記事ソース/和と積分との関係
をテンプレートにして作成
査読
rst2hooktail
進行表
執筆中
かぎマニュ
物理のかぎプロジェクト
トップ
最近の更新
ヘルプ
開始行:
#rst2hooktail_source
=================
和と積分との関係
=================
積分される物理量が発散しないかぎり、その積分によって特徴...
積分の定義を理解する事によって、実用的にも計算の幅が広が...
1. 微分の逆演算としての積分
2. 積分と和との差を埋める規格化因子
目標としては、1.で解析的に性質の良い関数(以下、なめらか...
次に2.で和と積分との関わりを調べ、「和の極限が積分」だと...
なお、この番号はセクション番号に対応しております。
1.微分の逆演算としての積分
--------------------------
よく「微分と積分は逆演算だよ」と高校生の頃から教えられて...
微分の逆の効果を期待して積分を使っています。例えば速度が...
ではその逆の場合は何をしますか。そう、加速度を積分するの...
目標とします。次に和について確認をし、次の規格化因子の話...
微分の逆演算としての積分
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
積分を微分の逆演算であるとして定義していきます。
1変数関数 $F(x)$ の導関数を $f(x)$ とします。次のように変...
<tex>
&x_{0} = a <x_{1}<x_{2}< \cdot\cdot\cdot <x_{n} = b <x_{n...
&\xi_{i} = x_{i-1} + \theta \Delta_{i} [0 < \theta < 1] ...
& \Delta_{i} = x_{i} - x_{i-1} [i= 1,2,3,\cdot\cdot\cdot ...
&|\Delta| \equiv \{ \Delta_{max} | \Delta_{i} (i=1,2,3,\c...
</tex>
ここで書いた ${\Delta_{max}}$ とは分割の最大の大きさで、 ...
分割ゼロの極限をとりたいときには、 ${|\Delta|}$ をゼロの...
なぜならば大きさとして採用する ${|\Delta|}$ は常に ${\Del...
次に平均値の定理より次の事が言えます。
<tex>
&\frac{F(x_{i}) - F(x_{i-1})}{x_{i} - x_{i-1}} = f(\xi_{i...
&f({\xi_{i}}) \Delta_{i} = F(x_{i}) - F(x_{i-1}) \tag...
</tex>
ここで更に $\tag{6}$ の両辺の和をとると
<tex>
\sum_{i=1}^{n+1} [F(x_{i}) -F(x_{i-1})]
&= [F(x_{n+1}) -F(x_{n})] +[F(x_{n})-F{x_{n-1}}] + \cdo...
&= F(x_{n+1}) -F(x_{0}) = F(b+\Delta_{n+1}) - F(a) \\
&= F(b) - F(a) + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} \left...
</tex>
になります。上の式を整理しておくと、次のように書けます。
<tex>
\sum_{i=1}^{n+1} [\Delta_{i} f(\xi_{i})] = F(b) -F(a) + \...
</tex>
ここで分割の大きさ ${|\Delta| \to 0}$ の極限をとります。...
微分可能なとき次の式を満たす必要があります。
<tex>
&\lim_{|\Delta| \to 0}\frac{F(x_{i}) - F(x_{i-1})}{x_{i} ...
&\xi_{i}^{\prime} = \frac{(x_{i-1}+0)+(x_{i-1}-0)}{2}
</tex>
関数 $F(x)$ が ${x_{i-1}}$ で連続ならば、 ${\xi_{i}^{\pri...
<tex>
&\lim_{|\Delta| \to 0} \sum_{i=1}^{n+1} [\Delta_{i} f(\xi...
&\therefore \lim_{|\Delta| \to 0} \sum_{i=1}^{n+1} [\Del...
</tex>
になります。なぜ積分の定義式と呼べるかと言うと、この ${\t...
それを説明するためにここで積分の始点を固定し、終点 ${x_{n...
すると $a$ が任意であることに注意して( $C$ :任意定数)
<tex>
\lim_{ |\Delta| \to 0 } \sum_{i=1}^{n+1} [\Delta_{i} f(\x...
</tex>
と書くことができます。この積分に対応した微分は ${\tag{8}}...
<tex>
\lim_{|\Delta| \to 0}\frac{F(x_{n+1}) - F(x_{n})}{x_{n+1}...
</tex>
この $\tag{10}$ が導関数 $f(x)$ から逆に $F(x)$ を求めて...
確かに微分の逆演算としての性能を満たしている事が確かめら...
<tex>
\lim_{ |\Delta| \to 0 } \sum_{i=1}^{n+1} [\Delta_{i} f(\x...
