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フェルミオンの遅延グリーン関数の満たす式
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少しあいまいな点もあり、自信がありませんが、「物性論で遅延グリーン関数を扱うけど
なんでグリーン関数と言えるのか？」という疑問に答えたいと思います。

フェルミオンの遅延グリーン関数 $G_{ret}$ とは、greaterグリーン関数 $ G^{>} $ 、
lesserグリーン関数 $ G^{<} $ そしてシータ関数（階段関数とも） $ \Theta $ を用いて、

<tex>
G_{ret}(x_1,x_2) = \Theta(t_1-t_2)(G^{>}-G^{<}) \tag{##}
</tex>

と表されます。ここで、greater,lesser関数は、それぞれ、場の演算子 $ \psi(x) $ を用いて、

<tex>
G^{>}(x_1,x_2) = -i\langle \psi(x_1) \psi^\dagger(x_2) \rangle  \tag{##}
</tex>

<tex>
G^{<}(x_1,x_2) = i\langle \psi^\dagger(x_2) \psi(x_1) \rangle  \tag{##}
</tex>

となります。よって、

<tex>
G_{ret}(x_1,x_2) = -i \Theta(t_1-t_2)\langle \psi(x_1) \psi^\dagger(x_2) + \psi^\dagger(x_2) \psi(x_1) \rangle \tag{##}
</tex>

となります。場の演算子の時間発展は、 $\psi(t,x) = e^{-i \omega t} \psi(0,x) $ のように変化するので、結局式 $(4)$ は、

<tex>
G_{ret}(x_1,x_2) = -i \Theta(t_1-t_2) e^{-i \omega (t_1 - t_2)} \langle \psi(0,x_1) \psi^\dagger(0,x_2) + \psi^\dagger(0,x_2) \psi(0,x_1) \rangle \tag{##}
</tex>

これで、時間依存性があらわになりました。
では、時間微分を計算してみましょう。
交換関係は $\psi(x_1) \psi^\dagger(x_2) +\psi^\dagger(x_2) \psi(x_1) = \delta(x_1-x_2)$ ですから、
括弧式の平均を取ると、自信はありませんが、どうやら $\langle \psi(x_1) \psi^\dagger(x_2) +\psi^\dagger(x_2) \psi(x_1) \rangle = 1$ になるようです。(もしかしたら $\hbar$ の何乗かが掛かったりするかもしれません。 )

<tex>
G_{ret}(x_1,x_2) = - i \Theta(t_1-t_2) e^{-i \omega (t_1 - t_2)} \tag{##}
</tex>

<tex>
\partial_t G_{ret}(x_1,x_2) &= - i \delta(t_1-t_2) e^{-i \omega (t_1 - t_2)} \\
&- \omega \Theta(t_1-t_2) e^{-i \omega (t_1 - t_2)} \\
&=  -i \delta(t_1 - t_2) -i \omega G_{ret} \tag{##}
</tex>

なお、 $t_1-t_2=0$ でのみ値を持つδ関数を含む項に対しては、 $t_1 = t_2$ と置きました。
これは、少し変形してやれば、シュレーディンガー方程式に対するグリーン関数になっているようです。つまり、

<tex>
(i \hbar \dfrac{\partial}{\partial t_1} - \hbar \omega) G_{ret}(x_1,x_2) &=  \hbar \delta(t_1 - t_2) \tag{##}
</tex>

なんというか、右辺の $ \hbar $ が気になりますが、
これなら、確かにグリーン関数とは呼べなくもないですね。

それでは、今日はこの辺で。お疲れさまでした。

@@author:クロメル@@
@@accept:2013-11-04@@
@@category:量子力学@@
@@id:retGOfFermion@@