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exp(ix^2)のガウス積分
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ファインマンの経路積分で何気なく使っていたので、
確かめてみました。短いです。

<tex>
I = \int_{-\infty}^\infty e^{ix^2} dx \tag{##}
</tex>

と置きます。

すると、収束因子として、 $\delta \to +0$ を用いて、

<tex>
I^2 &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{i(x^2+y^2)} dx dy \\
&= \int_{0}^\infty dr \int_0^{2 \pi} d \theta r e^{i r^2} \\
&= [\dfrac{e^{ir^2}}{2i}]_0^\infty [\theta]_0^{2 \pi} \\
&= \lim_{\delta \to +0} [\dfrac{e^{ir^2- \delta r}}{2i}]_0^\infty [\theta]_0^{2 \pi} \\
&= \dfrac{-1}{2 i}2 \pi \\
&= i \pi \tag{##}
</tex>

となり、
よって、

<tex>
I &= \int_{-\infty}^\infty e^{ix^2} dx \\
&= \sqrt{i \pi} \tag{##}
</tex>

ですね。なるほど、

<tex>
J &= \int_{-\infty}^\infty e^{- \alpha x^2} dx \\
&= \sqrt{\pi/\alpha} \tag{##}
</tex>

ですから、この $\alpha$ に $-i$ を代入したものに一致するのですね。
それでは、今日はこの辺で。お疲れ様でした。

@@author:クロメル@@
@@accept:2013-07-07@@
@@category:物理数学@@
@@id:ix2Gauss@@