | K(x', y', x, y) |^2 | u(x, y) |^2 dx dy 
</tex>

で求められます．なお， $K(x', y', x, y) = K'(x' - x, y' - y)$ となる $K'$ が存在するとき 
$F K'$ を光学伝達関数といいます．



あとがき
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フーリエ光学に限らず，情報を変換する物理系や機器の機能を解析するとき，作用素を用いて
モデル化すると分かりやすくなることが少なくありません．このことを例示するのが本資料の
趣旨なので公式の証明は割愛しました．


@@reference: ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%8D%E3%83%AB%E5%9B%9E%E6%8A%98,フレネル回折@@
@@reference: ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%BA%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F,レンズの公式@@
@@reference: J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, Roberts & Company Publishers, 2004, , 0974707724@@


@@author: someone@@
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@@category: 波と振動@@
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