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Lagrange形式の力学
====================
これまで,Lagrange形式の力学の定式化を見てきました.ここ...
使って再定式化をしようと目論んでみましょう.基本的なアイ...
変分原理を使って座標不変な運動方程式を出す過程を数学的に...
という試みです.
ある質点系の運動を $n$ 次元微分可能多様体 $M$ の上で記述...
言葉を使うと,配位空間を多様体 $M$ とするということです.
そのとき,ラグランジアン $L$ は多様体 $M$ の接バンドル $T...
実数 $\mathbb{R}$ への写像として定式化されます.
<tex>
L:TM\to \mathbb{R}
</tex>
このように書くと非常に抽象的になってしまいますが, $TM$ ...
( $(q_1,\dots,q_n)$ は多様体 $M$ 上の局所座標で $(v_1,\do...
を取ることにすれば,これまでやってきたような書き方でラグ...
さて,ここで実数の区間 $[t_1,t_2]$ から多様体 $M$ への滑...
このような写像を $M$ 上の道といいます.
この $M$ 上の道一つを決めるごとに考えている質点系の運動の...
たくさんある道のなかのただ一つしかありません.その道を見...
作用積分 $S$ をラグランジアン $L:TM\to \mathbb{R}$ を用い...
<tex>
S[q(-)] = \int_{t_1}^{t_2} L(q(t),\dot{q}(t)) \mathrm{d} t
</tex>
作用積分を $S[q(-)]$ と書いたのは, $M$ 上の道 $q:[t_1,t_...
一つ定まることを顕に示すためです.このことをはっきりさせ...
ここで変分原理を用いたいのですが,変分原理とはどのような...
.. important::
変分原理とは,道 $q:[t_1,t_2]\to M$ の端点を固定した条...
しかし,多様体の上で道をわずかにずらすということを,その...
次のような方法を使いましょう.
両端を固定した道 $q(t)$ の1-パラメーター・ファミリー $q(t...
1. $q:[t_1,t_2]\times\mathbb{R}\to M,(t,\varepsilon)\maps...
定まる道を考えます.ただし,この道は $\varepsilon$ につい...
2.道の端点は $\varepsilon$ によらずに固定されているとしま...
<tex>
q(t_1,\varepsilon)=q_1,q(t_2,\varepsilon)=q_2\;\;(q_1,q_2...
</tex>
3.特に $\varepsilon=0$ のときの道を $q(t):=q(t,0)$ と定義...
さて,ここで変分原理より $M$ 上の道 $q(t)$ が現実の運動を...
<tex>
\left.{\mathrm{d}\over \mathrm{d}\varepsilon}\right|_{\va...
</tex>
が $q(t)$ の任意の1-パラメータ・ファミリー $q(t,\varepsil...
さて,この段階までは多様体(すなわち配位空間) $M$ に全く局...
変分原理によって定まる運動を表す道は座標系によらないこと...
ここからの計算は前とほとんど同じです.式の見かけを簡単に...
と置きます.今考えている道の性質(2)から $\eta(t_1)=\eta(t...
さらに,ここからは具体的に運動を表す方程式がほしいので多...
をとりましょう.このとき,
<tex>
\left.{\mathrm{d}\over \mathrm{d}\varepsilon}\right|_{\va...
\left.{\mathrm{d}\over \mathrm{d}\varepsilon}\right|_{\va...
\int_{t_1}^{t_2}L(q(t,\varepsilon),\dot{q}(t,\varepsilon)...
&=\int_{t_1}^{t_2}\sum_{k=1}^{n}\left[ \left({\partial L\...
{\partial q_k\over\partial\varepsilon}(t,0)+\left({\parti...
{\partial \dot{q}_k\over \partial \varepsilon}(t,0) \righ...
&=\int_{t_1}^{t_2}\sum_{k=1}^{n}\left[ \left({\partial L\...
+\left({\partial L\over \partial v_k}(q(t),\dot{q}(t))\ri...
&=\sum_{k=1}^{n}\left[\left({\partial L\over \partial v_k...
+\int_{t_1}^{t_2}\sum_{k=1}^{n}\left({\partial L\over\par...
{\partial L\over \partial v_k}(q(t),\dot{q}(t))\right)\et...
&=\int_{t_1}^{t_2}\sum_{k=1}^{n}\left({\partial L\over\pa...
{\partial L\over \partial v_k}(q(t),\dot{q}(t))\right)\et...
</tex>
を得ます.さまざまな1-パラメーター・ファミリーについて
<tex>
\left.{\mathrm{d}\over \mathrm{d}\varepsilon}\right|_{\va...
</tex>
が成り立つということは,任意の連続函数 $\eta(t)$ について
<tex>
\int_{t_1}^{t_2}\sum_{k=1}^{n}\left({\partial L\over\part...
{\partial L\over \partial v_k}(q(t),\dot{q}(t))\right)\et...
</tex>
が成り立つということですから,Lagrangeの運動方程式
<tex>
{\partial L\over\partial q_k}(q(t),\dot{q}(t))-{\mathrm{d...
{\partial L\over \partial v_k}(q(t),\dot{q}(t))=0\quad(k=...
</tex>
を得ます.
