執筆中/ドップラー効果3(pulsar著)
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#rst2hooktail_source
=========================================================...
ドップラー効果3
=========================================================...
音源が $x$ 軸上,観測者が $xy$ 平面上をを等速度運動をして...
について考えましょう.波面の時間変化を図に明示するように...
同一直線上を等速度運動する場合については tomo さんの分か...
ありますので,まずそちらをご覧ください.
一般の場合も相対速度で考えますか?
=========================================================...
以下では,音速を $V$ ,時刻 $t$ における音源(source)の...
$\bm r_{\rm s}(t)=(v_{\rm s}t, 0)$ ,観測者(observer)の...
$\bm r_{\rm o}(t)=(d - v_{\rm o}t \cos \theta, v_{\rm o}t...
時刻 $t$ での音源の振動を
<tex>
g(t) = A \cos 2 \pi \frac{t}{T} \hspace{2zw} \left( f_{\r...
</tex>
とすると,時刻 $t_1$ に音源から出た音の波面(位相が等しい...
$\bm r_{\rm s}(t_1)$ ,半径が $V \cdot (t - t_1) \hspace{...
球面となって空間に拡がります.この波面が観測者に届く時刻...
$t_1$, $t_2$ の間には
<tex>
| \bm r_{\rm o}(t_2) - \bm r_{\rm s}(t_1) | = V \cdot (t_...
</tex>
という関係が成立しているはずです.また $t_1 + T$ に音源か...
観測者に届く時刻を $t_3$ とおくと, $t_3 - t_2$ が観測者...
(振動数の逆数)になります.
.. figure:: pulsar-Doppler3-Fig1.gif
$x$ 軸上の同位相の点
一般に,時刻 $t_1$, $t_2$ に観測者と同じ波面が届く $x$ 軸...
上図のような円弧と $x$ 軸の交点で求まりますが,
<tex>
| v_{\rm o} t \sin \theta | \ll | d - v_{\rm s} t |
</tex>
のときは,これらの円弧を $x$ 軸に垂直な線分とみなすと [*]...
観測者が聴く音の振動数 $f_{\rm o}$ の近似式
<tex>
f_{\rm o} \simeq \frac{V + v_{\rm o} \cos \theta}{V - v_{...
</tex>
が得られます.この式を導くとき,通常 $v_{\rm o}$ によって...
として説明しています.この説明は波面を平面波で近似できる...
上図から予想できるように,平面波で近似しないときまで相対...
つかなくなります.
.. [*] $| v_{\rm o} | > 0$, $0 < \theta < \pi$ として,右...
左辺を高さとする三角形を考えてください.
同一直線上を移動するときの時空間モデル
=========================================================...
ここでは一般化のための準備として,「相対速度」を考えない...
であるとした)モデルで $\theta = 0$ のときのドップラー効...
$xy$ 平面上に波面を描いた図はドップラー効果の本質を理解す...
通常は一つの時刻における波面しか表していないので(二つの...
だけでも左側の図のように見にくくなります),波面が時間的...
頭の中で想像しなければなりません.しかし,観測者が聴く音...
周期)を求める計算では, $x$ 軸上の波の位相だけを考えれば...
$x$ 軸と垂直に $t$ 軸をとって $x$ 軸上の波の位相の時間的...
モデルを考えます.
.. figure:: pulsar-Doppler3-Fig2.gif
$x$ 軸上の波面の時間変化
分かりやすいように,この図では $t < 0$ で出された音の波面...
運動でなくても同じように考えてよいことを強調するために,...
図の白丸は波面の位相が $\pi$ の偶数倍,黒丸は $\pi$ の奇...
隣接する白丸(あるいは黒丸)間の距離が波長を, $t$ 軸方向...
間の距離が音源の出す音の周期を表しています(半周期の整数...
点線上の位相はすべて白丸,またはすべて黒丸です).音源が ...
音源より右側の波長が長くなり,左側の波長が短くなっている...
この図を時空間モデルということにしましょう.
.. figure:: pulsar-Doppler3-Fig3.gif
時空間モデルによる公式の導出
上図は音源,観測者が最初に述べた等速度運動しているときの...
$v_{\rm s}t$ のグラフ,右端の斜線は $(d - v_{\rm o}t)$ の...
音源のすぐそばにいるとした非現実的な場合を描いていますが...
聴く音の周期を求めるには,観測者の軌跡を図の破線の位置ま...
$x$ 軸上の線分とこの破線上の線分を2辺とする二つの相似な...
<tex>
\frac{T}{T_{\rm o}} = \frac{(V - v_{\rm s}) T + (v_{\rm s...
\frac{V + v_{\rm o}}{V - v_{\rm s}}
</tex>
が成立することはただちに分かります.これがよく知られたド...
