============================================================ SU(2)のリー群とリー環について ============================================================ この記事ではパウリ行列 \sigma_1 &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \tag{##} \\ \sigma_2 &= \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \tag{##} \\ \sigma_3 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \tag{##} とリー群 $SU(2)$ 、リー環 $\mathfrak{su}(2)$ の関係についてまとめます。 記号は パウリ行列のwikipedia_ に合わせます。 リー環について ======================= リー環 $\mathfrak{su}(2)$ はリー群のパラメータの無限小変化量に当たります。 （後で示すので、まだわからなくて大丈夫です。） これが、パウリ行列を使うとうまく表せます。 今回はパウリ行列をそのまま使わないで、ちょっと小細工をして、 全てに $\dfrac{1}{2i}$ を掛けます。 すると、 X_1 = \dfrac{1}{2i} \sigma_1 &= \begin{pmatrix} 0 & \dfrac{1}{2i} \\ \dfrac{1}{2i} & 0 \end{pmatrix} \tag{##} \\ X_2 = \dfrac{1}{2i} \sigma_2 &= \begin{pmatrix} 0 & -\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} \tag{##} \\ X_3 = \dfrac{1}{2i} \sigma_3 &= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2i} & 0 \\ 0 & -\dfrac{1}{2i} \end{pmatrix} \tag{##} となります。これらがリー環 $\mathfrak{su}(2)$ の全ての基底 です。 $\dfrac{1}{2i}$ を掛けると何がうれしいかというと、交換子 $[A,B]=AB-BA$ について、 [X_1,X_2] =X_3 \tag{##} \\ [X_2,X_3] =X_1 \tag{##} \\ [X_3,X_1] =X_2 \tag{##} ときれいな関係になります。だから何？と言われそうですが、この辺のことに関しては EMANさんの解説_ を見るといいんじゃないでしょうか？ 特殊ユニタリー群 $SU(n)$ に対応するリー環 $\mathfrak{su}(n)$ の元 $X$ は一般に \mathrm{Tr}(X) = 0 \tag{##} \\ X^\dagger = -X \tag{##} を満たします。上付きの $\dagger$ は物理よりの書き方で、複素共役を取って転置したものを 表します。 $X_1,X_2,X_3$ がこれらの関係を満たすことを確認してみてください。 この性質(式(10)と式(11))を言葉でいうと、トレースがゼロの歪エルミート行列と言います。 リー群について ======================== リー群の元 $g$ とはリー環の元 $X_i$ の線形結合の指数関数を取ったものです。 行列(例えば $A$ とする)の指数関数ということで、 $I$ を単位行列として、 \exp A = I + \dfrac{A}{1!} + \dfrac{A^2}{2!} + \dfrac{A^3}{3!} + \dfrac{A^4}{4!} + \cdots \tag{##} となります。ここで $x_1 = x, x_2 = y, x_3 = z, r = \sqrt{x^2_1 + x^2_2 + x^2_3}$ として、 X &= \sum_{i=1}^3 x_i X_i \\ &= \dfrac{1}{2i} \sum_{i=1}^3 x_i \sigma_i \\ &= \dfrac{1}{2i}\begin{pmatrix} z & x-iy \\ x+iy & -z \end{pmatrix} \\ &\equiv \dfrac{1}{2i} \Psi \tag{##} ここで( $\equiv$ )は $\Psi$ の定義を示すものと します。 $\Psi^2 = r^2 I$ です。 ここで、リー環の指数関数を取ってリー群の元 $g$ を求めてみましょう。 g &= \exp \left( \dfrac{1}{2i} \Psi \right) \\ &= I + \dfrac{1}{1!}(\dfrac{1}{2i}) \Psi + \dfrac{1}{2!}(\dfrac{1}{2i})^2 \Psi^2 + \dfrac{1}{3!}(\dfrac{1}{2i})^3 \Psi^3 + \cdots \\ &= \left( I - \dfrac{1}{2!}(\dfrac{r}{2})^2 I + \dfrac{1}{4!}(\dfrac{r}{2})^4 I \cdots \right) \\ &+ \dfrac{1}{2i} \left( \Psi - \dfrac{1}{3!}(\dfrac{r}{2})^2\Psi + \dfrac{1}{5!}(\dfrac{r}{2})^4\Psi - \cdots \right) \\ &= \cos \left( \dfrac{r}{2} \right) + \dfrac{1}{2i} \dfrac{2}{r} \left( \Psi - \dfrac{1}{3!}(\dfrac{r}{2})^3\Psi + \dfrac{1}{5!}(\dfrac{r}{2})^5\Psi - \cdots \right) \\ &= \cos \left( \dfrac{r}{2} \right) + \dfrac{1}{ir} \sin \left( \dfrac{r}{2} \right) \Psi \\ &= \cos \left( \dfrac{r}{2} \right) - \dfrac{i}{r} \sin \left( \dfrac{r}{2} \right) \Psi \tag{##} よって、 $g$ の成分表示をすると、 g = \begin{pmatrix} \cos(r/2) -(i/r)\sin(r/2)z & -(i/r)\sin(r/2)(x-iy) \\ -(i/r)\sin(r/2)(x+iy) & \cos(r/2) +(i/r)\sin(r/2)z \end{pmatrix} \tag{##} ここで、 $i$ 以外は実数ですから、 $\alpha = \cos(r/2) -(i/r)\sin(r/2)z$ 、 $\beta = -(i/r)\sin(r/2)(x+iy)$ と置くと、 g = \begin{pmatrix} \alpha & -\beta^\ast \\ \beta & \alpha^\ast \end{pmatrix} \tag{##} ここで $\ast$ は複素共役です。 