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オイラー方程式
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剛体の回転シーリズ第７弾です。前の記事は 加速度座標系と慣性力_ です。
次の記事は テニスラケットの定理_ です。

オイラー方程式
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オイラー方程式を導きます。オイラー方程式というのは、
回転する座標系からみた、回転の変化を調べる方程式です。
角速度 $\bm{\omega}$ で回転する座標から見た角運動量は
ベクトルですので、 加速度座標系と慣性力_ で
導いた式 $(1)$ を適用できます。

つまり、任意のベクトル $\bm{A}$ に成り立つ式
<tex>
\frac{d \bm{A}}{dt}=\frac{\delta \bm{A}}{\delta t}
+ \bm{\omega} \times \bm{A} \tag{##}
</tex>

で、 [*]_  $\bm{A}$ に角運動量ベクトル $\bm{L}$ を代入してやって、

.. [*]  $\frac{\delta \bm{A}}{\delta t}$ とは、回転座標系からみた見かけの変化ベクトルでした。

<tex>
\frac{d \bm{L} }{dt} = \frac{\delta \bm{L}}{\delta t} 
+ \bm{\omega} \times \bm{L} \tag{##}
</tex>

ここで、 慣性モーメント_ で書いた
慣性主軸を座標系として採用すると、
<tex>
\bm{L} 
&= I_I \bm{\omega} \\ 
&= \begin{pmatrix}
I_1 & 0 & 0 \\
0 & I_2 & 0 \\
0 & 0 & I_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\omega_1 \\
\omega_2 \\
\omega_3
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

よって、
<tex>
\begin{pmatrix}
L_1 \\
L_2 \\
L_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
I_1 \omega_1 \\
I_2 \omega_2 \\
I_3 \omega_3
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

ここで、 角運動量_ の式 $(3)$ を思い出しますと 、

<tex>
\bm{N} &= \frac{d \bm{L}}{dt} \\

&=
\frac{\delta \bm{L}}{\delta t} + \bm{\omega} \times \bm{L} \\

&=
\begin{pmatrix}
I_1 \frac{\delta \omega_1}{\delta t} \\
I_2 \frac{\delta \omega_2}{\delta t} \\
I_3 \frac{\delta \omega_3}{\delta t}
\end{pmatrix}
+
\bm{\omega} \times \bm{I_I \bm{\omega}} \\

&=
\begin{pmatrix}
I_1 \dot{\omega}_1 \\
I_2 \dot{\omega}_2 \\
I_3 \dot{\omega}_3
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
\omega_2 I_3 \omega_3 - \omega_3 I_2 \omega_2 \\
\omega_3 I_1 \omega_1 - \omega_1 I_3 \omega_3 \\
\omega_1 I_2 \omega_2 - \omega_2 I_1 \omega_1
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
I_1 \dot{\omega}_1 + (I_3 - I_2) \omega_3 \omega_2 \\
I_2 \dot{\omega}_2 + (I_1 - I_3) \omega_1 \omega_3 \\
I_3 \dot{\omega}_3 + (I_2 - I_1) \omega_2 \omega_1
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

となります [*]_ 。

.. [*] ここで、 加速度座標系と慣性力_ の式 $(4)$ の次にくる式、 $\frac{d \bm{\omega}}{dt}=\frac{\delta \bm{\omega}}{\delta t}=\dot{\bm{\omega}} $ を用いました。

長くなったのでこの式をもう一度書きなおすと、

<tex>
\begin{pmatrix}
N_1 \\
N_2 \\
N_3
\end{pmatrix} 
&=
\begin{pmatrix}
I_1 \dot{\omega}_1 + (I_3 - I_2) \omega_3 \omega_2 \\
I_2 \dot{\omega}_2 + (I_1 - I_3) \omega_1 \omega_3 \\
I_3 \dot{\omega}_3 + (I_2 - I_1) \omega_2 \omega_1
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

となります。この式 $(6)$ をオイラー方程式と呼びます。
次回は、このオイラー方程式を用いて、
テニス・ラケットの定理と言うものを導きます。

ちなみに慣性主軸以外の静止座標系（上の議論と区別する
ため $^\ast$ をつける。）から見た回転の方程式は、

<tex>
\begin{pmatrix}
N_1 \\
N_2 \\
N_3 
\end{pmatrix}&= \frac{d \bm{L}}{dt} \\
&= \frac{d}{dt}
\begin{pmatrix}
I_{11} & I_{12} & I_{13} \\
I_{21} & I_{22} & I_{23} \\
I_{31} & I_{32} & I_{33} 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\omega_1^\ast \\
\omega_2^\ast \\
\omega_3^\ast
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

となりますが、慣性モーメント $I$ が時間変化するため、
複雑になってしまいます。

続きは こちら_ 

@@reference: V.D.バーガー・M.G.オルソン,力学 ‐新しい視点に立って‐,培風館,1975,p192,4563021318@@


.. _加速度座標系と慣性力: http://hooktail.sub.jp/mechanics/acCoordinates/
.. _テニスラケットの定理: http://hooktail.sub.jp/mechanics/tennisRacket/
.. _こちら: http://hooktail.sub.jp/mechanics/tennisRacket/
.. _慣性モーメント: http://hooktail.sub.jp/mechanics/momentOfInertia/
.. _角運動量: http://hooktail.sub.jp/mechanics/angularMomentum/


@@author:クロメル@@
@@accept:2009-10-03@@
@@category:力学@@
@@id:eulerEquation@@