あれば,観測者が等速度で運動していないときでも $T_{\rm o}...
で考えるとどうでしょう?
観測者が聴く音の周期の求め方
=========================================================...
最初に説明したように, $x$ 軸上に $\bm r_{\rm o}(t)$ と同...
が分かれば,(短い区間では等速度で運動していると近似して...
ことができます.
.. figure:: pulsar-Doppler3-Fig4.gif
$x$ 軸上の同位相の点を用いた周期の計算
$t_1$ が与えられたとき,
<tex>
| \bm r_{\rm o}(t_2) - \bm r_{\rm s}(t_1) | = V \cdot (t_...
</tex>
となる $\bm r_{\rm o}(t_2) \hspace{1zw} (t_2 = t_1 + \tau...
<tex>
\left| \frac{\bm r_{\rm o}(t_1 + \tau) - \bm r_{\rm s}(t_...
{\bm r_{\rm o}(t_1 + \tau) - \bm r_{\rm o}(t_...
\frac{V \tau}{v_o \tau}
</tex>
より, $\bm r_{\rm o}(t_2)$ は2点 $\bm r_{\rm s}(t_1)$, ...
距離の比が $V : v_o$ となるアポロニウスの円と観測者の軌跡...
したがって, $\bm r_{\rm x}(t_2)$ は,中心が $\bm r_{\rm ...
$| \bm r_{\rm s}(t_1) - \bm r_{\rm o}(t_2) |$ の円と $x$ ...
通常は $V \ll | v_o |$ なので, $t_1 < t <t_2$ の付近では...
軌跡を直線で近似すると前述の方法で時刻 $t_2$ に観測者が聴...
この近似の誤差が大きいときは, $t_1$ より少し前の時刻 $t_...
$t_2$ に対応する時刻 $t_4$ を求めて $t_4 < t <t_2$ の付近...
により,精度を上げることができます.
あとがき
=========================================================...
本資料で述べた一般化に実用的価値はあまりありませんが,モ...
所属学会の研究会で発表した内容を補足して紹介しました.与...
解く際に,何が本質的に重要かを考える一例として参考になれ...
@@reference: www12.plala.or.jp/ksp/wave/dopplerEffect1/,...
@@reference: www12.plala.or.jp/ksp/wave/dopplerEffect2/,...
@@author: pulsar@@
@@accept: 2009-11-15@@
@@category: 波と振動@@
@@id: dpl3@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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ドップラー効果3
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音源が $x$ 軸上,観測者が $xy$ 平面上をを等速度運動をして...
について考えましょう.波面の時間変化を図に明示するように...
同一直線上を等速度運動する場合については tomo さんの分か...
ありますので,まずそちらをご覧ください.
一般の場合も相対速度で考えますか?
=========================================================...
以下では,音速を $V$ ,時刻 $t$ における音源(source)の...
$\bm r_{\rm s}(t)=(v_{\rm s}t, 0)$ ,観測者(observer)の...
$\bm r_{\rm o}(t)=(d - v_{\rm o}t \cos \theta, v_{\rm o}t...
時刻 $t$ での音源の振動を
<tex>
g(t) = A \cos 2 \pi \frac{t}{T} \hspace{2zw} \left( f_{\r...
</tex>
とすると,時刻 $t_1$ に音源から出た音の波面(位相が等しい...
$\bm r_{\rm s}(t_1)$ ,半径が $V \cdot (t - t_1) \hspace{...
球面となって空間に拡がります.この波面が観測者に届く時刻...
$t_1$, $t_2$ の間には
<tex>
| \bm r_{\rm o}(t_2) - \bm r_{\rm s}(t_1) | = V \cdot (t_...
</tex>
という関係が成立しているはずです.また $t_1 + T$ に音源か...
観測者に届く時刻を $t_3$ とおくと, $t_3 - t_2$ が観測者...
(振動数の逆数)になります.
.. figure:: pulsar-Doppler3-Fig1.gif
$x$ 軸上の同位相の点
一般に,時刻 $t_1$, $t_2$ に観測者と同じ波面が届く $x$ 軸...
上図のような円弧と $x$ 軸の交点で求まりますが,
<tex>
| v_{\rm o} t \sin \theta | \ll | d - v_{\rm s} t |
</tex>
のときは,これらの円弧を $x$ 軸に垂直な線分とみなすと [*]...
観測者が聴く音の振動数 $f_{\rm o}$ の近似式
<tex>
f_{\rm o} \simeq \frac{V + v_{\rm o} \cos \theta}{V - v_{...
</tex>
が得られます.この式を導くとき,通常 $v_{\rm o}$ によって...
として説明しています.この説明は波面を平面波で近似できる...
上図から予想できるように,平面波で近似しないときまで相対...