</tex>
和について
^^^^^^^^^^
積分が分かったところで、和について確認しておきます。
1変数関数 $f(x)$ を離散的に閉区間 ${[a,b]}$ まで和をとっ...
<tex>
&\sum_{i=1}^{n+1} f(x_{i-1}) \tag{11}
</tex>
そうすると閉区間 ${[a,b]}$ の間で有限な十分に細かい分割で...
<tex>
\int_{a}^{b} f(x) dx \sim \sum_{i=1}^{n+1} f(x_{i-1})
</tex>
になるはずです。しかしながらこの和を分割の大きさ ${|\Delt...
2. 積分と和との差を埋める規格化因子
-----------------------------------
規格化因子とは、和と積分の間の差を埋めるための因子のこと...
ここでは、積分する問題の計算を、修正された和の極限として...
具体的に規格化因子 ${h(n)}$ のカタチを求めるには まず、和...
そして次に ${\tag{A}}$ との比較すれば良いです。和と規格化...
<tex>
\lim_{ h \to 0 } \left[ h(n) \sum_{i=1}^{n+1} f(x_{i-1})...
</tex>
すると直ちに $\tag{A}$ との比較により規格化因子 ${h(n)}$ は
<tex>
h(n) &= \frac{ \sum_{i=1}^{n+1}f(\xi_{i}) \Delta_{i} }{ \...
&\sim \frac{ \sum_{i=1}^{n+1}f(x_{i-1}) \Delta_{i} }...
</tex>
を満たす量だと言う事が分かります。2段目は近似的に成り立...
積分へ移行するときに極限操作を行う事から規格化因子(和と...
<tex>
h(n) \equiv \frac{ \sum_{i=1}^{n+1}f(x_{i-1}) \Delta_{i} ...
</tex>
この簡単化のために後で極限をとらないと、いくらか規格化因...
大きさは、積分値からずれることを注意しておきます。この因...
簡単な例(三角形の面積)
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
具体的な例として、一方の角の大きさが $\phi$ で、底辺の長...
規格化因子が正しい結果を導く事を確認します。このとき関数 ...
.. image:: okome-riemannIntegra-01.png
簡単のために ${\xi_{i}}$ は等差数列と考えると
<tex>
&x_{i-1} = |\Delta|(i-1) = \frac{C(i-1)}{n} \tag{14}
</tex>
になります。分割の数が変わるのに対して、区間の方は決まっ...
なります。 $\tag{14}$ に $\tag{15}$ 式を代入すると規格化...
<tex>
h(n) &= \frac{\sum_{i=1}^{n+1} x_{i-1}(x_{i} - x_{i-1})}{...
&= \frac{C}{n} \lim_{|\Delta| \to 0} \frac{\sum_{i=1...
&= \frac{C}{n} \tag{15}
</tex>
になります。そして次に ${x_{i-1}}$ の和を計算すると
<tex>
\sum_{i=1}^{n+1}x_{i-1} = \frac{(n-1)(x_{n} + x_{0})}{2} ...
</tex>
になります。すると $\tag{12}$ より三角形の面積 $S$ は次の...
<tex>
S = \lim_{|\Delta| \to 0} \left[ h(n) \sum_{i=1}^{n+1} f...
...
...
</tex>
これは確かに三角形の面積の定義に一致します。ここで修正さ...
ことも分かります。前にも注意しておきましたが、これは規格...
最後、確認のために積分でも求めてみると結果は一致している...
<tex>
\int_{0}^{C} x\tan \phi dx &= \tan \phi \left[ \frac{x^{...
&= \frac{C^{2}\tan \phi}{2} =...
&= S \tag{18}
</tex>
和と積分との関係
^^^^^^^^^^^^^^^^
規格化因子が正しい結果を出す事を確認したので、和との関係...
三角形の面積を求める途中で分割の大きさを等しいと仮定しま...
そのときの積分の区間を閉区間 $[a,b]$ とすると、規格化因子...
<tex>
h = |\Delta| =\frac{b-a}{n} \tag{19}
</tex>
と書くことができます。このとき積分の定義式 $\tag{9}$ は次...
<tex>
\lim_{h \to 0} \left[ h \sum_{n=1}^{n+1}f(x_{i-1}) \right...
</tex>
つまりこのとき、積分とは和に極限を持たせるための因子 ${|\...
これによって和と積分との間の隔たりが直感的にイメージしや...
以上の説明から分かるように,和の極限が積分というのは短絡...
この因子が無ければ、和には極限が存在しません。それはセク...
注意
^^^^
実は規格化因子などというもの、積分するときには考える必要...
