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#rst2hooktail_source
===================================================
grad
===================================================
微分演算子をベクトルに組み合わせたナブラというベクトル演...
<tex>
\nabla =\left( \frac{\partial }{\partial x_{1}}, \ \frac{...
</tex>
ナブラをスカラーに作用させたものを *grad* とも書くのでし...
.. [*] ナブラはハミルトンの演算子と呼ばれることもあります...
.. figure:: Joh-Nebel.png
古代アッシリアの竪琴、Nebel.この楽器の形に似ていることに...
方向微係数の最大値
---------------------------------------------------------...
方向微分は、 $\nabla \phi$ と方向ベクトル $\bm{l}$ を使っ...
<tex>
\frac{d\phi}{dl}= (\nabla \phi ) \cdot \bm{l}
</tex>
方向微係数は、 $\bm{l}$ と $\nabla \phi$ が同じ方向を向い...
.. [*] スカラー場の勾配のイメージは、 ベクトル解析奮闘記...
<tex>
\frac{d\phi}{dl} \Big| _{max.} &= | \nabla \phi | \\
& = \sqrt{
\left( \frac{\partial \phi}{\partial x_{1}} \right) ^{2...
\left( \frac{\partial \phi}{\partial x_{2}} \right) ^{2...
\left( \frac{\partial \phi}{\partial x_{3}} \right) ^{2}
}
</tex>
gradΦのイメージ
---------------------------------------------------------...
スカラー場 $\phi$ に対し、等位面 $\phi = C$ を考え、その...
.. image:: Joh-GradPhi.gif
すんなりと $\nabla \phi$ が法線ベクトルになっていることが...
この結果を次のように応用することも出来ます。等位面 $\phi ...
<tex>
\frac{\partial \phi }{\partial n} & =({\rm grad} \phi) \c...
& = |{\rm grad} \phi| \ \ \ \ \ (\because {\rm grad} \phi...
</tex>
もしくはベクトル形で ${\rm grad}\phi =\frac{\partial \phi...
<tex>
\bm{n} = \frac{\nabla f}{|\nabla f|}
</tex>
.. [*] $\nabla \phi$ を表現するのに、ガウスの積分定理と...
接平面の表現
---------------------------------------------------------...
前セクションの結果を用いると、スカラー関数の等位面 $\phi=...
<tex>
\nabla F|_{(x_{0},y_{0},z_{0})} \cdot
\left(
\begin{array}{c}
x-x_{0} \\
y-y_{0} \\
z-z_{0} \\
\end{array}
\right)
=
\frac{\partial f}{\partial x}_{(x_{0},y_{0},z_{0})}(x-x_{...
\frac{\partial f}{\partial y}_{(x_{0},y_{0},z_{0})}(y-y_{...
\frac{\partial f}{\partial z}_{(x_{0},y_{0},z_{0})}(z-z_{...
=0
</tex>
勾配の演算
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
関数の勾配を取る場合、次のような演算法則がなりたちます。...
1. $\nabla (\alpha f + \beta g)= \alpha \nabla f + \beta...
2. $\nabla (fg)= g \nabla f + f \nabla g$
3. $\nabla \frac{g}{f}= \frac{f \nabla g - g \nabla f}{f...
4. $\nabla f(u)= \frac{\partial f}{\partial u}\nabla u $...
5. $\nabla f(u_{1},u_{2},...,u_{n})= \frac{\partial f}{\...
.. [*] 一番目の性質は、ナブラが線形性を持つことを示してい...
.. _ベクトル解析奮闘記1: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
.. _`gradの積分形による定義`: http://www12.plala.or.jp/ks...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: Gradient@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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grad
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微分演算子をベクトルに組み合わせたナブラというベクトル演...
<tex>
\nabla =\left( \frac{\partial }{\partial x_{1}}, \ \frac{...
</tex>
ナブラをスカラーに作用させたものを *grad* とも書くのでし...
.. [*] ナブラはハミルトンの演算子と呼ばれることもあります...
.. figure:: Joh-Nebel.png
古代アッシリアの竪琴、Nebel.この楽器の形に似ていることに...
方向微係数の最大値
---------------------------------------------------------...
方向微分は、 $\nabla \phi$ と方向ベクトル $\bm{l}$ を使っ...
<tex>
\frac{d\phi}{dl}= (\nabla \phi ) \cdot \bm{l}
</tex>
方向微係数は、 $\bm{l}$ と $\nabla \phi$ が同じ方向を向い...
.. [*] スカラー場の勾配のイメージは、 ベクトル解析奮闘記...
<tex>
\frac{d\phi}{dl} \Big| _{max.} &= | \nabla \phi | \\
& = \sqrt{
\left( \frac{\partial \phi}{\partial x_{1}} \right) ^{2...
\left( \frac{\partial \phi}{\partial x_{2}} \right) ^{2...
\left( \frac{\partial \phi}{\partial x_{3}} \right) ^{2}
}
</tex>
gradΦのイメージ
---------------------------------------------------------...
スカラー場 $\phi$ に対し、等位面 $\phi = C$ を考え、その...
.. image:: Joh-GradPhi.gif
すんなりと $\nabla \phi$ が法線ベクトルになっていることが...
この結果を次のように応用することも出来ます。等位面 $\phi ...
<tex>
\frac{\partial \phi }{\partial n} & =({\rm grad} \phi) \c...
& = |{\rm grad} \phi| \ \ \ \ \ (\because {\rm grad} \phi...
</tex>
もしくはベクトル形で ${\rm grad}\phi =\frac{\partial \phi...
<tex>
\bm{n} = \frac{\nabla f}{|\nabla f|}
</tex>
.. [*] $\nabla \phi$ を表現するのに、ガウスの積分定理と...
接平面の表現
---------------------------------------------------------...
前セクションの結果を用いると、スカラー関数の等位面 $\phi=...
<tex>
\nabla F|_{(x_{0},y_{0},z_{0})} \cdot
\left(
\begin{array}{c}
x-x_{0} \\
y-y_{0} \\
z-z_{0} \\
\end{array}
\right)
=
\frac{\partial f}{\partial x}_{(x_{0},y_{0},z_{0})}(x-x_{...
\frac{\partial f}{\partial y}_{(x_{0},y_{0},z_{0})}(y-y_{...
\frac{\partial f}{\partial z}_{(x_{0},y_{0},z_{0})}(z-z_{...
=0
</tex>
勾配の演算
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
関数の勾配を取る場合、次のような演算法則がなりたちます。...
1. $\nabla (\alpha f + \beta g)= \alpha \nabla f + \beta...
2. $\nabla (fg)= g \nabla f + f \nabla g$
3. $\nabla \frac{g}{f}= \frac{f \nabla g - g \nabla f}{f...
4. $\nabla f(u)= \frac{\partial f}{\partial u}\nabla u $...
5. $\nabla f(u_{1},u_{2},...,u_{n})= \frac{\partial f}{\...
.. [*] 一番目の性質は、ナブラが線形性を持つことを示してい...
.. _ベクトル解析奮闘記1: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
.. _`gradの積分形による定義`: http://www12.plala.or.jp/ks...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: Gradient@@
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