記事ソース/Lienard-Wiechertポテンシャル
をテンプレートにして作成
査読
rst2hooktail
進行表
執筆中
かぎマニュ
物理のかぎプロジェクト
トップ
最近の更新
ヘルプ
開始行:
#rst2hooktail_source
=========================================
|Lienard-Wiechert| ポテンシャル
=========================================
.. |Lienard-Wiechert| unicode:: Li U+00E9 nard-Wiechert
ここでは |Lienard-Wiechert| ポテンシャルについて解説しま...
加速度運動をする荷電粒子が電磁波を放射することを理解する...
なお、このシリーズでは単位系として cgs 単位系を用います。...
|Lienard-Wiechert| は「リエナール・ヴィーヒェルト」と読み...
--------------------------------
出発点
--------------------------------
.. figure:: co-lienard01.png
電荷 $q$ を持つ点電荷が軌道 $\bm{r} = \bm{r_0}(t)$ に沿っ...
このとき、電荷密度および電流密度は次のように書くことがで...
<tex>
\rho(\bm{r}, t) & = q \delta \left(\bm{r}-\bm{r_0}\left(t...
\bm{j}(\bm{r}, t) & = q \bm{u}(t) \delta \left(\bm{r}-\bm...
</tex>
ここで $\bm{u}(t) = \frac{d \bm{r_0}(t)}{dt}$ です。
電場、磁場をスカラーポテンシャル $\phi(\bm{r},t)$ とベク...
ゲージとしてローレンツゲージを選ぶと、次のようになります。
<tex>
\nabla^2 \phi - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \phi}{\par...
\nabla^2 \bm{A} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \bm{A}}{...
</tex>
式(#ref(maxwell-phi))、式(#ref(maxwell-A))の解は次のよう...
<tex>
\phi(\bm{r}, t) = \int \frac{\left[ \rho \right] d^3\bm{r...
\bm{A}(\bm{r}, t) = \int \frac{\left[\bm{j}\right] d^3\bm...
</tex>
ここで $[Q]$ は、 $Q$ を遅延時間を用いて計算せよという意...
遅延時間 (retarded time) $t_{\rm{ret}}$ は $t_{\rm{ret}} ...
光は有限の速さ $c$ で伝わるので、点 $\bm{r'}$ で起こった...
.. [*] これを求めるのはなかなか大変です。とりあえずここで...
----------------------------------
ポテンシャルを計算する
----------------------------------
さて、では実際に (#ref(phi01))、(#ref(A01)) を計算してい...
電荷密度 $[\rho]$ は次のように書くことができます。
<tex>
\left[ \rho \right] = \int dt' \rho( \bm{r'}, t') \delta ...
</tex>
これを (#ref(phi01)) に代入し、(#ref(def-rho)) を用いると
<tex>
\phi(\bm{r},t) & = \int d^3\bm{r'}
\int dt' \frac{\rho(\bm{r'}, t')}{|\bm{r}-\bm{r'}|}
\delta \left(t'-t + \frac{1}{c}|\bm{r}-\bm{r'}|\right)\\
& = \int d^3\bm{r'} \int dt'
\frac{q \delta \left(\bm{r'}-\bm{r_0}\left(t'\right)\ri...
\delta \left(t'-t + \frac{1}{c}|\bm{r}-\bm{r'}|\right)\\
& = q \int dt'
\frac{1}{|\bm{r}-\bm{r_0}(t')|}
\delta \left(t'-t + \frac{1}{c}|\bm{r}-\bm{r_0}(t')|\ri...
</tex>
となります。ここで $\bm{R}(t') \equiv \bm{r}-\bm{r_0}(t')...
<tex>
\phi(\bm{r},t) = q \int dt' R^{-1}(t') \delta \left( t' -...
</tex>
となります。ベクトルポテンシャルについても同様な計算をし...
<tex>
\bm{A}(\bm{r},t) & =
\int d^3\bm{r'} \int dt' \frac{\bm{j}(\bm{r'},t')}{|\bm...
\delta \left(t'-t + \frac{1}{c}|\bm{r}-\bm{r'}|\right)\\
& =
\int d^3\bm{r'} \int dt' \frac{q\bm{u}(t') \delta \left...
