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開始行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
gradの座標変換
=========================================================...
ベクトル解析で出てくるgrad(グラディエント,勾配)は、
他のデカルト座標系では果たして本当にベクトルとして振舞う...
調べてみました。
前の記事は、 rotの座標変換_ です。
基本的なこと
=============================
これから、座標の変換を議論します。そこで、 rotの座標変換_...
つまり、座標系 $S$ のベクトル $A_i$ と座標系 $S^\prime$ ...
実直交行列 $U$ が存在して、次のように表わされます。
<tex>
\begin{pmatrix}
A_1 \\
A_2 \\
A_3
\end{pmatrix}
&= U
\begin{pmatrix}
A_1^\prime \\
A_2^\prime \\
A_3^\prime
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
u_{11} & u_{12} & u_{13} \\
u_{21} & u_{22} & u_{23} \\
u_{31} & u_{32} & u_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A_1^\prime \\
A_2^\prime \\
A_3^\prime
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
<tex>
\begin{pmatrix}
\partial_1 \\
\partial_1 \\
\partial_1
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
u_{11} & u_{12} & u_{13} \\
u_{21} & u_{22} & u_{23} \\
u_{31} & u_{32} & u_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\partial_1^\prime \\
\partial_2^\prime \\
\partial_3^\prime
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
今回は、
<tex>
\bm{E}= \partial_i \phi \bm{e}_i = u_{ij} \partial_j^\pri...
</tex>
を示せば良いことになります。
成分で示せば、
<tex>
E_i= \partial_i \phi = u_{ij} \partial_j^\prime \phi
</tex>
第一成分、つまり $x$ 成分の変換をみます。
<tex>
\bm{E}_1 &= \partial_1 \phi \\
&= (u_{11} \partial_1^\prime+u_{12} \partial_2^\prime+u_{...
&= u_{1j} \partial_j^\prime \phi
</tex>
第二成分、第三成分にも同じことが言えます。
よって、確かにgradはベクトルとして振舞うことが分かります。
これで、めでたくdiv,rot,gradの全てが座標変換でスカラー...
振舞うことが示せました。よかった、よかった^^
それでは、今日はここまで。
.. _rotの座標変換: http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/...
@@author:クロメル@@
@@accept:2010-01-11@@
@@category:ベクトル解析@@
@@id:gradAnotherCoordinates@@
終了行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
gradの座標変換
=========================================================...
ベクトル解析で出てくるgrad(グラディエント,勾配)は、
他のデカルト座標系では果たして本当にベクトルとして振舞う...
調べてみました。
前の記事は、 rotの座標変換_ です。
基本的なこと
=============================
これから、座標の変換を議論します。そこで、 rotの座標変換_...
つまり、座標系 $S$ のベクトル $A_i$ と座標系 $S^\prime$ ...
実直交行列 $U$ が存在して、次のように表わされます。
<tex>
\begin{pmatrix}
A_1 \\
A_2 \\
A_3
\end{pmatrix}
&= U
\begin{pmatrix}
A_1^\prime \\
A_2^\prime \\
A_3^\prime
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
u_{11} & u_{12} & u_{13} \\
u_{21} & u_{22} & u_{23} \\
u_{31} & u_{32} & u_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A_1^\prime \\
A_2^\prime \\
A_3^\prime
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
<tex>
\begin{pmatrix}
\partial_1 \\
\partial_1 \\
\partial_1
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
u_{11} & u_{12} & u_{13} \\
u_{21} & u_{22} & u_{23} \\
u_{31} & u_{32} & u_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\partial_1^\prime \\
\partial_2^\prime \\
\partial_3^\prime
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
今回は、
<tex>
\bm{E}= \partial_i \phi \bm{e}_i = u_{ij} \partial_j^\pri...
</tex>
を示せば良いことになります。
成分で示せば、
<tex>
E_i= \partial_i \phi = u_{ij} \partial_j^\prime \phi
</tex>
第一成分、つまり $x$ 成分の変換をみます。
<tex>
\bm{E}_1 &= \partial_1 \phi \\
&= (u_{11} \partial_1^\prime+u_{12} \partial_2^\prime+u_{...
&= u_{1j} \partial_j^\prime \phi
</tex>
第二成分、第三成分にも同じことが言えます。
よって、確かにgradはベクトルとして振舞うことが分かります。
これで、めでたくdiv,rot,gradの全てが座標変換でスカラー...
振舞うことが示せました。よかった、よかった^^
それでは、今日はここまで。
.. _rotの座標変換: http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/...
@@author:クロメル@@
@@accept:2010-01-11@@
@@category:ベクトル解析@@
@@id:gradAnotherCoordinates@@
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