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#rst2hooktail_source
=======================================
rot
=======================================
ここまでに、ナブラ $\nabla = \left( \frac{\partial}{\part...
.. [*} ナブラを三次元以外の次元に拡張することは、勾配と発...
回転の定義
=========================================================...
ベクトル場 $\bm{A}=(A_{1},A_{2},A_{3})$ に対し、回転は次...
<tex>
{\rm rot}\bm{A} &= \nabla \times \bm{A} \\
&=
\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial}{\partial x_{1}} \\
\frac{\partial}{\partial x_{2}} \\
\frac{\partial}{\partial x_{3}} \\
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{c}
A_{1} \\
A_{2} \\
A_{3} \\
\end{array}
\right) \\
&=
\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}- \frac{\partial A_{...
\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}- \frac{\partial A_{...
\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}}- \frac{\partial A_{...
\end{array}
\right) \\
&=
\left|
\begin{array}{ccc}
\bm{e_{1}} & \bm{e_{2}} & \bm{e_{3}} \\
\frac{\partial }{\partial x_{1}} & \frac{\partial }{\part...
A_{1} & A_{2} & A_{3} \\
\end{array}
\right| \tag{1}
</tex>
最後の行列式表示については、実際に展開して確認してみて下...
回転のイメージ
=========================================================...
このセクションでは、回転の意味を直観的に理解するため、ベ...
.. figure:: Joh-VectorRotation01.gif
ちはやぶる神代もきかず竜田川からくれなゐに水くぐるとは(...
左上図のように、真っ直ぐ流れていく場合、流れに渦は無いと...
.. figure:: Joh-VectorRotation02.gif
こんな流れに葉っぱを浮かべれば、クルクル回ってしまう。
渦の強さ
=========================================================...
次図のように、 $z=z_{0}$ 平面内に、点 $P$ を中心に縦横の...
.. image:: Joh-VectorRotation03.gif
点 $P$ における流れを $\bm{V}=(V_{x},V_{y},V_{z})$ とする...
<tex>
\bm{V}(P_{1})=\bm{V} -\frac{1}{2} \frac{\partial \bm{V}(P...
</tex>
<tex>
\bm{V}(P_{2})=\bm{V} + \frac{1}{2}\frac{\partial \bm{V}(P...
</tex>
<tex>
\bm{V}(P_{3})=\bm{V} +\frac{1}{2} \frac{\partial \bm{V}(P...
</tex>
<tex>
\bm{V}(P_{4})=\bm{V} -\frac{1}{2} \frac{\partial \bm{V}(P...
</tex>
ただし、ここで $\bm{V}$ は滑らかで、必要なだけ微分可能な...
<tex>
\sum \limits_{A\rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D ...
\bm{V} \ along \ the \ boundary
&= \vec{AB}\cdot \bm{V}(P_{1})+\vec{BC}\cdot \bm{V}(P_{2}...
&= \vec{AB}\cdot \bm{V}(P_{1})+\vec{BC}\cdot \bm{V}(P_{2}...
&= (\bm{V}(P_{1})-\bm{V}(P_{3})) \cdot \vec{AB} + (\bm...
&=(\bm{V}(P_{1})-\bm{V}(P_{3})) \cdot
\left(
\begin{array}{c}
\Delta x \\
0 \\
0 \\
\end{array}
\right)
+
(\bm{V}(P_{2})-\bm{V}(P_{4})) \cdot
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\Delta y \\
0 \\
\end{array}
\right) \\
&=
- \frac{\partial }{\partial y}
\left(
\begin{array}{c}
V_{x} \\
V_{y} \\
V_{z} \\
\end{array}
\right)
\Delta y
\cdot
\left(
\begin{array}{c}
\Delta x \\
0 \\
0 \\
\end{array}
\right)
+
\frac{\partial }{\partial x}
\left(
\begin{array}{c}
V_{x} \\
V_{y} \\
V_{z} \\
\end{array}
\right)
\Delta x
\cdot
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\Delta y \\
0 \\
\end{array}
\right) + o(\Delta x^2, \Delta y^2) \\
&=
\frac{\partial V_{y}(P)}{\partial x}\Delta x \Delta y - \...
