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なぜ子供は転びやすいのか
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剛体の力学シリーズ番外編１です。
小さい子がよく転ぶのをみて考えてみました。
大人になるとつまづいても転びにくくなりますよね。
それはなぜかに答えます。
必要知識は、 慣性モーメント_ あたりまでの知識をもっていることが望ましいです。


転ぶ人を倒れる棒として考える
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題のとおりです。
転ぶ人を倒れる棒として考えます。
長さが違う棒を倒すとき、
長いほど遅く倒れるのだろうと予想しました。
実際に確かめてみましょう。

モデルは、一方を自由に回転できように固定した、
密度が一様な質量 $m$ 、長さ $l$ 棒とします。
固定されているのは、摩擦力のせいです。
棒の慣性モーメントを $I$ 、地面の法線と棒のなす角を $\theta$ とします。

回転運動の方程式は、

<tex>
\frac{dL}{dt}=N
</tex>

つまり、もっと詳しく書くと 
$L=I \dot{\theta}(=I \omega)$ （上のドットは時間微分）ですから、
<tex>
I \ddot{\theta} =N \tag{##}
</tex>
となる訳です。

まず、 $I$ を計算します。 $\rho=\frac{m}{l}$ を棒の密度とすれば、

<tex>
I &= \int_0^l \rho r^2 dr \\
&= [ \frac{\rho r^3}{3} ]_0^l \\
&=\frac{\rho l^3}{3} \\
&= \frac{ml^2}{3} \tag{##}
</tex>

ですね。

そして、剛体に働くトルクの合計 $N$ を求めます。
棒の固定端から、 $r$ の距離にある微小質量 $\rho dr$ にかかる重力による微小トルク $dN= r (\rho dr)g \sin \theta $ を積分します。
<tex>
N &= \int dN \\
&= \int_0^l r (\rho dr) g \sin \theta \\
&= [\frac{\rho g r^2 \sin \theta}{2}]_0^l \\
&= \frac{mgl \sin \theta}{2} \tag{##}
</tex>

では、準備ができたので、式 $( 2 )$ と式 $( 3 )$ を式 $( 1 )$ に代入して整理してみましょう。
<tex>
\frac{ml^2}{3} \ddot{\theta} = \frac{mgl}{2} \sin \theta
</tex>

<tex>
\ddot{\theta} = \frac{3g}{2l} \sin \theta \tag{##}
</tex>

式 $( 4 )$ を見ると、見事に回転の加速の速さは、
質量に関係せず、短いほど速いことがわかります。

または言い方を変えると、
棒の端点の動く速度の速度増加率は、両辺に $l$ をかければ出てきて、
棒の長さによらないことが分ります。速度は同じであって、
一方、端点の描く軌跡は、棒が長いほど長いですから、
倒れるまでの時間は、長くなるわけです。

よって、体重には関係なく背が高いほど転び方がゆっくりになるので、
大人はつまずいても姿勢を戻せるわけですね。

前に、ティラノサウルスは転んだらその衝撃で、死んでしまうのではないかという仮説が
聞きましたが、それだけ大きければそうとう転ぶまでに時間がかかるので、
転びにくかったのではないでしょうか。

以上、小ネタでした。


.. _慣性モーメント: http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/momentOfInertia/

@@author:クロメル@@
@@accept:2007-10-17@@
@@category:力学@@
@@id:speedFallingDown@@