@@author:佑弥@@
@@category:解析力学@@
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Lagrange形式の力学
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これまで,Lagrange形式の力学の定式化を見てきました.ここ...
使って再定式化をしようと目論んでみましょう.基本的なアイ...
変分原理を使って座標不変な運動方程式を出す過程を数学的に...
という試みです.
ある質点系の運動を $n$ 次元微分可能多様体 $M$ の上で記述...
言葉を使うと,配位空間を多様体 $M$ とするということです.
そのとき,ラグランジアン $L$ は多様体 $M$ の接バンドル $T...
実数 $\mathbb{R}$ への写像として定式化されます.
<tex>
L:TM\to \mathbb{R}
</tex>
このように書くと非常に抽象的になってしまいますが, $TM$ ...
( $(q_1,\dots,q_n)$ は多様体 $M$ 上の局所座標で $(v_1,\do...
を取ることにすれば,これまでやってきたような書き方でラグ...
さて,ここで実数の区間 $[t_1,t_2]$ から多様体 $M$ への滑...
このような写像を $M$ 上の道といいます.
この $M$ 上の道一つを決めるごとに考えている質点系の運動の...
たくさんある道のなかのただ一つしかありません.その道を見...
作用積分 $S$ をラグランジアン $L:TM\to \mathbb{R}$ を用い...
<tex>
S[q(-)] = \int_{t_1}^{t_2} L(q(t),\dot{q}(t)) \mathrm{d} t
</tex>
作用積分を $S[q(-)]$ と書いたのは, $M$ 上の道 $q:[t_1,t_...
一つ定まることを顕に示すためです.このことをはっきりさせ...
ここで変分原理を用いたいのですが,変分原理とはどのような...
.. important::
変分原理とは,道 $q:[t_1,t_2]\to M$ の端点を固定した条...
しかし,多様体の上で道をわずかにずらすということを,その...
次のような方法を使いましょう.
両端を固定した道 $q(t)$ の1-パラメーター・ファミリー $q(t...
1. $q:[t_1,t_2]\times\mathbb{R}\to M,(t,\varepsilon)\maps...
定まる道を考えます.ただし,この道は $\varepsilon$ につい...
2.道の端点は $\varepsilon$ によらずに固定されているとしま...
<tex>
q(t_1,\varepsilon)=q_1,q(t_2,\varepsilon)=q_2\;\;(q_1,q_2...
</tex>
3.特に $\varepsilon=0$ のときの道を $q(t):=q(t,0)$ と定義...
さて,ここで変分原理より $M$ 上の道 $q(t)$ が現実の運動を...
<tex>
\left.{\mathrm{d}\over \mathrm{d}\varepsilon}\right|_{\va...
</tex>
が $q(t)$ の任意の1-パラメータ・ファミリー $q(t,\varepsil...
さて,この段階までは多様体(すなわち配位空間) $M$ に全く局...
変分原理によって定まる運動を表す道は座標系によらないこと...
ここからの計算は前とほとんど同じです.式の見かけを簡単に...
と置きます.今考えている道の性質(2)から $\eta(t_1)=\eta(t...
さらに,ここからは具体的に運動を表す方程式がほしいので多...
をとりましょう.このとき,
<tex>
\left.{\mathrm{d}\over \mathrm{d}\varepsilon}\right|_{\va...
\left.{\mathrm{d}\over \mathrm{d}\varepsilon}\right|_{\va...
\int_{t_1}^{t_2}L(q(t,\varepsilon),\dot{q}(t,\varepsilon)...
&=\int_{t_1}^{t_2}\sum_{k=1}^{n}\left[ \left({\partial L\...
{\partial q_k\over\partial\varepsilon}(t,0)+\left({\parti...
{\partial \dot{q}_k\over \partial \varepsilon}(t,0) \righ...
&=\int_{t_1}^{t_2}\sum_{k=1}^{n}\left[ \left({\partial L\...
+\left({\partial L\over \partial v_k}(q(t),\dot{q}(t))\ri...
&=\sum_{k=1}^{n}\left[\left({\partial L\over \partial v_k...
+\int_{t_1}^{t_2}\sum_{k=1}^{n}\left({\partial L\over\par...
{\partial L\over \partial v_k}(q(t),\dot{q}(t))\right)\et...
&=\int_{t_1}^{t_2}\sum_{k=1}^{n}\left({\partial L\over\pa...
{\partial L\over \partial v_k}(q(t),\dot{q}(t))\right)\et...
</tex>
を得ます.さまざまな1-パラメーター・ファミリーについて
<tex>
\left.{\mathrm{d}\over \mathrm{d}\varepsilon}\right|_{\va...
</tex>
が成り立つということは,任意の連続函数 $\eta(t)$ について
<tex>
\int_{t_1}^{t_2}\sum_{k=1}^{n}\left({\partial L\over\part...
{\partial L\over \partial v_k}(q(t),\dot{q}(t))\right)\et...
</tex>
が成り立つということですから,Lagrangeの運動方程式
<tex>
{\partial L\over\partial q_k}(q(t),\dot{q}(t))-{\mathrm{d...
{\partial L\over \partial v_k}(q(t),\dot{q}(t))=0\quad(k=...
</tex>
を得ます.
@@author:佑弥@@
@@category:解析力学@@
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