\delta \left(t'-t + \frac{1}{c}|\bm{r}-\bm{r'}|\right)\\
& =
q \int dt' \bm{u}(t') R^{-1}(t') \delta \left( t' - t +...
</tex>
が得られます。ふぅ。
さて、計算を進めましょう。
まずは $\phi(\bm{r},t)$ について計算していきます。
まず $t'' = t' - t + \frac{R(t')}{c}$ とおきます。
すると、
<tex>
dt'' = dt' + \frac{1}{c}\dot{R}(t')dt' \tag{#def(dt''01)}
</tex>
となります。
ところで、 $R^2(t') = \bm{R}(t')\cdot\bm{R}(t')$ ですから...
<tex>
R(t')\dot{R}(t') = -\bm{u}(t')\cdot\bm{R}(t') \tag{#def(R...
</tex>
となります。ここで単位ベクトル $\bm{n}$ を $\bm{n} = \fra...
<tex>
\dot{R}(t') = - \bm{u}(t')\cdot\bm{n}(t')
</tex>
となります。従って $dt''$ は (#ref(dt''01)) より
<tex>
dt'' = \left[1-\frac{1}{c}\bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t')\right...
</tex>
と書けます。
さて、(#ref(phi02)) を $t''$ を用いて書き換えると
<tex>
\phi(\bm{r}, t) =
q \int R^{-1}(t')
\left[1 - \frac{1}{c}\bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t')\right]^{...
\delta (t'') dt'' \tag{#def(phi03)}
</tex>
となります。遅延時間を $t_{\rm{ret}} \equiv t - \frac{R(t...
<tex>
\phi( \bm{r}, t) = \frac{q}{\kappa (t_{\rm{ret}}) R(t_{\r...
</tex>
となります。ただしここで
<tex>
\kappa(t') = 1 - \frac{1}{c}\bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t') \ta...
</tex>
としました。
ベクトルについてもポテンシャルも同様に計算して、
<tex>
\bm{A}(\bm{r},t) = \frac{q \bm{u}(t_{\rm{ret}})}{c\kappa(...
</tex>
が得られます。遅延時間をとることを表すのに $[\ ]$ を使う...
<tex>
\phi & = \left[ \frac{q}{\kappa R} \right] \tag{#def(phi0...
\bm{A} & = \left[ \frac{q \bm{u}}{c \kappa R} \right]. \t...
</tex>
(#ref(phi06))、(#ref(A06)) を |Lienard-Wiechert| ポテンシ...
静電場、静磁場のポテンシャルと形は似ていますね。
---------------------------------
補足
---------------------------------
何のためにこの |Lienard-Wiechert| ポテンシャルを計算して...
|Lienard-Wiechert| ポテンシャルは主に次の二つの点で静電場...
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
$\kappa$ について
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
まず第一に、 $\kappa$ というファクターです。もう一度書く...
<tex>
\kappa(t') = 1 - \frac{1}{c}\bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t')
</tex>
です。この中で $\bm{n}$ ベクトルは $\bm{r}-\bm{r_0}$ の向...
一方、 $\bm{u}$ は電荷の運動している方向を向いています。
$\kappa$ にはその内積が入っています。
つまり電荷と観測者を結ぶ方向と、電荷の運動方向がどのくら...
$u$ が光速に比べて十分に小さい $u << c$ とき、 $\kappa \s...
一方、 $u$ が光速に近いとき $\kappa$ は電荷と観測者を結ぶ...
速度ベクトルが同じ向きを向いているときにポテンシャルは最...
電荷が観測者と直交する方向に運動しているときがもっとも小...
これは相対論的ビーミング効果に関係しています。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
$t_{\rm{ret}}$ について
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
もう一つは、全ての量が遅延時間 $t_{\rm{ret}}$ で表されて...
あとで見るように、この遅延があることにより、電磁波が無限...
@@reference: George B.Rybicki & Alan P. Lightman, Radiati...