&= \left(
\frac{\partial V_{y}(P)}{\partial x}
- \frac{\partial V_{x}(P)}{\partial y}
\right)
\Delta x\Delta y +o(\Delta x^2, \Delta y^2) \tag{2}
</tex>
式 $(2)$ の両辺を $\Delta S = \Delta x \Delta y$ で割り、...
<tex>
\lim \limits _{\Delta S \rightarrow 0}
\frac{
\vec{AB}\cdot \bm{V}(P_{1})+\vec{BC}\cdot \bm{V}(P_{2})+\...
=
\frac{\partial V_{y}(P)}{\partial x}
- \frac{\partial V_{x}(P)}{\partial y}
</tex>
式 $(1)$ と見比べれば、これが $\nabla \times \bm{V}$ の $...
.. [*] 渦度の強さが、微分係数で表わされることの意味をもう...
回転のイメージが、少し固まってきましたか?理解を深めるに...
回転の演算規則
---------------------------------------------------------...
回転をとる操作も線形演算ですので、以下の算法がなりたちま...
1. $\nabla \times (\alpha \bm{A}+\beta \bm{B})=\alpha \n...
歴史
---------------------------------------------------------...
回転の記号を文字で書く場合、日本では ${\rm rot}$ と書く人...
`` ... the vector part I would call the Twist of the vec...
『。。。(四元数の積の)ベクトル部分は「ひねり」と呼ぼう...
訳の部分は、「回転」という単語を避けたため、苦労した割に...
.. figure:: Joh-Scroll04.png
弦楽器の頭部もスクロールと呼ぶ。
.. _七次元の外積: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _ベクトル解析奮闘記: http://www12.plala.or.jp/ksp/vect...
.. _`divとrotの積分形による表現`: http://www12.plala.or.j...
.. _渦度ベクトルと循環: http://www12.plala.or.jp/ksp/vect...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: VectorRotation@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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rot
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ここまでに、ナブラ $\nabla = \left( \frac{\partial}{\part...
.. [*} ナブラを三次元以外の次元に拡張することは、勾配と発...
回転の定義
=========================================================...
ベクトル場 $\bm{A}=(A_{1},A_{2},A_{3})$ に対し、回転は次...
<tex>
{\rm rot}\bm{A} &= \nabla \times \bm{A} \\
&=
\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial}{\partial x_{1}} \\
\frac{\partial}{\partial x_{2}} \\
\frac{\partial}{\partial x_{3}} \\
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{c}
A_{1} \\
A_{2} \\
A_{3} \\
\end{array}
\right) \\
&=
\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}- \frac{\partial A_{...
\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}- \frac{\partial A_{...
\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}}- \frac{\partial A_{...
\end{array}
\right) \\
&=
\left|
\begin{array}{ccc}
\bm{e_{1}} & \bm{e_{2}} & \bm{e_{3}} \\
\frac{\partial }{\partial x_{1}} & \frac{\partial }{\part...
A_{1} & A_{2} & A_{3} \\
\end{array}
\right| \tag{1}
</tex>
最後の行列式表示については、実際に展開して確認してみて下...
回転のイメージ
=========================================================...
このセクションでは、回転の意味を直観的に理解するため、ベ...
.. figure:: Joh-VectorRotation01.gif
ちはやぶる神代もきかず竜田川からくれなゐに水くぐるとは(...
左上図のように、真っ直ぐ流れていく場合、流れに渦は無いと...
.. figure:: Joh-VectorRotation02.gif
こんな流れに葉っぱを浮かべれば、クルクル回ってしまう。
渦の強さ
=========================================================...
次図のように、 $z=z_{0}$ 平面内に、点 $P$ を中心に縦横の...
.. image:: Joh-VectorRotation03.gif
点 $P$ における流れを $\bm{V}=(V_{x},V_{y},V_{z})$ とする...
