============================================================
ヒルベルト変換とフーリエ変換
============================================================

(書体に関するバグがありまして、 $\hat{f}(\omega)$ と $\rm{\hat{f}(\omega)}$ は同じものです。)
ヒルベルト変換 $H$ とは、主値積分を $P$ とした時、その関数 $f$ への作用を,


<tex>
H[f(t)] = \dfrac{1}{\pi} P \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{f(t^\prime)}{t-t^\prime}dt^\prime \tag{##}
</tex>

というものです。これは符号関数

<tex>
 \ \rm{sgn}(\omega) = 
\begin{cases}
1 \ \ \ (\omega > 0) \\
0 \ \ \ (\omega = 0) \\
-1 \ \ \ (\omega < 0)
\end{cases}
\tag{##}
</tex>

と関数 $\hat{f}(\omega)$ (f(t)のフーリエ変換)の積 $-i  \ \rm{sgn}(\omega) \hat{f}(\omega)$ のフーリエ逆変換から自然に出てきます。

この記事では、

<tex>
\mathcal{F}^{-1}[-i  \ \rm{sgn}(\omega) \hat{f}(\omega)] &= H[f(t)] \\
\mathcal{F}\left[ H[f(t)] \right] &= -i  \ \rm{sgn}(\omega) \hat{f}(\omega)
</tex>

を示します。

結果がヒルベルト変換になる逆フーリエ変換
========================================================

実際、逆フーリエ変換を施してみましょう。以下では $t-t^\prime \neq 0$ とします。（ $t-t^\prime = 0$ の時ω積分は発散します）

<tex>
\mathcal{F}^{-1}[-i  \ \rm{sgn}(\omega) \hat{f}(\omega)]
&= \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega}{2 \pi} \left( -i  \ \rm{sgn}(\omega) \hat{f}(\omega) e^{i \omega t} \right) \\
&= \dfrac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^\infty d \omega  \ \rm{sgn}(\omega) e^{i \omega t} \left( P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime f(t^\prime) e^{-i \omega t^\prime} \right) \\
&= \dfrac{1}{2 \pi i} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime f(t^\prime) \left(  \int_{-\infty}^\infty d \omega  \ \rm{sgn}(\omega) e^{i \omega (t-t^\prime)} \right) \\
&= \dfrac{1}{2 \pi i} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime f(t^\prime) \left(  \int_0^\infty d \omega e^{i \omega (t-t^\prime)} - \int_{-\infty}^0 d \omega e^{i \omega (t-t^\prime)} \right) \\
&= \dfrac{1}{2 \pi i} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime f(t^\prime) \left( \left[ \dfrac{e^{i \omega (t-t^\prime)}}{i(t-t^\prime)} \right]_0^{\infty} - \left[ \dfrac{e^{i \omega (t-t^\prime)}}{i(t-t^\prime)} \right]_{-\infty}^0 \right) \\
&= \dfrac{1}{2 \pi i} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime f(t^\prime) \left( \dfrac{-2}{i(t-t^\prime)} \right) \\
&= \dfrac{1}{\pi} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime \dfrac{f(t^\prime)}{t-t^\prime} \\
&= H[f(t)] 
\tag{##}
</tex>

と、この様にヒルベルト変換が出てきました。

ヒルベルト変換のフーリエ変換
============================================

式 $(3)$ をフーリエ変換してみます。(主値積分とは積分記号に付くものではなく $t=t^\prime$ の時を除くと考えれば良さそうです。)

<tex>
\mathcal{F}\left[ H[f(t)] \right] 
&= \int_{-\infty}^\infty dt e^{-i \omega t} \dfrac{1}{\pi} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime \dfrac{f(t^\prime)}{t-t^\prime} \\
&= \dfrac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty d t^\prime e^{-i \omega t^\prime} f(t^\prime) \left( P \int_{-\infty}^\infty dt \dfrac{e^{-i \omega (t-t^\prime)}}{t-t^\prime} \right)
\tag{##}
</tex>

.. image :: chromel-HilbertTransform-01.png

式 $(4)$ の最終行の丸かっこ内の $t$ 積分を実行します。被積分関数を $\psi(t) = \dfrac{e^{-i \omega (t-t^\prime)}}{t-t^\prime}$ と置くと、 $\omega > 0,R \to \infty, \varepsilon \to +0$ の時、下半面で $C_R$ 積分はゼロになり（ジョルダンの補題）、 $C_{\varepsilon}$ は $t=t^\prime$ で時計回りに半周に対し、留数 $ x = \rm{Res}_{t = t^\prime} \psi(t)$ が反時計回りで一周なので、 $-x/2$ となります。（この証明は、下記参考文献のp.105にあります。）後は実軸上の直線部分が求めたい積分のマイナス一倍となります。この領域には極が含まれていないので、積分は一周してゼロです。つまり、

<tex>
&\left( \int_{C_R}dt + \int_{\infty}^{t+\varepsilon}dt + \int_{C_\varepsilon}dt + \int_{t-\varepsilon}^{-\infty}dt \right) \psi(t) = 0 \tag{##} \\
\\
\\
&P \int_{-\infty}^\infty dt \dfrac{e^{-i \omega (t-t^\prime)}}{t-t^\prime} \\
&= \left( \int_{-\infty}^{t-\varepsilon}dt + \int_{t+\varepsilon}^{\infty}dt \right) \psi(t) \\
&= \int_{C_\varepsilon} dt \psi(t) \\
&= - \dfrac{1}{2} 2 \pi i Res_{t=t^\prime} \psi(t) \\
&= - \pi i \lim_{t \to t^\prime} (t-t^\prime) \dfrac{e^{-i \omega (t-t^\prime)}}{t-t^\prime} \\
&= - \pi i
\tag{##}
</tex>

これと同様に $\omega<0$ の時の積分を行うと、 $\pi i$ が得られます。

よって、

<tex>
P \int_{-\infty}^\infty dt \dfrac{e^{-i \omega (t-t^\prime)}}{t-t^\prime} 
&= -\pi i  \ \rm{sgn}(\omega)
\tag{##}
</tex>

と分かります。（ $\omega = 0$ の時はどうしたものか？）
よって、式 $(4)$ の計算を続行すると、

<tex>
\mathcal{F}\left[ H[f(t)] \right] 
&= \dfrac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty d t^\prime e^{-i \omega t^\prime} f(t^\prime) \left( P \int_{-\infty}^\infty dt \dfrac{e^{-i \omega (t-t^\prime)}}{t-t^\prime} \right) \\
&= \dfrac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty d t^\prime e^{-i \omega t^\prime} f(t^\prime) \left( -\pi i  \ \rm{sgn}(\omega) \right) \\
&= -i \ \rm{sgn}(\omega) P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime e^{-i \omega t^\prime} f(t^\prime) \\
&= -i \ \rm{sgn}(\omega) \hat{f}(\omega)
\tag{##}
</tex>

となり、無事ヒルベルト変換のフーリエ変換が求まりました。

今日はここまで、お疲れさまでした！

@@reference: 渡部隆一、宮崎浩、遠藤静男　共著,改訂工科の数学４　複素関数論,培風館,1969,p105,4563005339@@

@@author:クロメル@@
@@accept:2020-03-11@@
@@category:物理数学@@
@@id:HilbertTransform@@