@@author: CO@@
@@accept: 執筆中@@
@@id: Lienard-Wiechert@@
@@category: 電磁気学@@
終了行:
#rst2hooktail_source
=========================================
|Lienard-Wiechert| ポテンシャル
=========================================
.. |Lienard-Wiechert| unicode:: Li U+00E9 nard-Wiechert
ここでは |Lienard-Wiechert| ポテンシャルについて解説しま...
加速度運動をする荷電粒子が電磁波を放射することを理解する...
なお、このシリーズでは単位系として cgs 単位系を用います。...
|Lienard-Wiechert| は「リエナール・ヴィーヒェルト」と読み...
--------------------------------
出発点
--------------------------------
.. figure:: co-lienard01.png
電荷 $q$ を持つ点電荷が軌道 $\bm{r} = \bm{r_0}(t)$ に沿っ...
このとき、電荷密度および電流密度は次のように書くことがで...
<tex>
\rho(\bm{r}, t) & = q \delta \left(\bm{r}-\bm{r_0}\left(t...
\bm{j}(\bm{r}, t) & = q \bm{u}(t) \delta \left(\bm{r}-\bm...
</tex>
ここで $\bm{u}(t) = \frac{d \bm{r_0}(t)}{dt}$ です。
電場、磁場をスカラーポテンシャル $\phi(\bm{r},t)$ とベク...
ゲージとしてローレンツゲージを選ぶと、次のようになります。
<tex>
\nabla^2 \phi - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \phi}{\par...
\nabla^2 \bm{A} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \bm{A}}{...
</tex>
式(#ref(maxwell-phi))、式(#ref(maxwell-A))の解は次のよう...
<tex>
\phi(\bm{r}, t) = \int \frac{\left[ \rho \right] d^3\bm{r...
\bm{A}(\bm{r}, t) = \int \frac{\left[\bm{j}\right] d^3\bm...
</tex>
ここで $[Q]$ は、 $Q$ を遅延時間を用いて計算せよという意...
遅延時間 (retarded time) $t_{\rm{ret}}$ は $t_{\rm{ret}} ...
光は有限の速さ $c$ で伝わるので、点 $\bm{r'}$ で起こった...
.. [*] これを求めるのはなかなか大変です。とりあえずここで...
----------------------------------
ポテンシャルを計算する
----------------------------------
さて、では実際に (#ref(phi01))、(#ref(A01)) を計算してい...
電荷密度 $[\rho]$ は次のように書くことができます。
<tex>
\left[ \rho \right] = \int dt' \rho( \bm{r'}, t') \delta ...
</tex>
これを (#ref(phi01)) に代入し、(#ref(def-rho)) を用いると
<tex>
\phi(\bm{r},t) & = \int d^3\bm{r'}
\int dt' \frac{\rho(\bm{r'}, t')}{|\bm{r}-\bm{r'}|}
\delta \left(t'-t + \frac{1}{c}|\bm{r}-\bm{r'}|\right)\\
& = \int d^3\bm{r'} \int dt'
\frac{q \delta \left(\bm{r'}-\bm{r_0}\left(t'\right)\ri...
\delta \left(t'-t + \frac{1}{c}|\bm{r}-\bm{r'}|\right)\\
& = q \int dt'
\frac{1}{|\bm{r}-\bm{r_0}(t')|}
\delta \left(t'-t + \frac{1}{c}|\bm{r}-\bm{r_0}(t')|\ri...
</tex>
となります。ここで $\bm{R}(t') \equiv \bm{r}-\bm{r_0}(t')...
<tex>
\phi(\bm{r},t) = q \int dt' R^{-1}(t') \delta \left( t' -...
</tex>
となります。ベクトルポテンシャルについても同様な計算をし...
<tex>
\bm{A}(\bm{r},t) & =
\int d^3\bm{r'} \int dt' \frac{\bm{j}(\bm{r'},t')}{|\bm...
\delta \left(t'-t + \frac{1}{c}|\bm{r}-\bm{r'}|\right)\\
& =
\int d^3\bm{r'} \int dt' \frac{q\bm{u}(t') \delta \left...
\delta \left(t'-t + \frac{1}{c}|\bm{r}-\bm{r'}|\right)\\
& =
q \int dt' \bm{u}(t') R^{-1}(t') \delta \left( t' - t +...
