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#rst2hooktail_source
======================================
ε-δ論法
======================================
ここでは、解析学などでよく目にする $\varepsilon - \delta$...
ε-δ論法とは?
=====================
まずは、定義を確認します。 $\varepsilon - \delta$ 論法と...
<tex>
\forall \varepsilon >0,\exists \delta>0;|x-a|<\delta \Rig...
</tex>
この式の意味はこうです。「任意の有限の正数 $\varepsilon>0...
また、上の式はそのまま $x$ に対する関数 $f(x)$ の連続性を...
<tex>
\forall \varepsilon >0,\exists N>0;\forall n,n \ge N \Rig...
</tex>
といった形式になります。今度は $\delta$ の代わりに $N$ が...
.. [*] 距離という言葉を簡単に使っていますが、実は距離とい...
.. [*] これに似た形でコーシー列の定義もあります。コーシー...
.. _コーシー列と完備の概念: http://www12.plala.or.jp/ksp/
おまけ
----------------
上で、 $\varepsilon - \delta$ 論法について二つの表記を見...
<tex>
\forall \varepsilon_1 >0,\exists N>0;\forall n,n \ge N \R...
</tex>
という表現がありました。これに対し、
<tex>
\forall \varepsilon_2 >0,\exists \varepsilon_1>0;|x_n-a|<...
</tex>
という表現が成り立つように、 $\varepsilon_1$ を決めてやれ...
<tex>
\forall \varepsilon_2 >0,\exists N>0;\forall n,n \ge N \R...
</tex>
と書き直すことができます。
ε-δ論法の特徴
=======================
ここまで、定義の形式を見て、「関数の収束を示すだけならば...
<tex>
\lim_{n \to \infty} f(a_n) = b
</tex>
という具合に表現します。いったい、これらの違いは何なので...
まずは極限を使っているかいないかという点です。 $\varepsil...
位相へ一歩踏み出す
---------------
また、今の議論から $\varepsilon - \delta$ 論法は集合を使...
<tex>
\forall \varepsilon >0, \exists \delta>0 ; f(B_{\delta}(a...
</tex>
と定式化できます。この開球は $a$ の近傍を表し、 $a$ の近...
.. important::
開球を使えば、 $\varepsilon - \delta$ 論法を使わなくても...
上の場合はまだ距離空間での議論ではありますが、すでに集合...
.. [*] 開球とは、 $n$ 次元空間における境界線のない球のこ...
練習問題
=========================
写像 $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ が点 $a\in \mathbb{R}$ で連続で...
.. admonition:: proof
$f,g$ がそれぞれ連続であるから $\forall \varepsilon >0,\...
.. [*] ここで、 $\varepsilon$ は任意に選んでいいので、こ...
@@author: 黒子@@
@@accept: @@
@@id: Epsilon-Delta@@
@@category:@@
@@reference: 一樂重雄, 集合と位相 そのまま使える答えの書...
終了行:
#rst2hooktail_source
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ε-δ論法
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ここでは、解析学などでよく目にする $\varepsilon - \delta$...
ε-δ論法とは?
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まずは、定義を確認します。 $\varepsilon - \delta$ 論法と...
<tex>
\forall \varepsilon >0,\exists \delta>0;|x-a|<\delta \Rig...
</tex>
この式の意味はこうです。「任意の有限の正数 $\varepsilon>0...
また、上の式はそのまま $x$ に対する関数 $f(x)$ の連続性を...
<tex>
\forall \varepsilon >0,\exists N>0;\forall n,n \ge N \Rig...
</tex>
といった形式になります。今度は $\delta$ の代わりに $N$ が...
.. [*] 距離という言葉を簡単に使っていますが、実は距離とい...
.. [*] これに似た形でコーシー列の定義もあります。コーシー...
.. _コーシー列と完備の概念: http://www12.plala.or.jp/ksp/
おまけ
----------------
上で、 $\varepsilon - \delta$ 論法について二つの表記を見...
<tex>
\forall \varepsilon_1 >0,\exists N>0;\forall n,n \ge N \R...
</tex>
という表現がありました。これに対し、
<tex>
\forall \varepsilon_2 >0,\exists \varepsilon_1>0;|x_n-a|<...
</tex>
という表現が成り立つように、 $\varepsilon_1$ を決めてやれ...
<tex>
\forall \varepsilon_2 >0,\exists N>0;\forall n,n \ge N \R...
</tex>
と書き直すことができます。
ε-δ論法の特徴
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ここまで、定義の形式を見て、「関数の収束を示すだけならば...
<tex>
\lim_{n \to \infty} f(a_n) = b
</tex>
という具合に表現します。いったい、これらの違いは何なので...
まずは極限を使っているかいないかという点です。 $\varepsil...
位相へ一歩踏み出す
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また、今の議論から $\varepsilon - \delta$ 論法は集合を使...
<tex>
\forall \varepsilon >0, \exists \delta>0 ; f(B_{\delta}(a...
</tex>
と定式化できます。この開球は $a$ の近傍を表し、 $a$ の近...
.. important::
開球を使えば、 $\varepsilon - \delta$ 論法を使わなくても...
上の場合はまだ距離空間での議論ではありますが、すでに集合...
.. [*] 開球とは、 $n$ 次元空間における境界線のない球のこ...
練習問題
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写像 $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ が点 $a\in \mathbb{R}$ で連続で...
.. admonition:: proof
$f,g$ がそれぞれ連続であるから $\forall \varepsilon >0,\...
.. [*] ここで、 $\varepsilon$ は任意に選んでいいので、こ...
@@author: 黒子@@
@@accept: @@
@@id: Epsilon-Delta@@
@@category:@@
@@reference: 一樂重雄, 集合と位相 そのまま使える答えの書...
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