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オイラーの公式
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さりげなく多用されているオイラーの公式は，複素数と実数の橋渡しとしてかなり重要です．
オイラーの公式はつぎの形をしています．

.. _eq1:
<tex>
e^{iax}=\cos(ax)+i\sin(ax) \tag{1}
</tex>

ここで， $i$ は虚数単位， $a$ は定数， $x$ は変数です．
この公式は知らないととても困る上に恥ずかしいので，憶えておかなければなりません．


導いてみる
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$e^{iax}$ をべき級数展開するとつぎのようになります．

.. _eq2:
<tex>
e^{iax} &= 1+\frac{i(ax)}{1!}-\frac{(ax)^2}{2!}-\frac{i(ax)^3}{3!}
           +\frac{(ax)^4}{4!}+\frac{i(ax)^5}{5!}-\frac{(ax)^6}{6!}-\frac{i(ax)^7}{7!}+\cdots\\
        &= \left(1-\frac{(ax)^2}{2!}+ \frac{(ax)^4}{4!}-\frac{(ax)^6}{6!}+\dots\right)
           +i\left(\frac{(ax)}{1!}-\frac{(ax)^3}{3!}+\frac{(ax)^5}{5!}-\frac{(ax)^7}{7!}+\cdots\right) \tag{2}
</tex>

とりあえず $e^{iax}$ はこういうふうに展開できるのだと思っておいてください．
虚数単位 $i$ が入っているので， $i$ で括っています．
$i$ でくくった方が虚数部分，もう一方が実数部分です．

`式(2)`_ と `式(1)`_ のオイラーの公式を比べて見ると，実数部分が $\cos(ax)$ で，
虚数部分が $\sin(ax)$ なんでしょ，という気持ちになってきます．
その通りで $\cos(ax)\, , \sin(ax)$ のべき級数はそれぞれつぎのようになります．

.. _eq3:
<tex>
\cos(ax) = 1-\frac{ax^2}{2!}+\frac{ax^4}{4!}-\frac{ax^6}{6!}+\dots \tag{3}
</tex>

.. _eq4:
<tex>
\sin(ax) = \frac{ax}{1!}-\frac{ax^3}{3!}+\frac{ax^5}{5!}-\frac{ax^7}{7!}+\dots \tag{4}
</tex>

`式(3)`_ と `式(4)`_ を `式(2)`_ に代入すると，オイラーの公式

<tex>
e^{iax} = \cos(ax)+i\sin(ax)
</tex>

が得られます．なんだかだまされたような感じですが，とりあえずオイラーの公式は導けました．


使いみち
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「 $e$ の肩に虚数単位 $i$ が乗っていたら， $\sin$ と $\cos$ で表現できる」
ということを肝に命じておきましょう． $i$ に負号がついて $-i$ になったときは，
$sin\, , \cos$ で表したときの $i$ の符号が変わるだけです．

<tex>
e^{iax} &= \cos(ax)+i\sin(ax)\\
e^{-iax} &= \cos(ax)-i\sin(ax)
</tex>

また，上の2つの式を足し合わせると普通の $\sin\, , \cos$ を
$e$ を使って表すことができます．

$e^{iax}+e^{-iax}=2\cos(ax)$ より $\cos(ax)=\frac{e^{iax}+e^{-iax}}{2}$

$e^{iax}-e^{-iax}=2i\sin(ax)$ より $\sin(ax)=\frac{e^{iax}-e^{-iax}}{2i}$

この関係も活躍するので憶えておくといいですね．


.. _式(1): #eq1
.. _式(2): #eq2
.. _式(3): #eq3
.. _式(4): #eq4


@@author:崎間@@
@@accept:2004-05-10@@
@@category:物理数学@@
@@id:euler@@