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エルミート行列とユニタリー行列の関係
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量子力学でもお馴染みの話です。
エルミート行列 $H$ ならば、ユニタリー行列 $U$ で挟むことによって対角化し、対角行列 $ \Lambda = U^\dagger H U $ とできます。
では、逆にユニタリー行列 $U$ で対角化できる行列 $A$ は、エルミート行列しかないの？
という疑問に答えるのがこの記事です。簡単の為、３次行列で話を進めます。

条件を整理する
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列ベクトル $\bm{x}_1,\bm{x}_2,\bm{x}_3$ をユニタリー行列の成分とします。
つまり、

<tex>
U = \begin{pmatrix} 
 &  &  \\
\bm{x}_1 & \bm{x}_2 & \bm{x}_3 \\
 &  &  
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

です。すると、その逆行列は、エルミート共役(共役転置)をダガー $\dagger$ で表すと、

<tex>
U^{-1}=U^\dagger = \begin{pmatrix} 
 & \bm{x}_1^\dagger &  \\
 & \bm{x}_2^\dagger &  \\
 & \bm{x}_3^\dagger &  
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

となります。対角化された行列を次のように $\Lambda$ とします。

<tex>
\Lambda = \begin{pmatrix} 
\lambda_1 &  &  \\
 & \lambda_2 &  \\
 &  & \lambda_3 
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

さあ、準備ができた
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すると、 正方行列の三連続積の展開_ でやったように、
行列を展開 [*]_ できます。

.. [*] どうやらこれを、スペクトル展開と呼ぶようです。

<tex>
A &= U \Lambda U^{-1} \\
&= \lambda_1 \bm{x}_1 \bm{x}_1^\dagger + \lambda_2 \bm{x}_2 \bm{x}_2^\dagger + \lambda_3 \bm{x}_3 \bm{x}_3^\dagger \\ 
&= \sum_{i=1}^3 \lambda_i \bm{x}_i \bm{x}_i^\dagger \tag{##}
</tex>

この $\bm{x}_i \bm{x}_i^\dagger$ はダイアド積と呼ばれる積です。
具体的に

<tex>
\bm{x} = \begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta \\
\gamma 
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

と置くと、 $\ast$ を複素共役とするなら、

<tex>
\bm{x}\bm{x}^\dagger &= 
\begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta \\
\gamma 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha^\ast & \beta^\ast & \gamma^\ast 
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
|\alpha|^2 & \alpha \beta^\ast & \alpha \gamma^\ast \\
\alpha^\ast \beta & |\beta|^2 & \beta \gamma^\ast \\
\alpha^\ast \gamma & \beta^\ast \gamma & |\gamma|^2 
\end{pmatrix} \\
&= (\bm{x}\bm{x}^\dagger)^\dagger \tag{##}
</tex>

となり、見事にこれは、エルミート行列の条件、 $ H=H^\dagger $ を満たすことが分かります。
その和である $A$ も当然、エルミート行列です。

つまり、ユニタリー行列で対角化できるならば、その行列 $A$ はエルミート行列であることが分かりました。 [*]_ 

.. [*] さらに強く言うなら、エルミート行列はユニタリー行列（別の言い方では、ユニタリー行列とは複素「正規」直交行列です。） $\begin{pmatrix} \bm{x}_1 & \bm{x}_2 & \cdots &  \bm{x}_n \end{pmatrix}$ ではなく、任意の複素数 $\omega_i$ を各列に掛けた複素直交行列 $\begin{pmatrix} \omega_1 \bm{x}_1 & \omega_2 \bm{x}_2 & \cdots & \omega_n \bm{x}_n \end{pmatrix}$ (ただし、その逆行列は $\begin{pmatrix} \omega_1^{-1} \bm{x}_1^\dagger \\ \omega_2^{-1} \bm{x}_2^\dagger \\ \vdots \\ \omega_n^{-1} \bm{x}_n^\dagger \end{pmatrix}$ )でも、以上の議論は成立します。

今日はこの辺で、お疲れさまでした。

.. _正方行列の三連続積の展開: http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/3matrixProduct/

@@author:クロメル@@
@@accept:2013-04-20@@
@@category:物理数学@@
@@id:herUni@@