SU(2)の定義 ======================== 一方で、 $SU(2)$ の定義として、 X^\dagger X &= I \tag{##} \\ \mathrm{det} X &= 1 \tag{##} となります。この定義に従った元が式(16)と一致することを見ましょう。 式(17)から、 X^\dagger X &= \begin{pmatrix} \alpha^\ast & \beta^\ast \\ \gamma^\ast & \delta^\ast \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} |\alpha|^2 + |\beta|^2 & \alpha^\ast \gamma + \beta^\ast \delta \\ \alpha \gamma^\ast + \beta \delta^\ast & |\gamma|^2 + |\delta|^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} \tag{##} また、式(18)から、 \mathrm{det} X &= \alpha \delta - \beta \gamma \\ &=1 \tag{##} よって、式(19)と(20)より、 \alpha \delta - \beta \gamma &= 1 \tag{##} \\ \alpha^\ast \gamma + \beta^\ast \delta &= 0 \tag{##} この連立方程式を行列で書くと、 \begin{pmatrix} -\beta & \alpha \\ \alpha^\ast & \beta^\ast \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \gamma \\ \delta \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \tag{##} ここで式 $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ を使って 、 $\gamma,\delta$ について解くと、 \begin{pmatrix} \gamma \\ \delta \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{|\alpha|^2 + |\beta|^2} \begin{pmatrix} -\beta^\ast & \alpha \\ \alpha^\ast & \beta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -\beta^\ast \\ \alpha^\ast \end{pmatrix} \tag{##} よって、 g &= \begin{pmatrix} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha & -\beta^\ast \\ \beta & \alpha^\ast \end{pmatrix} \tag{##} となり、式(16)に一致することがわかりました。 さて、僕がこの記事を書く切っ掛けを話しておきます。 式(25)について、今までの変数の設定をリセット して、 $\alpha = w+iz,\beta = i(x+iy)$ とします。 すると、式(25)は g = \begin{pmatrix} w+iz & i(x-iy) \\ i(x+iy)& w-iz \end{pmatrix} \tag{##} この形はリー環と似ています。 g = w \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + ix \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} +iy \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} +iz \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \tag{##} なんだ？パウリ行列に $i$ が掛かっている？ 単位行列も加わっているぞ？なんて、混乱されないでください。 あくまでこれがリー群 $SU(2)$ の元の一般形であって、 パウリ行列 $\sigma_i$ とより強く関係しているのは、リー環 $\mathfrak{su}(2)$ の方 です。まあ、 $X_i$ にした時に $-i/2$ を掛けていますけれどね。 ややこしいですけれど、リー環では単位行列は含まないのは決定的な違いです。 また、式(25)について $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$ は注意です。 リー環トレースゼロの反エルミート行列 $X$ に対応する のは、リー群デターミナント１のユニタリー行列 $g$ って訳ですね。 最後に =========================== ちょっと話が変わりますが、自分が確かなイメージを持っている例で、 リー群の無限小変化がリー環になる。と言うことを説明します。 リー環 $H$ として、リー群の元 $g = \exp (-iHt)$ を対応 させます。 $H$ とした理由は量子論のハミルトニアンを意識しています。 ここで $g$ から $H$ を求めるには、 $\left. \dfrac{dg}{dt} \right|_{t=0} = -iH$ として求まるわけ です。 $\exp (-iHt) = I -i \dfrac{1}{1!}Ht - \dfrac{1}{2!}H^2t^2 + i \dfrac{1}{3!}H^3t^3 + \cdots$ ですから、 テイラー展開の1次の項を求めているわけです。 つまり、リー群のパラメータ $t$ の微小変化の接線（1次変化）の変化方向をリー環と呼んでいるわけです。 それでは今日はここまで、お疲れさまでした！ .. _パウリ行列のwikipedia: https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%82%A6%E3%83%AA%E8%A1%8C%E5%88%97 .. _EMANさんの解説: http://eman-physics.net/math/lie07.html @@author:クロメル@@ @@accept:2018-09-29@@ @@category:微分・位相幾何学@@ @@id:lieGandRsu2@@