記事ソース/SU(2)のリー群とリー環について
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=========================================================...
SU(2)のリー群とリー環について
=========================================================...
この記事ではパウリ行列
<tex>
\sigma_1 &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} ...
\sigma_2 &= \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}...
\sigma_3 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}...
</tex>
とリー群 $SU(2)$ 、リー環 $\mathfrak{su}(2)$ の関係につい...
記号は パウリ行列のwikipedia_ に合わせます。
リー環について
=======================
リー環 $\mathfrak{su}(2)$ はリー群のパラメータの無限小変...
(後で示すので、まだわからなくて大丈夫です。)
これが、パウリ行列を使うとうまく表せます。
今回はパウリ行列をそのまま使わないで、ちょっと小細工をし...
全てに $\dfrac{1}{2i}$ を掛けます。
すると、
<tex>
X_1 = \dfrac{1}{2i} \sigma_1 &= \begin{pmatrix} 0 & \dfra...
X_2 = \dfrac{1}{2i} \sigma_2 &= \begin{pmatrix} 0 & -\dfr...
X_3 = \dfrac{1}{2i} \sigma_3 &= \begin{pmatrix} \dfrac{1}...
</tex>
となります。これらがリー環 $\mathfrak{su}(2)$ の全ての基底
です。 $\dfrac{1}{2i}$ を掛けると何がうれしいかというと、...
<tex>
[X_1,X_2] =X_3 \tag{##} \\
[X_2,X_3] =X_1 \tag{##} \\
[X_3,X_1] =X_2 \tag{##}
</tex>
ときれいな関係になります。だから何?と言われそうですが、...
特殊ユニタリー群 $SU(n)$ に対応するリー環 $\mathfrak{su}(...
<tex>
\mathrm{Tr}(X) = 0 \tag{##} \\
X^\dagger = -X \tag{##}
</tex>
を満たします。上付きの $\dagger$ は物理よりの書き方で、複...
表します。 $X_1,X_2,X_3$ がこれらの関係を満たすことを確認...
この性質(式(10)と式(11))を言葉でいうと、トレースがゼロの...
リー群について
========================
リー群の元 $g$ とはリー環の元 $X_i$ の線形結合の指数関数...
行列(例えば $A$ とする)の指数関数ということで、 $I$ を単...
<tex>
\exp A = I + \dfrac{A}{1!} + \dfrac{A^2}{2!} + \dfrac{A^3...
</tex>
となります。ここで $x_1 = x, x_2 = y, x_3 = z, r = \sqrt{...
<tex>
X &= \sum_{i=1}^3 x_i X_i \\
&= \dfrac{1}{2i} \sum_{i=1}^3 x_i \sigma_i \\
&= \dfrac{1}{2i}\begin{pmatrix} z & x-iy \\ x+iy & -z \en...
&\equiv \dfrac{1}{2i} \Psi \tag{##}
</tex>
ここで( $\equiv$ )は $\Psi$ の定義を示すものと
します。 $\Psi^2 = r^2 I$ です。
ここで、リー環の指数関数を取ってリー群の元 $g$ を求めてみ...
<tex>
g &= \exp \left( \dfrac{1}{2i} \Psi \right) \\
&= I + \dfrac{1}{1!}(\dfrac{1}{2i}) \Psi + \dfrac{1}{2!}(...
&= \left( I - \dfrac{1}{2!}(\dfrac{r}{2})^2 I + \dfrac{1}...
&+ \dfrac{1}{2i} \left( \Psi - \dfrac{1}{3!}(\dfrac{r}{2}...
&= \cos \left( \dfrac{r}{2} \right) + \dfrac{1}{2i} \dfra...
&= \cos \left( \dfrac{r}{2} \right) + \dfrac{1}{ir} \sin ...
&= \cos \left( \dfrac{r}{2} \right) - \dfrac{i}{r} \sin \...
</tex>
よって、 $g$ の成分表示をすると、
<tex>
g = \begin{pmatrix}
\cos(r/2) -(i/r)\sin(r/2)z & -(i/r)\sin(r/2)(x-iy) \\
-(i/r)\sin(r/2)(x+iy) & \cos(r/2) +(i/r)\sin(r/2)z
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
ここで、 $i$ 以外は実数ですから、 $\alpha = \cos(r/2) -(i...
