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フーリエ変換はある種のπ/2回転と見れること
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最近、フーリエ変換は回転の様なものだと別の二人の方からお聞きしました。
最初、何を言っているか分からなかったのですが、
流石に何度も聞くと「ちょっと考えてみるか」と言う気分になり考えてみて、
やっといい具体例が見つかったので記事にします。
あんまり説明は要らないと思うので、もっぱら数式を書いていきます。

フーリエ変換を何度も行う
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フーリエ変換を次の様に定めます。

<tex>
\hat{f}(k) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{ikx} dx \tag{##}
</tex>

ここで

<tex>
f_1(x) = e^{ik_0 x}  \tag{##}
</tex>

と置くと、

<tex>
\hat{f}_2(k) 
&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f_1(x) e^{ikx} dx \\
&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{i(k_0+k)x} dx \\
&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} 2 \pi \delta(k_0+k) dx \\
&= \sqrt{2 \pi} \delta(k_0+k) 
\tag{##}
</tex>

これで一回目です。次に変数の $k \to x$ の置き換えをしてフーリエ変換すれば、

<tex>
f_2(x) = \sqrt{2 \pi} \delta(x_0+x) \tag{##}
</tex>

<tex>
\hat{f}_3(k) 
&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f_2(x) e^{ikx} dx \\
&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty \sqrt{2 \pi} \delta(x+x_0) e^{ikx} dx \\
&= e^{-ikx_0}
\tag{##}
</tex>

となります。次に行きましょう！

<tex>
f_3(x) = e^{-i k_0 x} \tag{##}
</tex>

<tex>
\hat{f}_4(k) 
&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f_3(x) e^{ikx} dx \\
&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{i(k-k_0)x} dx \\
&= \sqrt{2 \pi} \delta(k-k_0)
\tag{##}
</tex>

ここで、敢えて $f_4$ ではなく $f_0$ とします。理由は後で分かります。すると、

<tex>
f_0(x) = \sqrt{2 \pi} \delta(x-x_0)
\tag{##}
</tex>

<tex>
\hat{f}_1(k) 
&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f_0(x) e^{ikx} dx \\
&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty \sqrt{2 \pi} \delta(x-x_0) e^{ikx} dx \\
&= e^{ikx_0} \tag{##}
</tex>

つまり、

<tex>
f_1(x) = e^{ik_0x} \tag{##}
</tex>

となり、これは式 $(2)$ ですね！

つまり、フーリエ変換は線形ですから、
任意の関数 $f(x)$ は積分核 $f_i(x) \ \ (i=0,1,2,3)$ のどれか一つの $i$ に属する関数だけの重ね合わせで書けます。
それぞれの積分核が4回で元に戻るので、これは $x$ と $k$ の入れ替えを除いて、

<tex>
\mathcal{F}^4[f(x)] = \mathcal{F}[\mathcal{F}[\mathcal{F}[\mathcal{F}[f(x)]]]] = f(x) \tag{##}
</tex>

であることを示しています。さらに言えば、二回のフーリエ変換では

<tex>
\mathcal{F}^2[f(x)] = \mathcal{F}[\mathcal{F}[f(x)]] = f(-x) \tag{##}
</tex>

が言えます。しかし、だからといって、

<tex>
\mathcal{F}[f(x)] \neq f(ix) \tag{##}
</tex>

であることにはご注意ください。この事により、確かにフーリエ変換というものは、虚数単位 $i$ の様に四回行うと元に戻るので $\pi/2$ 回転と似ていますね。

この話には続きがあって、整数回のフーリエ変換を実数回に拡張した話が 赤げふさんのページ_ に書いてあるので、興味がある方はご覧になられるといいと思います。今日はここまで、お疲れさまでした！

.. _赤げふさんのページ: http://akaghef.hateblo.jp/entry/2019/09/28/230643

@@author:クロメル@@
@@accept:2020-03-29@@
@@category:フーリエ解析@@
@@id:fourierAnotherPerspective@@