積分の定義式 $\tag{A}$ がむしろ和から積分への移行も容易で...
3.和が極限を持つための因子(おまけ)
------------------------------------
おまけとして別の角度から規格化因子について考えていきます...
またその結果が積分の規格化因子と一致する事を確認します。
まず関数の和の性質を知るために、和 $\tag{10}$ の $f(x_{i-...
<tex>
\sum_{i=1}^{n+1} f(x_{i-1}) &= \sum_{i=1}^{n+1} \sum_{k=...
&= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{...
</tex>
と書けます。 ${\sum_{i=1}^{n+1}(i-1)^{k}}$ の最大の $n$ ...
消えてしまう ${|\Delta|^{m} [m \ge 1]}$ の項を切り捨てて...
<tex>
\sum_{i=1}^{n+1} f(x_{i-1}) \sim \sum_{k=0}^{\infty} \fra...
</tex>
になります。するとこの式から ${|\Delta| \to 0}$ の極限は...
ここで、できるだけ主要な項を引き出すにはどうしたら良いの...
かければ良いことに気付きます。最後に ${\tag{22}}$ の両辺...
<tex>
\lim_{|\Delta| \to 0} \left[ |\Delta| \sum_{i=1}^{n+1} f(...
\therefore \int...
</tex>
もう少し整理すると次のように書けます。
<tex>
\int_{a}^{b}f(x)dx &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{C_{k}^{1...
&= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{C_{k}^{1...
</tex>
ここで ${C_{k}^{1}}$ がどの値で上の等式を満足するかを示し...
<tex>
F(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \left. \frac{d^{k...
</tex>
と ${x=a}$ のまわりで冪級数展開したものから積分値を
<tex>
\int_{a}^{b}f(x)dx &= F(b) - F(a) \\
&= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \l...
</tex>
と書き、 $\tag{23}$ と ${\tag{24}}$ の ${(b-a)^{k+1}}$ の...
<tex>
&\frac{C_{k}^{1}}{k!} \left. \frac{d^{k+1}F(x)}{dx^{k+1}}...
&\therefore C_{k}^{1} = \frac{1}{k+1} \tag{25}
</tex>
@@author: おこめ@@
@@accept: 2005-05-08@@
@@category: 物理数学@@
@@id:riemannIntegra@@
終了行:
#rst2hooktail_source
=================
和と積分との関係
=================
積分される物理量が発散しないかぎり、その積分によって特徴...
積分の定義を理解する事によって、実用的にも計算の幅が広が...
1. 微分の逆演算としての積分
2. 積分と和との差を埋める規格化因子
目標としては、1.で解析的に性質の良い関数(以下、なめらか...
次に2.で和と積分との関わりを調べ、「和の極限が積分」だと...
なお、この番号はセクション番号に対応しております。
1.微分の逆演算としての積分
--------------------------
よく「微分と積分は逆演算だよ」と高校生の頃から教えられて...
微分の逆の効果を期待して積分を使っています。例えば速度が...
ではその逆の場合は何をしますか。そう、加速度を積分するの...
目標とします。次に和について確認をし、次の規格化因子の話...
微分の逆演算としての積分
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
積分を微分の逆演算であるとして定義していきます。
1変数関数 $F(x)$ の導関数を $f(x)$ とします。次のように変...
<tex>
&x_{0} = a <x_{1}<x_{2}< \cdot\cdot\cdot <x_{n} = b <x_{n...
&\xi_{i} = x_{i-1} + \theta \Delta_{i} [0 < \theta < 1] ...
& \Delta_{i} = x_{i} - x_{i-1} [i= 1,2,3,\cdot\cdot\cdot ...
&|\Delta| \equiv \{ \Delta_{max} | \Delta_{i} (i=1,2,3,\c...
</tex>
ここで書いた ${\Delta_{max}}$ とは分割の最大の大きさで、 ...
分割ゼロの極限をとりたいときには、 ${|\Delta|}$ をゼロの...
なぜならば大きさとして採用する ${|\Delta|}$ は常に ${\Del...
次に平均値の定理より次の事が言えます。
<tex>
&\frac{F(x_{i}) - F(x_{i-1})}{x_{i} - x_{i-1}} = f(\xi_{i...
&f({\xi_{i}}) \Delta_{i} = F(x_{i}) - F(x_{i-1}) \tag...
</tex>
ここで更に $\tag{6}$ の両辺の和をとると
<tex>
\sum_{i=1}^{n+1} [F(x_{i}) -F(x_{i-1})]
&= [F(x_{n+1}) -F(x_{n})] +[F(x_{n})-F{x_{n-1}}] + \cdo...
