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フーリエ変換の三連続積と畳み込み積分の拡張
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以前、 相関関数と畳み込み積分のフーリエ変換_ でフーリエ変換の２つの積は、畳み込み積分になる
ことを学びましたが、それでは、３つの積はどうなるのでしょうか。短い記事です。

結論から言います。フーリエ変換すると３つの積になる関数は、

<tex>
f(t) &= (f_1 \ast (f_2 \ast f_3))(t) = \int_{-\infty}^\infty dt_1 f_1(t-t_1) (f_2 \ast f_3)(t_1) \\ 
&=\int_{-\infty}^\infty dt_1  f_1(t-t_1) \int_{-\infty}^\infty dt_2 f_2(t_1-t_2) f_3(t_2) \tag{##}
</tex>

という関数です。確かめてみましょう。上の式をフーリエ変換してみます。

<tex>
\mathcal{F} f(t) &= \int_{-\infty}^\infty dt e^{-i \omega t} \int_{-\infty}^\infty dt_1 \int_{-\infty}^\infty dt_2 f_1(t-t_1) f_2(t_1-t_2) f_3(t_2) \\
&= \int_{-\infty}^\infty dt_2 f_3(t_2) e^{-i \omega t_2} \int_{-\infty}^\infty dt_1 f_2(t_1-t_2) e^{-i \omega (t_1-t_2)} \int_{-\infty}^\infty dt f_1(t-t_1) e^{-i \omega (t-t_1)} \\
&= \int_{-\infty}^\infty dt_2 f_3(t_2) e^{-i \omega t_2} \int_{-\infty}^\infty d(t_1-t_2) f_2(t_1-t_2) e^{-i \omega (t_1-t_2)} \int_{-\infty}^\infty d(t-t_1) f_1(t-t_1) e^{-i \omega (t-t_1)} \\
&= \int_{-\infty}^\infty dt_2 f_3(t_2) e^{-i \omega t_2} \int_{-\infty}^\infty d(t_1-t_2) f_2(t_1-t_2) e^{-i \omega (t_1-t_2)} \mathcal{F} f_1(\omega) \\
&= \int_{-\infty}^\infty dt_2 f_3(t_2) e^{-i \omega t_2} \mathcal{F} f_2(\omega) \mathcal{F} f_1(\omega) \\
&= \mathcal{F} f_3(\omega) \mathcal{F} f_2(\omega) \mathcal{F} f_1(\omega) \tag{##}
</tex>

以上、今日はここまで。お疲れ様でした。

.. _相関関数と畳み込み積分のフーリエ変換: http://hooktail.sub.jp/fourieralysis/fourierCorre/

@@author:クロメル@@
@@accept:2012-10-31@@
@@category:フーリエ解析@@
@@id:3FourierConvo@@