単純な記事ソース/図形を不変にする滑らかな流れの生成法
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#rst2hooktail_source
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単純な図形を不変にする滑らかな流れの生成法
=========================================================...
この記事では、便利なベクトル場を生成する手法を論じます。
大雑把な話ですが、なかなか興味深いと思います。
いきなりの本題
=================
二次元平面上に2つの連続な陰関数
<tex>
f_1(x,y) = c_1 \\
f_2(x,y) = c_2 \tag{##}
</tex>
があるとします。
これは簡単に解釈すると、それぞれ境界で囲まれたある有界な...
値を増す関数が左辺で、その等高線を指定するのが右辺の定数...
もちろん離れるにしたがって負に増大する場合はありますが、...
その場合は全体にマイナスを掛ければいいからです。
ここで、関数 $f_i(x,y) - c_i$ は、それがゼロになる集合で...
領域の内側と外側では、必ず正のみか、負のみになり、混じる...
なぜなら、混じっているなら、その領域間に境界が存在するは...
ここで、 $c_1,c_2$ を固定して、動くパラメータ $C$ を考え...
下を考えてみましょう。
<tex>
(f_1(x,y) - c_1)(f_2(x,y) - c_2) = C \tag{##}
</tex>
これって、 $C=0$ の時は左辺の積の因子 $f_1(x,y) - c_1$ (...
面白いのはここからです。 $C$ を正負に動かしてみると、 $\G...
曲線群になります。ここで、 $\Gamma_1$ から近い $\Gamma_2$...
みると、 $C$ が正になった時、 $f_1(x,y) - c_1$ が小さいの
で、 $\Gamma_2$ からはある程度離れた点でもある点で、式 $(...
一方、 $\Gamma_1$ から大きく離れると、 $\Gamma_2$ はほと...
具体例
=========
5つほど、上げておきます。(数式可視化ソフトのdesmosを使う...
(1)双曲線
<tex>
|x||y| = C \tag{##}
</tex>
(2)四直線に沿う曲線群
<tex>
(|x|-1)(|y|-1) = C \tag{##}
</tex>
カッシーニの卵型( $\ell = a$ ではレムニスケート)
<tex>
((x-a)^2+y^2)((x+a)^2+y^2)=\ell^4 \tag{##}
</tex>
非対称なカッシーニの卵型
<tex>
((x-2)^2+y^2)((x+2)^2+y^2-1)= C \tag{##}
</tex>
便利なツールとして
==========================
これベクトル場で良い感じのを取ってくるのに使えますね。
手計算ではなかなか複雑ですが、数値計算なら有効な手法かと...
つまり、曲線の法線ベクトルを求める手法である外微分
(これは一形式なので、それからベクトル場にしたもの)をとっ...
それに直交した曲線に沿うベクトルを容易に得ます。(単純な...
法線ベクトル場 $X$ は、 $\psi = (f_1(x,y) - c_1)(f_2(x,y)...
<tex>
X = \dfrac{\partial \psi}{\partial x}\dfrac{\partial}{\pa...
</tex>
接線ベクトル場 $Y$ は、
<tex>
Y = -\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\dfrac{\partial}{\p...
</tex>
となります。どうです?なかなか便利そうな手法ではありませ...
今日はここまで。お疲れさまでした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2021-04-17@@
@@category:微分・位相幾何学@@
@@id:getNewFlow@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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単純な図形を不変にする滑らかな流れの生成法
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この記事では、便利なベクトル場を生成する手法を論じます。
大雑把な話ですが、なかなか興味深いと思います。
いきなりの本題
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二次元平面上に2つの連続な陰関数
<tex>
f_1(x,y) = c_1 \\
f_2(x,y) = c_2 \tag{##}
</tex>
があるとします。
これは簡単に解釈すると、それぞれ境界で囲まれたある有界な...
値を増す関数が左辺で、その等高線を指定するのが右辺の定数...
もちろん離れるにしたがって負に増大する場合はありますが、...
その場合は全体にマイナスを掛ければいいからです。
ここで、関数 $f_i(x,y) - c_i$ は、それがゼロになる集合で...
領域の内側と外側では、必ず正のみか、負のみになり、混じる...
なぜなら、混じっているなら、その領域間に境界が存在するは...
ここで、 $c_1,c_2$ を固定して、動くパラメータ $C$ を考え...
下を考えてみましょう。
<tex>
(f_1(x,y) - c_1)(f_2(x,y) - c_2) = C \tag{##}
</tex>
これって、 $C=0$ の時は左辺の積の因子 $f_1(x,y) - c_1$ (...
面白いのはここからです。 $C$ を正負に動かしてみると、 $\G...
曲線群になります。ここで、 $\Gamma_1$ から近い $\Gamma_2$...
みると、 $C$ が正になった時、 $f_1(x,y) - c_1$ が小さいの
で、 $\Gamma_2$ からはある程度離れた点でもある点で、式 $(...
一方、 $\Gamma_1$ から大きく離れると、 $\Gamma_2$ はほと...
具体例
=========
5つほど、上げておきます。(数式可視化ソフトのdesmosを使う...
(1)双曲線
<tex>
|x||y| = C \tag{##}
</tex>
(2)四直線に沿う曲線群
<tex>
(|x|-1)(|y|-1) = C \tag{##}
</tex>
カッシーニの卵型( $\ell = a$ ではレムニスケート)
<tex>
((x-a)^2+y^2)((x+a)^2+y^2)=\ell^4 \tag{##}
</tex>
非対称なカッシーニの卵型
<tex>
((x-2)^2+y^2)((x+2)^2+y^2-1)= C \tag{##}
</tex>
便利なツールとして
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これベクトル場で良い感じのを取ってくるのに使えますね。
手計算ではなかなか複雑ですが、数値計算なら有効な手法かと...
つまり、曲線の法線ベクトルを求める手法である外微分
(これは一形式なので、それからベクトル場にしたもの)をとっ...
それに直交した曲線に沿うベクトルを容易に得ます。(単純な...
法線ベクトル場 $X$ は、 $\psi = (f_1(x,y) - c_1)(f_2(x,y)...
<tex>
X = \dfrac{\partial \psi}{\partial x}\dfrac{\partial}{\pa...
</tex>
接線ベクトル場 $Y$ は、
<tex>
Y = -\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\dfrac{\partial}{\p...
</tex>
となります。どうです?なかなか便利そうな手法ではありませ...
今日はここまで。お疲れさまでした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2021-04-17@@
@@category:微分・位相幾何学@@
@@id:getNewFlow@@
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