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ハミルトニアンとラグランジアンの全微分形
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この記事では、ハミルトニアンとラグランジアンの全微分形を確認します。
その後で、特に一粒子の調和振動子に対する表式を確認します。
ハミルトニアンの全微分形
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時間に依存しないハミルトニアンに対して、
正準方程式は、時間微分をドットで表すと、
\dot{q} = \dfrac{\partial H}{\partial p} \tag{##}
\dot{p} = - \dfrac{\partial H}{\partial q} \tag{##}
ですね。よって、ハミルトニアンの全微分は、
dH &= \dfrac{\partial H}{\partial q}dq + \dfrac{\partial H}{\partial p}dp \\
&= - \dot{p} dq + \dot{q} dp \tag{##}
となります。
ラグランジアンの全微分形
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式 $(3)$ にルジャンドル変換を行います。
L = p \dot{q} - H \tag{##}
ですから、
dL &= d(p \dot{q} - H) \\
&= p d \dot{q} + \dot{q} dp + \dot{p} dq - \dot{q} dp \\
&= p d \dot{q} + \dot{p} dq \tag{##}
となります。
調和振動子の場合
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調和振動子の運動方程式は、
m \ddot{q} = - k q \tag{##}
です。この関係を用いて、まずは $dH$ を $p,q$ で表します。 $ p= m \dot{q} $ より、
dH &= - \dot{p} dq + \dot{q} dp \\
&= - \dfrac{d}{dt}(m \dot{q}) dq + \dfrac{p}{m} dp \\
&= - m \ddot{q} dq + \dfrac{p}{m} dp \\
&= kq \ dq + \dfrac{p}{m} dp \tag{##}
とこの様になります。そして、ラグランジアンの方は、 $q,\dot{q}$ で表しますから、
dL &= p d \dot{q} + \dot{p} dq \\
&= m \dot{q} \ d \dot{q} + m \ddot{q} dq \\
&= m \dot{q} \ d \dot{q} -kq \ dq \tag{##}
となります。そして、これらの量は状態量であるので、
&\dfrac{\partial}{\partial p}\dfrac{\partial H}{\partial q}
- \dfrac{\partial}{\partial q} \dfrac{\partial H}{\partial p} \\
= &\dfrac{\partial}{\partial p} kq - \dfrac{\partial}{\partial q} \dfrac{p}{m} \\
= &0-0 = 0 \tag{##}
や、
&\dfrac{\partial}{\partial q}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}}
- \dfrac{\partial}{\partial \dot{q}} \dfrac{\partial L}{\partial q} = 0 \tag{##}
が成立し、適当な積分路で積分してやれば、積分路の端点 $(0,0) \to (p,q)\mathrm{or}(\dot{q},q)$ が同じである限り、
どんな積分路であろうとも、
H = \dfrac{p^2}{2m} + \dfrac{k}{2}q^2 \tag{##}
L = \dfrac{m}{2}\dot{q}^2 - \dfrac{k}{2}q^2 \tag{##}
となります。それでは今日はこの辺で。
@@author:クロメル@@
@@accept:2013-03-02@@
@@category:解析力学@@
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