<tex>
g = \begin{pmatrix}
\alpha & -\beta^\ast \\
\beta & \alpha^\ast
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
ここで $\ast$ は複素共役です。
SU(2)の定義
========================
一方で、 $SU(2)$ の定義として、
<tex>
X^\dagger X &= I \tag{##} \\
\mathrm{det} X &= 1 \tag{##}
</tex>
となります。この定義に従った元が式(16)と一致することを見...
式(17)から、
<tex>
X^\dagger X &=
\begin{pmatrix}
\alpha^\ast & \beta^\ast \\
\gamma^\ast & \delta^\ast
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha & \gamma \\
\beta & \delta
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
|\alpha|^2 + |\beta|^2 & \alpha^\ast \gamma + \beta^\ast...
\alpha \gamma^\ast + \beta \delta^\ast & |\gamma|^2 + |\...
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1&0 \\
0&1
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
また、式(18)から、
<tex>
\mathrm{det} X &= \alpha \delta - \beta \gamma \\
&=1 \tag{##}
</tex>
よって、式(19)と(20)より、
<tex>
\alpha \delta - \beta \gamma &= 1 \tag{##} \\
\alpha^\ast \gamma + \beta^\ast \delta &= 0 \tag{##}
</tex>
この連立方程式を行列で書くと、
<tex>
\begin{pmatrix}
-\beta & \alpha \\
\alpha^\ast & \beta^\ast
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\gamma \\
\delta
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
ここで式 $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ を使って
、 $\gamma,\delta$ について解くと、
<tex>
\begin{pmatrix}
\gamma \\
\delta
\end{pmatrix}
&=
\dfrac{1}{|\alpha|^2 + |\beta|^2}
\begin{pmatrix}
-\beta^\ast & \alpha \\
\alpha^\ast & \beta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
-\beta^\ast \\
\alpha^\ast
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
よって、
<tex>
g &=
\begin{pmatrix}
\alpha & \gamma \\
\beta & \delta
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\alpha & -\beta^\ast \\
\beta & \alpha^\ast
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
となり、式(16)に一致することがわかりました。
さて、僕がこの記事を書く切っ掛けを話しておきます。
式(25)について、今までの変数の設定をリセット
して、 $\alpha = w+iz,\beta = i(x+iy)$ とします。
すると、式(25)は
<tex>
g = \begin{pmatrix}
w+iz & i(x-iy) \\
i(x+iy)& w-iz
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
この形はリー環と似ています。
<tex>
g =
w
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
+
ix
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
+iy
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix}
+iz
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
なんだ?パウリ行列に $i$ が掛かっている?
単位行列も加わっているぞ?なんて、混乱されないでください。
あくまでこれがリー群 $SU(2)$ の元の一般形であって、
パウリ行列 $\sigma_i$ とより強く関係しているのは、リー環 ...
です。まあ、 $X_i$ にした時に $-i/2$ を掛けていますけれど...
ややこしいですけれど、リー環では単位行列は含まないのは決...
また、式(25)について $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$ は注意です。
リー環トレースゼロの反エルミート行列 $X$ に対応する
のは、リー群デターミナント1のユニタリー行列 $g$ って訳で...
最後に
===========================
ちょっと話が変わりますが、自分が確かなイメージを持ってい...
リー群の無限小変化がリー環になる。と言うことを説明します。
リー環 $H$ として、リー群の元 $g = \exp (-iHt)$ を対応
させます。 $H$ とした理由は量子論のハミルトニアンを意識し...
ここで $g$ から $H$ を求めるには、 $\left. \dfrac{dg}{dt}...
です。 $\exp (-iHt) = I -i \dfrac{1}{1!}Ht - \dfrac{1}{2!...
テイラー展開の1次の項を求めているわけです。
つまり、リー群のパラメータ $t$ の微小変化の接線(1次変化...
それでは今日はここまで、お疲れさまでした!
.. _パウリ行列のwikipedia: https://ja.wikipedia.org/wiki/...
.. _EMANさんの解説: http://eman-physics.net/math/lie07.html
@@author:クロメル@@
@@accept:2018-09-29@@
@@category:微分・位相幾何学@@
@@id:lieGandRsu2@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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SU(2)のリー群とリー環について
=========================================================...