&= F(x_{n+1}) -F(x_{0}) = F(b+\Delta_{n+1}) - F(a) \\
&= F(b) - F(a) + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} \left...
</tex>
になります。上の式を整理しておくと、次のように書けます。
<tex>
\sum_{i=1}^{n+1} [\Delta_{i} f(\xi_{i})] = F(b) -F(a) + \...
</tex>
ここで分割の大きさ ${|\Delta| \to 0}$ の極限をとります。...
微分可能なとき次の式を満たす必要があります。
<tex>
&\lim_{|\Delta| \to 0}\frac{F(x_{i}) - F(x_{i-1})}{x_{i} ...
&\xi_{i}^{\prime} = \frac{(x_{i-1}+0)+(x_{i-1}-0)}{2}
</tex>
関数 $F(x)$ が ${x_{i-1}}$ で連続ならば、 ${\xi_{i}^{\pri...
<tex>
&\lim_{|\Delta| \to 0} \sum_{i=1}^{n+1} [\Delta_{i} f(\xi...
&\therefore \lim_{|\Delta| \to 0} \sum_{i=1}^{n+1} [\Del...
</tex>
になります。なぜ積分の定義式と呼べるかと言うと、この ${\t...
それを説明するためにここで積分の始点を固定し、終点 ${x_{n...
すると $a$ が任意であることに注意して( $C$ :任意定数)
<tex>
\lim_{ |\Delta| \to 0 } \sum_{i=1}^{n+1} [\Delta_{i} f(\x...
</tex>
と書くことができます。この積分に対応した微分は ${\tag{8}}...
<tex>
\lim_{|\Delta| \to 0}\frac{F(x_{n+1}) - F(x_{n})}{x_{n+1}...
</tex>
この $\tag{10}$ が導関数 $f(x)$ から逆に $F(x)$ を求めて...
確かに微分の逆演算としての性能を満たしている事が確かめら...
<tex>
\lim_{ |\Delta| \to 0 } \sum_{i=1}^{n+1} [\Delta_{i} f(\x...
</tex>
和について
^^^^^^^^^^
積分が分かったところで、和について確認しておきます。
1変数関数 $f(x)$ を離散的に閉区間 ${[a,b]}$ まで和をとっ...
<tex>
&\sum_{i=1}^{n+1} f(x_{i-1}) \tag{11}
</tex>
そうすると閉区間 ${[a,b]}$ の間で有限な十分に細かい分割で...
<tex>
\int_{a}^{b} f(x) dx \sim \sum_{i=1}^{n+1} f(x_{i-1})
</tex>
になるはずです。しかしながらこの和を分割の大きさ ${|\Delt...
2. 積分と和との差を埋める規格化因子
-----------------------------------
規格化因子とは、和と積分の間の差を埋めるための因子のこと...
ここでは、積分する問題の計算を、修正された和の極限として...
具体的に規格化因子 ${h(n)}$ のカタチを求めるには まず、和...
そして次に ${\tag{A}}$ との比較すれば良いです。和と規格化...
<tex>
\lim_{ h \to 0 } \left[ h(n) \sum_{i=1}^{n+1} f(x_{i-1})...
</tex>
すると直ちに $\tag{A}$ との比較により規格化因子 ${h(n)}$ は
<tex>
h(n) &= \frac{ \sum_{i=1}^{n+1}f(\xi_{i}) \Delta_{i} }{ \...
&\sim \frac{ \sum_{i=1}^{n+1}f(x_{i-1}) \Delta_{i} }...
</tex>
を満たす量だと言う事が分かります。2段目は近似的に成り立...
積分へ移行するときに極限操作を行う事から規格化因子(和と...
<tex>
h(n) \equiv \frac{ \sum_{i=1}^{n+1}f(x_{i-1}) \Delta_{i} ...
</tex>
この簡単化のために後で極限をとらないと、いくらか規格化因...
大きさは、積分値からずれることを注意しておきます。この因...
簡単な例(三角形の面積)
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
具体的な例として、一方の角の大きさが $\phi$ で、底辺の長...
規格化因子が正しい結果を導く事を確認します。このとき関数 ...
.. image:: okome-riemannIntegra-01.png
簡単のために ${\xi_{i}}$ は等差数列と考えると
<tex>
&x_{i-1} = |\Delta|(i-1) = \frac{C(i-1)}{n} \tag{14}
</tex>
になります。分割の数が変わるのに対して、区間の方は決まっ...
なります。 $\tag{14}$ に $\tag{15}$ 式を代入すると規格化...
<tex>
h(n) &= \frac{\sum_{i=1}^{n+1} x_{i-1}(x_{i} - x_{i-1})}{...