<tex>
\bm{V}(P_{1})=\bm{V} -\frac{1}{2} \frac{\partial \bm{V}(P...
</tex>
<tex>
\bm{V}(P_{2})=\bm{V} + \frac{1}{2}\frac{\partial \bm{V}(P...
</tex>
<tex>
\bm{V}(P_{3})=\bm{V} +\frac{1}{2} \frac{\partial \bm{V}(P...
</tex>
<tex>
\bm{V}(P_{4})=\bm{V} -\frac{1}{2} \frac{\partial \bm{V}(P...
</tex>
ただし、ここで $\bm{V}$ は滑らかで、必要なだけ微分可能な...
<tex>
\sum \limits_{A\rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D ...
\bm{V} \ along \ the \ boundary
&= \vec{AB}\cdot \bm{V}(P_{1})+\vec{BC}\cdot \bm{V}(P_{2}...
&= \vec{AB}\cdot \bm{V}(P_{1})+\vec{BC}\cdot \bm{V}(P_{2}...
&= (\bm{V}(P_{1})-\bm{V}(P_{3})) \cdot \vec{AB} + (\bm...
&=(\bm{V}(P_{1})-\bm{V}(P_{3})) \cdot
\left(
\begin{array}{c}
\Delta x \\
0 \\
0 \\
\end{array}
\right)
+
(\bm{V}(P_{2})-\bm{V}(P_{4})) \cdot
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\Delta y \\
0 \\
\end{array}
\right) \\
&=
- \frac{\partial }{\partial y}
\left(
\begin{array}{c}
V_{x} \\
V_{y} \\
V_{z} \\
\end{array}
\right)
\Delta y
\cdot
\left(
\begin{array}{c}
\Delta x \\
0 \\
0 \\
\end{array}
\right)
+
\frac{\partial }{\partial x}
\left(
\begin{array}{c}
V_{x} \\
V_{y} \\
V_{z} \\
\end{array}
\right)
\Delta x
\cdot
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\Delta y \\
0 \\
\end{array}
\right) + o(\Delta x^2, \Delta y^2) \\
&=
\frac{\partial V_{y}(P)}{\partial x}\Delta x \Delta y - \...
&= \left(
\frac{\partial V_{y}(P)}{\partial x}
- \frac{\partial V_{x}(P)}{\partial y}
\right)
\Delta x\Delta y +o(\Delta x^2, \Delta y^2) \tag{2}
</tex>
式 $(2)$ の両辺を $\Delta S = \Delta x \Delta y$ で割り、...
<tex>
\lim \limits _{\Delta S \rightarrow 0}
\frac{
\vec{AB}\cdot \bm{V}(P_{1})+\vec{BC}\cdot \bm{V}(P_{2})+\...
=
\frac{\partial V_{y}(P)}{\partial x}
- \frac{\partial V_{x}(P)}{\partial y}
</tex>
式 $(1)$ と見比べれば、これが $\nabla \times \bm{V}$ の $...
.. [*] 渦度の強さが、微分係数で表わされることの意味をもう...
回転のイメージが、少し固まってきましたか?理解を深めるに...
回転の演算規則
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回転をとる操作も線形演算ですので、以下の算法がなりたちま...
1. $\nabla \times (\alpha \bm{A}+\beta \bm{B})=\alpha \n...
歴史
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回転の記号を文字で書く場合、日本では ${\rm rot}$ と書く人...
`` ... the vector part I would call the Twist of the vec...
『。。。(四元数の積の)ベクトル部分は「ひねり」と呼ぼう...
訳の部分は、「回転」という単語を避けたため、苦労した割に...
.. figure:: Joh-Scroll04.png
弦楽器の頭部もスクロールと呼ぶ。
.. _七次元の外積: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _ベクトル解析奮闘記: http://www12.plala.or.jp/ksp/vect...
.. _`divとrotの積分形による表現`: http://www12.plala.or.j...
.. _渦度ベクトルと循環: http://www12.plala.or.jp/ksp/vect...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: VectorRotation@@
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