この記事ではパウリ行列
<tex>
\sigma_1 &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} ...
\sigma_2 &= \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}...
\sigma_3 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}...
</tex>
とリー群 $SU(2)$ 、リー環 $\mathfrak{su}(2)$ の関係につい...
記号は パウリ行列のwikipedia_ に合わせます。
リー環について
=======================
リー環 $\mathfrak{su}(2)$ はリー群のパラメータの無限小変...
(後で示すので、まだわからなくて大丈夫です。)
これが、パウリ行列を使うとうまく表せます。
今回はパウリ行列をそのまま使わないで、ちょっと小細工をし...
全てに $\dfrac{1}{2i}$ を掛けます。
すると、
<tex>
X_1 = \dfrac{1}{2i} \sigma_1 &= \begin{pmatrix} 0 & \dfra...
X_2 = \dfrac{1}{2i} \sigma_2 &= \begin{pmatrix} 0 & -\dfr...
X_3 = \dfrac{1}{2i} \sigma_3 &= \begin{pmatrix} \dfrac{1}...
</tex>
となります。これらがリー環 $\mathfrak{su}(2)$ の全ての基底
です。 $\dfrac{1}{2i}$ を掛けると何がうれしいかというと、...
<tex>
[X_1,X_2] =X_3 \tag{##} \\
[X_2,X_3] =X_1 \tag{##} \\
[X_3,X_1] =X_2 \tag{##}
</tex>
ときれいな関係になります。だから何?と言われそうですが、...
特殊ユニタリー群 $SU(n)$ に対応するリー環 $\mathfrak{su}(...
<tex>
\mathrm{Tr}(X) = 0 \tag{##} \\
X^\dagger = -X \tag{##}
</tex>
を満たします。上付きの $\dagger$ は物理よりの書き方で、複...
表します。 $X_1,X_2,X_3$ がこれらの関係を満たすことを確認...
この性質(式(10)と式(11))を言葉でいうと、トレースがゼロの...
リー群について
========================
リー群の元 $g$ とはリー環の元 $X_i$ の線形結合の指数関数...
行列(例えば $A$ とする)の指数関数ということで、 $I$ を単...
<tex>
\exp A = I + \dfrac{A}{1!} + \dfrac{A^2}{2!} + \dfrac{A^3...
</tex>
となります。ここで $x_1 = x, x_2 = y, x_3 = z, r = \sqrt{...
<tex>
X &= \sum_{i=1}^3 x_i X_i \\
&= \dfrac{1}{2i} \sum_{i=1}^3 x_i \sigma_i \\
&= \dfrac{1}{2i}\begin{pmatrix} z & x-iy \\ x+iy & -z \en...
&\equiv \dfrac{1}{2i} \Psi \tag{##}
</tex>
ここで( $\equiv$ )は $\Psi$ の定義を示すものと
します。 $\Psi^2 = r^2 I$ です。
ここで、リー環の指数関数を取ってリー群の元 $g$ を求めてみ...
<tex>
g &= \exp \left( \dfrac{1}{2i} \Psi \right) \\
&= I + \dfrac{1}{1!}(\dfrac{1}{2i}) \Psi + \dfrac{1}{2!}(...
&= \left( I - \dfrac{1}{2!}(\dfrac{r}{2})^2 I + \dfrac{1}...
&+ \dfrac{1}{2i} \left( \Psi - \dfrac{1}{3!}(\dfrac{r}{2}...
&= \cos \left( \dfrac{r}{2} \right) + \dfrac{1}{2i} \dfra...
&= \cos \left( \dfrac{r}{2} \right) + \dfrac{1}{ir} \sin ...
&= \cos \left( \dfrac{r}{2} \right) - \dfrac{i}{r} \sin \...
</tex>
よって、 $g$ の成分表示をすると、
<tex>
g = \begin{pmatrix}
\cos(r/2) -(i/r)\sin(r/2)z & -(i/r)\sin(r/2)(x-iy) \\
-(i/r)\sin(r/2)(x+iy) & \cos(r/2) +(i/r)\sin(r/2)z
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
ここで、 $i$ 以外は実数ですから、 $\alpha = \cos(r/2) -(i...