&= \frac{C}{n} \lim_{|\Delta| \to 0} \frac{\sum_{i=1...
&= \frac{C}{n} \tag{15}
</tex>
になります。そして次に ${x_{i-1}}$ の和を計算すると
<tex>
\sum_{i=1}^{n+1}x_{i-1} = \frac{(n-1)(x_{n} + x_{0})}{2} ...
</tex>
になります。すると $\tag{12}$ より三角形の面積 $S$ は次の...
<tex>
S = \lim_{|\Delta| \to 0} \left[ h(n) \sum_{i=1}^{n+1} f...
...
...
</tex>
これは確かに三角形の面積の定義に一致します。ここで修正さ...
ことも分かります。前にも注意しておきましたが、これは規格...
最後、確認のために積分でも求めてみると結果は一致している...
<tex>
\int_{0}^{C} x\tan \phi dx &= \tan \phi \left[ \frac{x^{...
&= \frac{C^{2}\tan \phi}{2} =...
&= S \tag{18}
</tex>
和と積分との関係
^^^^^^^^^^^^^^^^
規格化因子が正しい結果を出す事を確認したので、和との関係...
三角形の面積を求める途中で分割の大きさを等しいと仮定しま...
そのときの積分の区間を閉区間 $[a,b]$ とすると、規格化因子...
<tex>
h = |\Delta| =\frac{b-a}{n} \tag{19}
</tex>
と書くことができます。このとき積分の定義式 $\tag{9}$ は次...
<tex>
\lim_{h \to 0} \left[ h \sum_{n=1}^{n+1}f(x_{i-1}) \right...
</tex>
つまりこのとき、積分とは和に極限を持たせるための因子 ${|\...
これによって和と積分との間の隔たりが直感的にイメージしや...
以上の説明から分かるように,和の極限が積分というのは短絡...
この因子が無ければ、和には極限が存在しません。それはセク...
注意
^^^^
実は規格化因子などというもの、積分するときには考える必要...
積分の定義式 $\tag{A}$ がむしろ和から積分への移行も容易で...
3.和が極限を持つための因子(おまけ)
------------------------------------
おまけとして別の角度から規格化因子について考えていきます...
またその結果が積分の規格化因子と一致する事を確認します。
まず関数の和の性質を知るために、和 $\tag{10}$ の $f(x_{i-...
<tex>
\sum_{i=1}^{n+1} f(x_{i-1}) &= \sum_{i=1}^{n+1} \sum_{k=...
&= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{...
</tex>
と書けます。 ${\sum_{i=1}^{n+1}(i-1)^{k}}$ の最大の $n$ ...
消えてしまう ${|\Delta|^{m} [m \ge 1]}$ の項を切り捨てて...
<tex>
\sum_{i=1}^{n+1} f(x_{i-1}) \sim \sum_{k=0}^{\infty} \fra...
</tex>
になります。するとこの式から ${|\Delta| \to 0}$ の極限は...
ここで、できるだけ主要な項を引き出すにはどうしたら良いの...
かければ良いことに気付きます。最後に ${\tag{22}}$ の両辺...
<tex>
\lim_{|\Delta| \to 0} \left[ |\Delta| \sum_{i=1}^{n+1} f(...
\therefore \int...
</tex>
もう少し整理すると次のように書けます。
<tex>
\int_{a}^{b}f(x)dx &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{C_{k}^{1...
&= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{C_{k}^{1...
</tex>
ここで ${C_{k}^{1}}$ がどの値で上の等式を満足するかを示し...
<tex>
F(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \left. \frac{d^{k...
</tex>
と ${x=a}$ のまわりで冪級数展開したものから積分値を
<tex>
\int_{a}^{b}f(x)dx &= F(b) - F(a) \\
&= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \l...
</tex>
と書き、 $\tag{23}$ と ${\tag{24}}$ の ${(b-a)^{k+1}}$ の...
<tex>
&\frac{C_{k}^{1}}{k!} \left. \frac{d^{k+1}F(x)}{dx^{k+1}}...
&\therefore C_{k}^{1} = \frac{1}{k+1} \tag{25}
</tex>
@@author: おこめ@@
@@accept: 2005-05-08@@
@@category: 物理数学@@
@@id:riemannIntegra@@
ページ名:
Modified by
物理のかぎプロジェクト
PukiWiki 1.4.6
Copyright © 2001-2005
PukiWiki Developers Team
. License is
GPL
.
Based on "PukiWiki" 1.3 by
yu-ji
Powered by PHP 5.3.29 HTML convert time to 0.003 sec.