</tex>
が得られます。ふぅ。
さて、計算を進めましょう。
まずは $\phi(\bm{r},t)$ について計算していきます。
まず $t'' = t' - t + \frac{R(t')}{c}$ とおきます。
すると、
<tex>
dt'' = dt' + \frac{1}{c}\dot{R}(t')dt' \tag{#def(dt''01)}
</tex>
となります。
ところで、 $R^2(t') = \bm{R}(t')\cdot\bm{R}(t')$ ですから...
<tex>
R(t')\dot{R}(t') = -\bm{u}(t')\cdot\bm{R}(t') \tag{#def(R...
</tex>
となります。ここで単位ベクトル $\bm{n}$ を $\bm{n} = \fra...
<tex>
\dot{R}(t') = - \bm{u}(t')\cdot\bm{n}(t')
</tex>
となります。従って $dt''$ は (#ref(dt''01)) より
<tex>
dt'' = \left[1-\frac{1}{c}\bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t')\right...
</tex>
と書けます。
さて、(#ref(phi02)) を $t''$ を用いて書き換えると
<tex>
\phi(\bm{r}, t) =
q \int R^{-1}(t')
\left[1 - \frac{1}{c}\bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t')\right]^{...
\delta (t'') dt'' \tag{#def(phi03)}
</tex>
となります。遅延時間を $t_{\rm{ret}} \equiv t - \frac{R(t...
<tex>
\phi( \bm{r}, t) = \frac{q}{\kappa (t_{\rm{ret}}) R(t_{\r...
</tex>
となります。ただしここで
<tex>
\kappa(t') = 1 - \frac{1}{c}\bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t') \ta...
</tex>
としました。
ベクトルについてもポテンシャルも同様に計算して、
<tex>
\bm{A}(\bm{r},t) = \frac{q \bm{u}(t_{\rm{ret}})}{c\kappa(...
</tex>
が得られます。遅延時間をとることを表すのに $[\ ]$ を使う...
<tex>
\phi & = \left[ \frac{q}{\kappa R} \right] \tag{#def(phi0...
\bm{A} & = \left[ \frac{q \bm{u}}{c \kappa R} \right]. \t...
</tex>
(#ref(phi06))、(#ref(A06)) を |Lienard-Wiechert| ポテンシ...
静電場、静磁場のポテンシャルと形は似ていますね。
---------------------------------
補足
---------------------------------
何のためにこの |Lienard-Wiechert| ポテンシャルを計算して...
|Lienard-Wiechert| ポテンシャルは主に次の二つの点で静電場...
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
$\kappa$ について
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
まず第一に、 $\kappa$ というファクターです。もう一度書く...
<tex>
\kappa(t') = 1 - \frac{1}{c}\bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t')
</tex>
です。この中で $\bm{n}$ ベクトルは $\bm{r}-\bm{r_0}$ の向...
一方、 $\bm{u}$ は電荷の運動している方向を向いています。
$\kappa$ にはその内積が入っています。
つまり電荷と観測者を結ぶ方向と、電荷の運動方向がどのくら...
$u$ が光速に比べて十分に小さい $u << c$ とき、 $\kappa \s...
一方、 $u$ が光速に近いとき $\kappa$ は電荷と観測者を結ぶ...
速度ベクトルが同じ向きを向いているときにポテンシャルは最...
電荷が観測者と直交する方向に運動しているときがもっとも小...
これは相対論的ビーミング効果に関係しています。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
$t_{\rm{ret}}$ について
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
もう一つは、全ての量が遅延時間 $t_{\rm{ret}}$ で表されて...
あとで見るように、この遅延があることにより、電磁波が無限...
@@reference: George B.Rybicki & Alan P. Lightman, Radiati...
@@author: CO@@
@@accept: 執筆中@@
@@id: Lienard-Wiechert@@
@@category: 電磁気学@@
ページ名:
Modified by
物理のかぎプロジェクト
PukiWiki 1.4.6
Copyright © 2001-2005
PukiWiki Developers Team
. License is
GPL
.
Based on "PukiWiki" 1.3 by
yu-ji
Powered by PHP 5.3.29 HTML convert time to 0.003 sec.