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divは完全情報か?
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どうも、クロメルです。面白い話を見つけました。お付き合い...
基本法則
========
静電気学を扱います。基本法則は次の二つです。 $\rho$ は...
$\phi$ はポテンシャル、 $\bm{E}$ は電場、 $\varepsilo...
<tex>
\rm{div}\bm{E}=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0} \tag{##}...
\bm{E} = -\rm{grad} \phi \tag{##}
</tex>
結論から言うと、ダイバージェンスは情報を失います。次の二...
<tex>
\bm{E}_1 = (x/3,y/3,z/3) \tag{##} \\
\bm{E}_2 = (x,0,0) \tag{##}
</tex>
よって、ダイバージェンスの値(式(1))だけを与えられても、数...
式(1)に式(2)の $\bm{E}$ を代入すると、電荷とポテンシャル...
<tex>
\triangle \phi_1 = \left( \dfrac{\partial^2}{\partial ...
</tex>
と言う関係です。これを $\phi_1$ について解くと、グリーン...
<tex>
\left( \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + \dfrac{\part...
</tex>
が $G_1(\bm{r}-\bm{r}^\prime)$ の定義で、
<tex>
G_1(\bm{r}-\bm{r}^\prime) = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilo...
</tex>
と計算され、
<tex>
\phi_1 = \dfrac{1}{\varepsilon_0} \int G_1(\bm{r}-\bm{...
</tex>
とポテンシャルを求めるのに使えます。 $dV^\prime$ とプライ...
では、ここで非等方的な電場の出方をするように、式(2)を書き...
例えば、
<tex>
\dfrac{\partial^2}{\partial x^2} G_2(\bm{r}-\bm{r}^\pr...
</tex>
これから、超関数の概念をかなり大ざっぱに使います。 $\delt...
<tex>
\Theta(x-x^\prime) = \begin{cases}
1 \ \ \ \ \ (x \geq x^\prime) \\
0 \ \ \ \ \ (x < x^\prime) \\
\end{cases} \tag{##}
</tex>
<tex>
R(x-x^\prime) = (x-x^\prime) \Theta(x-x^\prime) \tag{##}
</tex>
つまり、ランプ関数は式(9)の左辺のラプラシアンで曲率を調べ...
<tex>
G_2(x-x^\prime) = \dfrac{-1}{\varepsilon_0}(x-x^\prime...
</tex>
となります。 $y,z$ 方向も考えて式(7)と対応させるなら、 $G...
<tex>
G_2(\bm{r}-\bm{r}^\prime) = \dfrac{-1}{\varepsilon_0}(...
</tex>
とすれば比較できるでしょうか。
.. image:: chromel-implicitPremiseOfPotential-01.png
この式(12)も(簡単のため、本来は式(13)を用いて $y,z$ 成分...
原点からx軸の正の方向に $L$ の長さに渡って、この非等方な...
以下のような X軸上の一部だけに存在する非等方な電荷密度が...
<tex>
\phi_2 &= \int_{-\infty}^{\infty}G_2(x-x^\prime) f(x^\...
&= \dfrac{1}{\varepsilon_0}\int_0^L -( x-x^\prime )\Theta...
&= \dfrac{1}{\varepsilon_0} \begin{cases}
\int_0^x -(x-x^\prime) dx^\prime \ \ \ \ \ (x \leq L) \\
\int_0^L -(x-x^\prime) dx^\prime \ \ \ \ \ (x > L)
\end{cases} \\
&= \dfrac{1}{\varepsilon_0} \begin{cases}
\left[ \dfrac{(x^\prime-x)^2}{2} \right]_0^x \ \ \ \ \ (...
\left[ \dfrac{(x^\prime-x)^2}{2} \right]_0^L \ \ \ \ \ (...
\end{cases} \\
&= \dfrac{1}{\varepsilon_0} \begin{cases}
-\dfrac{x^2}{2} \ \ \ \ \ (x \leq L) \\
- xL + \dfrac{L^2}{2} (x > L)
\end{cases} \tag{##}
</tex>
.. image:: chromel-implicitPremiseOfPotential-02.png
これが非等方な電場を放射する電荷密度を持つポテンシャルの...
今回の教訓は、同じ $\rm{div}$ を持つ関数でも、数学的には...
<tex>
\bm{E}_1 = -(\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\part...
\bm{E}_2 = -(\dfrac{\partial}{\partial x},0,0)\phi_2 \tag...
</tex>
という異なる法則に従っていますが、同じダイバージェンス
<tex>
\rm{div} \bm{E}_1 = \rm{div} \bm{E}_2 = \dfrac{\rho}{\...
</tex>
に従っているよ。と言うお話です。最後に何故 $\left( \dfrac...
@@author:クロメル@@
@@accept:2015-06-10@@
@@category:電磁気学@@
@@id:implicitPremiseOfPotential@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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divは完全情報か?