つかなくなります.
.. [*] $| v_{\rm o} | > 0$, $0 < \theta < \pi$ として,右...
左辺を高さとする三角形を考えてください.
同一直線上を移動するときの時空間モデル
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ここでは一般化のための準備として,「相対速度」を考えない...
であるとした)モデルで $\theta = 0$ のときのドップラー効...
$xy$ 平面上に波面を描いた図はドップラー効果の本質を理解す...
通常は一つの時刻における波面しか表していないので(二つの...
だけでも左側の図のように見にくくなります),波面が時間的...
頭の中で想像しなければなりません.しかし,観測者が聴く音...
周期)を求める計算では, $x$ 軸上の波の位相だけを考えれば...
$x$ 軸と垂直に $t$ 軸をとって $x$ 軸上の波の位相の時間的...
モデルを考えます.
.. figure:: pulsar-Doppler3-Fig2.gif
$x$ 軸上の波面の時間変化
分かりやすいように,この図では $t < 0$ で出された音の波面...
運動でなくても同じように考えてよいことを強調するために,...
図の白丸は波面の位相が $\pi$ の偶数倍,黒丸は $\pi$ の奇...
隣接する白丸(あるいは黒丸)間の距離が波長を, $t$ 軸方向...
間の距離が音源の出す音の周期を表しています(半周期の整数...
点線上の位相はすべて白丸,またはすべて黒丸です).音源が ...
音源より右側の波長が長くなり,左側の波長が短くなっている...
この図を時空間モデルということにしましょう.
.. figure:: pulsar-Doppler3-Fig3.gif
時空間モデルによる公式の導出
上図は音源,観測者が最初に述べた等速度運動しているときの...
$v_{\rm s}t$ のグラフ,右端の斜線は $(d - v_{\rm o}t)$ の...
音源のすぐそばにいるとした非現実的な場合を描いていますが...
聴く音の周期を求めるには,観測者の軌跡を図の破線の位置ま...
$x$ 軸上の線分とこの破線上の線分を2辺とする二つの相似な...
<tex>
\frac{T}{T_{\rm o}} = \frac{(V - v_{\rm s}) T + (v_{\rm s...
\frac{V + v_{\rm o}}{V - v_{\rm s}}
</tex>
が成立することはただちに分かります.これがよく知られたド...
あれば,観測者が等速度で運動していないときでも $T_{\rm o}...
で考えるとどうでしょう?
観測者が聴く音の周期の求め方
=========================================================...
最初に説明したように, $x$ 軸上に $\bm r_{\rm o}(t)$ と同...
が分かれば,(短い区間では等速度で運動していると近似して...
ことができます.
.. figure:: pulsar-Doppler3-Fig4.gif
$x$ 軸上の同位相の点を用いた周期の計算
$t_1$ が与えられたとき,
<tex>
| \bm r_{\rm o}(t_2) - \bm r_{\rm s}(t_1) | = V \cdot (t_...
</tex>
となる $\bm r_{\rm o}(t_2) \hspace{1zw} (t_2 = t_1 + \tau...
<tex>
\left| \frac{\bm r_{\rm o}(t_1 + \tau) - \bm r_{\rm s}(t_...
{\bm r_{\rm o}(t_1 + \tau) - \bm r_{\rm o}(t_...
\frac{V \tau}{v_o \tau}
</tex>
より, $\bm r_{\rm o}(t_2)$ は2点 $\bm r_{\rm s}(t_1)$, ...
距離の比が $V : v_o$ となるアポロニウスの円と観測者の軌跡...
したがって, $\bm r_{\rm x}(t_2)$ は,中心が $\bm r_{\rm ...
$| \bm r_{\rm s}(t_1) - \bm r_{\rm o}(t_2) |$ の円と $x$ ...
通常は $V \ll | v_o |$ なので, $t_1 < t <t_2$ の付近では...
軌跡を直線で近似すると前述の方法で時刻 $t_2$ に観測者が聴...
この近似の誤差が大きいときは, $t_1$ より少し前の時刻 $t_...
$t_2$ に対応する時刻 $t_4$ を求めて $t_4 < t <t_2$ の付近...
により,精度を上げることができます.
あとがき
=========================================================...
本資料で述べた一般化に実用的価値はあまりありませんが,モ...
所属学会の研究会で発表した内容を補足して紹介しました.与...
解く際に,何が本質的に重要かを考える一例として参考になれ...
@@reference: www12.plala.or.jp/ksp/wave/dopplerEffect1/,...
@@reference: www12.plala.or.jp/ksp/wave/dopplerEffect2/,...
@@author: pulsar@@
@@accept: 2009-11-15@@
@@category: 波と振動@@
@@id: dpl3@@
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