<tex>
g = \begin{pmatrix}
\alpha & -\beta^\ast \\
\beta & \alpha^\ast
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
ここで $\ast$ は複素共役です。
SU(2)の定義
========================
一方で、 $SU(2)$ の定義として、
<tex>
X^\dagger X &= I \tag{##} \\
\mathrm{det} X &= 1 \tag{##}
</tex>
となります。この定義に従った元が式(16)と一致することを見...
式(17)から、
<tex>
X^\dagger X &=
\begin{pmatrix}
\alpha^\ast & \beta^\ast \\
\gamma^\ast & \delta^\ast
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha & \gamma \\
\beta & \delta
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
|\alpha|^2 + |\beta|^2 & \alpha^\ast \gamma + \beta^\ast...
\alpha \gamma^\ast + \beta \delta^\ast & |\gamma|^2 + |\...
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1&0 \\
0&1
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
また、式(18)から、
<tex>
\mathrm{det} X &= \alpha \delta - \beta \gamma \\
&=1 \tag{##}
</tex>
よって、式(19)と(20)より、
<tex>
\alpha \delta - \beta \gamma &= 1 \tag{##} \\
\alpha^\ast \gamma + \beta^\ast \delta &= 0 \tag{##}
</tex>
この連立方程式を行列で書くと、
<tex>
\begin{pmatrix}
-\beta & \alpha \\
\alpha^\ast & \beta^\ast
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\gamma \\
\delta
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
ここで式 $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ を使って
、 $\gamma,\delta$ について解くと、
<tex>
\begin{pmatrix}
\gamma \\
\delta
\end{pmatrix}
&=
\dfrac{1}{|\alpha|^2 + |\beta|^2}
\begin{pmatrix}
-\beta^\ast & \alpha \\
\alpha^\ast & \beta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
-\beta^\ast \\
\alpha^\ast
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
よって、
<tex>
g &=
\begin{pmatrix}
\alpha & \gamma \\
\beta & \delta
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\alpha & -\beta^\ast \\
\beta & \alpha^\ast
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
となり、式(16)に一致することがわかりました。
さて、僕がこの記事を書く切っ掛けを話しておきます。
式(25)について、今までの変数の設定をリセット
して、 $\alpha = w+iz,\beta = i(x+iy)$ とします。
すると、式(25)は
<tex>
g = \begin{pmatrix}
w+iz & i(x-iy) \\
i(x+iy)& w-iz
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
この形はリー環と似ています。
<tex>
g =
w
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
+
ix
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
+iy
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix}
+iz
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
なんだ?パウリ行列に $i$ が掛かっている?
単位行列も加わっているぞ?なんて、混乱されないでください。
あくまでこれがリー群 $SU(2)$ の元の一般形であって、
パウリ行列 $\sigma_i$ とより強く関係しているのは、リー環 ...
です。まあ、 $X_i$ にした時に $-i/2$ を掛けていますけれど...
ややこしいですけれど、リー環では単位行列は含まないのは決...
また、式(25)について $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$ は注意です。
リー環トレースゼロの反エルミート行列 $X$ に対応する
のは、リー群デターミナント1のユニタリー行列 $g$ って訳で...
最後に
===========================
ちょっと話が変わりますが、自分が確かなイメージを持ってい...
リー群の無限小変化がリー環になる。と言うことを説明します。
リー環 $H$ として、リー群の元 $g = \exp (-iHt)$ を対応
させます。 $H$ とした理由は量子論のハミルトニアンを意識し...
ここで $g$ から $H$ を求めるには、 $\left. \dfrac{dg}{dt}...
です。 $\exp (-iHt) = I -i \dfrac{1}{1!}Ht - \dfrac{1}{2!...
テイラー展開の1次の項を求めているわけです。
つまり、リー群のパラメータ $t$ の微小変化の接線(1次変化...
それでは今日はここまで、お疲れさまでした!
.. _パウリ行列のwikipedia: https://ja.wikipedia.org/wiki/...
.. _EMANさんの解説: http://eman-physics.net/math/lie07.html
@@author:クロメル@@
@@accept:2018-09-29@@
@@category:微分・位相幾何学@@
@@id:lieGandRsu2@@
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