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どうも、クロメルです。面白い話を見つけました。お付き合い...
基本法則
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静電気学を扱います。基本法則は次の二つです。 $\rho$ は...
$\phi$ はポテンシャル、 $\bm{E}$ は電場、 $\varepsilo...
<tex>
\rm{div}\bm{E}=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0} \tag{##}...
\bm{E} = -\rm{grad} \phi \tag{##}
</tex>
結論から言うと、ダイバージェンスは情報を失います。次の二...
<tex>
\bm{E}_1 = (x/3,y/3,z/3) \tag{##} \\
\bm{E}_2 = (x,0,0) \tag{##}
</tex>
よって、ダイバージェンスの値(式(1))だけを与えられても、数...
式(1)に式(2)の $\bm{E}$ を代入すると、電荷とポテンシャル...
<tex>
\triangle \phi_1 = \left( \dfrac{\partial^2}{\partial ...
</tex>
と言う関係です。これを $\phi_1$ について解くと、グリーン...
<tex>
\left( \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + \dfrac{\part...
</tex>
が $G_1(\bm{r}-\bm{r}^\prime)$ の定義で、
<tex>
G_1(\bm{r}-\bm{r}^\prime) = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilo...
</tex>
と計算され、
<tex>
\phi_1 = \dfrac{1}{\varepsilon_0} \int G_1(\bm{r}-\bm{...
</tex>
とポテンシャルを求めるのに使えます。 $dV^\prime$ とプライ...
では、ここで非等方的な電場の出方をするように、式(2)を書き...
例えば、
<tex>
\dfrac{\partial^2}{\partial x^2} G_2(\bm{r}-\bm{r}^\pr...
</tex>
これから、超関数の概念をかなり大ざっぱに使います。 $\delt...
<tex>
\Theta(x-x^\prime) = \begin{cases}
1 \ \ \ \ \ (x \geq x^\prime) \\
0 \ \ \ \ \ (x < x^\prime) \\
\end{cases} \tag{##}
</tex>
<tex>
R(x-x^\prime) = (x-x^\prime) \Theta(x-x^\prime) \tag{##}
</tex>
つまり、ランプ関数は式(9)の左辺のラプラシアンで曲率を調べ...
<tex>
G_2(x-x^\prime) = \dfrac{-1}{\varepsilon_0}(x-x^\prime...
</tex>
となります。 $y,z$ 方向も考えて式(7)と対応させるなら、 $G...
<tex>
G_2(\bm{r}-\bm{r}^\prime) = \dfrac{-1}{\varepsilon_0}(...
</tex>
とすれば比較できるでしょうか。
.. image:: chromel-implicitPremiseOfPotential-01.png
この式(12)も(簡単のため、本来は式(13)を用いて $y,z$ 成分...
原点からx軸の正の方向に $L$ の長さに渡って、この非等方な...
以下のような X軸上の一部だけに存在する非等方な電荷密度が...
<tex>
\phi_2 &= \int_{-\infty}^{\infty}G_2(x-x^\prime) f(x^\...
&= \dfrac{1}{\varepsilon_0}\int_0^L -( x-x^\prime )\Theta...
&= \dfrac{1}{\varepsilon_0} \begin{cases}
\int_0^x -(x-x^\prime) dx^\prime \ \ \ \ \ (x \leq L) \\
\int_0^L -(x-x^\prime) dx^\prime \ \ \ \ \ (x > L)
\end{cases} \\
&= \dfrac{1}{\varepsilon_0} \begin{cases}
\left[ \dfrac{(x^\prime-x)^2}{2} \right]_0^x \ \ \ \ \ (...
\left[ \dfrac{(x^\prime-x)^2}{2} \right]_0^L \ \ \ \ \ (...
\end{cases} \\
&= \dfrac{1}{\varepsilon_0} \begin{cases}
-\dfrac{x^2}{2} \ \ \ \ \ (x \leq L) \\
- xL + \dfrac{L^2}{2} (x > L)
\end{cases} \tag{##}
</tex>
.. image:: chromel-implicitPremiseOfPotential-02.png
これが非等方な電場を放射する電荷密度を持つポテンシャルの...
今回の教訓は、同じ $\rm{div}$ を持つ関数でも、数学的には...
<tex>
\bm{E}_1 = -(\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\part...
\bm{E}_2 = -(\dfrac{\partial}{\partial x},0,0)\phi_2 \tag...
</tex>
という異なる法則に従っていますが、同じダイバージェンス
<tex>
\rm{div} \bm{E}_1 = \rm{div} \bm{E}_2 = \dfrac{\rho}{\...
</tex>
に従っているよ。と言うお話です。最後に何故 $\left( \dfrac...
@@author:クロメル@@
@@accept:2015-06-10@@
@@category:電磁気学@@
@@id:implicitPremiseOfPotential@@
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