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テンソル記号を使ってベクトルの公式を導く
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微分演算子の演算（ $grad,div,rot, \triangle$ ）を、テンソル記号を用いて表わすと次のようになります。添字は $i=1,2,3$ 等とし、同じ添字が二回出てきた場合（二乗を含む）は、縮約によってその添字の総和を取るものとします。
\bm{A} \cdot \bm{B} = A_{i}B_{i} \tag{1}
(\bm{A} \times \bm{B})_{i} = \varepsilon_{ijk} A_{j}B_{k} \tag{2}
({\rm grad} f)_{i} = \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \tag{3}
{\rm div}\bm{A} = \frac{\partial A_{i}}{\partial x_{i}} \tag{4}
({\rm rot} \bm{A})_{i} = \varepsilon_{ijk} \frac{\partial A_{k}}{\partial x_{j}} \tag{5}
{\triangle} f = \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{i}} \tag{6}
({\triangle} \bm{A})_{i} = \frac{\partial^{2} A_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} \tag{7}
式 $(1)-(7)$ は計算の基本になりますから、自分でスラスラ書けないと困ります。各式の左辺の意味がわかっていれば、テンソル記号表記の右辺を導くのは簡単だと思います。また、クロネッカーのデルタやレヴィ・チヴィタ記号の公式も必要になりますので、ここに紹介しておきます。
\delta_{ii}=3 \tag{8}
\delta_{ij} \varepsilon_{ijk} = 0 \tag{9}
\varepsilon_{imn} \varepsilon_{jmn} = 2\delta_{ij} \tag{10}
\varepsilon_{ijk} \varepsilon_{ijk} = 6 \tag{11}
\varepsilon_{ijk} \varepsilon_{lmk} = \delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl} \tag{12}
\varepsilon_{ijk} \varepsilon_{lmn} = \delta_{il}(\delta_{jm}\delta _{kn}-\delta_{jn}\delta_{km}) - \delta_{im}(\delta_{jl}\delta_{kn}-\delta_{jn}\delta_{kl})+ \delta_{in}(\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}) \tag{13}
.. [*] この記事の内容と基本的に同じもので、より 本格的に解説した資料_ を、愛媛大学元教授・矢野忠先生から御寄稿頂きましたので、ぜひ併せてご覧下さい。矢野先生、どうもありがとうございました。
例題
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例題として、 よくある間違い_ で使った次の公式を導いてみましょう。
\nabla \times (\nabla \times \bm{V}) = \nabla (\nabla \cdot \bm{V}) - \triangle \bm{V}
まず左辺をテンソル記号で表記します。ベクトル $\nabla \times \bm{V}$ の第 $k$ 成分をテンソルでまず $(\nabla \times \bm{V})_{k}=\varepsilon_{klm}\frac{\partial V_{m}}{\partial x_{l}}$ と書くところから始めましょう。添字は巡回的に $k,l,m$ の順だとします。頑張って、もう一度 $\nabla \times$ を作用させ、 $\nabla \times (\nabla \times \bm{V})$ の第 $i$ 成分を表わします。添字は巡回的に $i,j,k$ の順だとします。
(\nabla \times (\nabla \times \bm{V}))_{i}=\varepsilon_{ijk} \frac{\partial}{\partial x_{j}}\left( \varepsilon_{klm}\frac{\partial V_{m}}{\partial x_{l}} \right)
すでに頭がこんがらがっている人がいるかも知れませんが、式 $(5)$ を使っただけです。添字が混ざらないようにすることだけに注意して下さい。以下、一行ごとにコメントと式変形を交互に書いていきます。まず $\varepsilon_{klm}$ を外に出します。
= \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{klm} \frac{\partial^{2} V_{m}}{\partial x_{j} x_{l}}
式 $(12)$ が使えるように、 $\varepsilon_{klm}$ を $\varepsilon_{lmk}$ にします。 $(klm) \rightarrow (lmk)$ は偶置換なので符号は変わりません。
= \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{lmk} \frac{\partial^{2} V_{m}}{\partial x_{j} x_{l}}
式 $(12)$ を使います。
= (\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl}) \frac{\partial^{2} V_{m}}{\partial x_{j} x_{l}}
= \delta_{il}\delta_{jm}\frac{\partial^{2} V_{m}}{\partial x_{j} x_{l}} - \delta_{im}\delta_{jl}\frac{\partial^{2} V_{m}}{\partial x_{j} x_{l}}
クロネッカーのデルタの作用を考えますが、出来る限り $lm$ を消して $ijk$ に統一する方向で整理します。
= \frac{\partial^{2} V_{j}}{\partial x_{j} x_{i}} - \frac{\partial^{2} V_{i}}{\partial x_{j}^{2}}
式 $(1)(3)$ より第一項目は $(\nabla (\nabla \cdot \bm{V}))_{i}$ 、式 $(7)$ より第二項は $-(\triangle \bm{V})_{i}$ と書き直すことができます。公式が証明できました。
=(\nabla (\nabla \cdot \bm{V}) -\triangle \bm{V})_{i}
練習問題
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練習問題として、次の公式をテンソル記号を使って導いてください。テンソル記号をすらすら使うには、ある程度の馴れが必要ですが、馴れてくれば、半ば自動的に公式を導けます。
1. $\nabla \times (\bm{A} \times \bm{B})= (\bm{B} \cdot \nabla )\bm{A} - (\bm{A} \cdot \nabla )\bm{B} -\bm{B}(\nabla \cdot \bm{A}) + \bm{A}(\nabla \cdot \bm{B})$
2. $\bm{A} \times (\nabla \times \bm{A})= \frac{1}{2}\nabla |\bm{A}|^2 - (\bm{A} \cdot \nabla )\bm{A}$
3. $\bm{A} \times (\nabla \times \bm{B})= \nabla (\bm{A}\cdot \bm{B}) - (\bm{A} \cdot \nabla )\bm{B}- (\bm{B} \cdot \nabla )\bm{A} -\bm{B} \times (\nabla \times \bm{A}) $
.. _よくある間違い: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/CommonMistake/
.. _本格的に解説した資料: http://www12.plala.or.jp/ksp/lib/Levi-Civita.pdf
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: VectorFormulaeByTensor@@