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divの座標変換不変性
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ベクトル解析で出てくるdiv（ダイバージェンス、発散）は、
他のデカルト座標系では果たして不変なのかということを
調べてみました。

次の記事は、 rotの座標変換_ です。

divの表式
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ベクトル $\bm{A}$ に対して、 $\textrm{div}$ は以下のように
表わされます。

<tex>
\textrm{div}\bm{A}= \frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z} \tag{##}
</tex>


これから、あるデカルト座標系 $S$ のベクトル $\bm{A}$ の別のデカルト座標系 $S^\prime$ への変換を求めていきます。
実直交な変換行列を $U$ と書くと、

<tex>
\begin{pmatrix}
A_x \\
A_y \\
A_z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
u_{11} & u_{12} & u_{13} \\
u_{21} & u_{22} & u_{23} \\
u_{31} & u_{32} & u_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A_x^\prime \\
A_y^\prime \\
A_z^\prime
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

実直交の行列 $U$ の逆行列 $U^{-1}$ は、転置（ $^T$ と表す）したものに等しい $U^T=U^{-1}$ から、
位置座標 $\bm{r}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ 
の変換行列は、
（下式はプライム $^\prime$ の位置が逆変換なのに注意。つまり、下の式は行列 $U$ が転置行列であって、
式 $(2)$ と式 $(3)$ の変換性は同じ。）


<tex>
\begin{pmatrix}
x^\prime \\
y^\prime \\
z^\prime
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
u_{11} & u_{21} & u_{31} \\
u_{12} & u_{22} & u_{32} \\
u_{13} & u_{23} & u_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

ここで、偏微分の座標変換を求めると、

<tex>
\frac{\partial}{\partial x} &= \frac{\partial}{\partial x^\prime} \  \frac{\partial x^\prime}{\partial x}
+\frac{\partial}{\partial y^\prime} \  \frac{\partial y^\prime}{\partial x}
+\frac{\partial}{\partial z^\prime} \  \frac{\partial z^\prime}{\partial x} \\
&= u_{11}\frac{\partial}{\partial x^\prime} 
+u_{12}\frac{\partial}{\partial y^\prime}
+u_{13}\frac{\partial}{\partial z^\prime} \tag{##}
</tex>

等という関係があるから、それを行列でまとめると、

<tex>
\begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial x} \\
\frac{\partial}{\partial y} \\
\frac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
u_{11} & u_{12} & u_{13} \\
u_{21} & u_{22} & u_{23} \\
u_{31} & u_{32} & u_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial x^\prime} \\
\frac{\partial}{\partial y^\prime} \\
\frac{\partial}{\partial z^\prime}
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

となります。

本題
===============

いよいよ、divの公式、式 $(1)$ に式 $(2)$ と式 $(5)$ を代入します。

<tex>
\textrm{div}\bm{A} &= 
\begin{pmatrix} 
\frac{\partial}{\partial x}
\frac{\partial}{\partial y}
\frac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A_x \\
A_y \\
A_z
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial x} \\
\frac{\partial}{\partial y} \\
\frac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix}^T
\begin{pmatrix}
A_x \\
A_y \\
A_z
\end{pmatrix} \\
&=\Biggl(
\begin{pmatrix}
u_{11} & u_{12} & u_{13} \\
u_{21} & u_{22} & u_{23} \\
u_{31} & u_{32} & u_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial x^\prime} \\
\frac{\partial}{\partial y^\prime} \\
\frac{\partial}{\partial z^\prime}
\end{pmatrix}
\Biggr)^T
\begin{pmatrix}
u_{11} & u_{12} & u_{13} \\
u_{21} & u_{22} & u_{23} \\
u_{31} & u_{32} & u_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A_x^\prime \\
A_y^\prime \\
A_z^\prime
\end{pmatrix} \\
&= 
\begin{pmatrix} 
\frac{\partial}{\partial x^\prime}
\frac{\partial}{\partial y^\prime}
\frac{\partial}{\partial z^\prime}
\end{pmatrix}
\  U^T \ U \ 
\begin{pmatrix}
A_x^\prime \\
A_y^\prime \\
A_z^\prime
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} 
\frac{\partial}{\partial x^\prime}
\frac{\partial}{\partial y^\prime}
\frac{\partial}{\partial z^\prime}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A_x^\prime \\
A_y^\prime \\
A_z^\prime
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

となり、めでたく座標変換に対する不変性が示せました。
それでは、今日はこの辺で。

続きは こちら_ 。

.. _rotの座標変換: http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/rotAnotherCoordinates/
.. _こちら: http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/rotAnotherCoordinates/

@@author:クロメル@@
@@accept:2010-01-08@@
@@category:ベクトル解析@@
@@id:divAnotherCoordinates@@