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力学的時間
=========================
ここでは力学的時間(Dynamical Time)という量について解説し...
力学的時間に関連して自由落下時間(Free-fall time)について...
-------------------------
力学的時間
-------------------------
力学的時間(専門とする人には Dynamical Time と言ったほうが...
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
球対称な系
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
.. image:: sphere.png
まず、球対称な質量分布を考えます。このとき中心から半径 $r...
<tex>
\bm{F}(\bm{r}) = - \frac{GM(r)}{r^2} \hat{\bm{e}_r} \tag{...
</tex>
ここで $\hat{\bm{e}_r}$ は動径方向の単位ベクトルです。
$M(r)$ は半径 $r$ より内側にある質量で、球対称な系を仮定...
<tex>
M(r) = 4\pi\int_0^r \rho (r') r'^2 dr' . \tag{#def(eq2)}
</tex>
いわゆるニュートンの重力法則ですよね。
球対称な質量分布の中を質量 $m$ の質点が半径 $r$ の円運動...
このとき質点の運動方程式は次のようになります。
<tex>
m\frac{v_c^2}{r}=\frac{GM(r)m}{r^2}
</tex>
これより、半径 $r$ の円運動をする質点の速さ $v_c$ は
<tex>
v_c^2 = \frac{G M(r)}{r} \tag{#def(eq4)}
</tex>
となります。この $v_c$ は circular speed と呼ばれています...
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
密度が一様な場合
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
さて、上述の系でさらに質量密度 $\rho(r)$ が一様である場合...
<tex>
\rho(r) = \text{const.}
</tex>
です。密度が一様なので式(#ref(eq2))の積分を計算することが...
<tex>
M(r) & = 4\pi\int_0^r\rho r'^2 dr' \\
& = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho .\tag{#def(eq5)}
</tex>
式(#ref(eq5)) を式(#ref(eq4)) に代入すると円運動をする質...
<tex>
v_c = \sqrt{\frac{4 \pi G \rho}{3}} r \tag{#def(eq6)}
</tex>
となります。
軌道運動の速さが分かったので、軌道周期 $T$ (質点が一周す...
円周は $2\pi r$ ですから速さ $v_c$ で割って
<tex>
T = \frac{2\pi r}{v_c} = \sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}
</tex>
が軌道周期となります。質量分布が球対称で密度が一様な系で...
いままでは質量分布が球対称で密度が一様な系での円運動を考...
つぎにこの系において半径 $r$ の地点から質点を静かに離した...
運動方程式は
<tex>
\frac{d^2 r}{dt^2} = -\frac{GM(r)}{r^2} = - \frac{4\pi G ...
</tex>
となります。
この運動方程式、もう一度書いてみましょう。
<tex>
\frac{d^2 r}{dt^2} = -\frac{4\pi G \rho}{3} r
</tex>
単振動の方程式の形をしていますね。したがって半径 $r$ に関...
<tex>
\tau_{\rm{dyn}} = \frac{T}{4} = \sqrt{\frac{3\pi}{16G\rho...
</tex>
とわかります。この $\tau_{\rm{dyn}}$ を力学的時間(Dynamic...
ある地点から手を離すと、中心からの距離にかかわらず時間 $\...
いまは一様密度 $\rho = \rm{const.}$ で考えてきましたが、...
力学的時間は近似的には軌道運動する質点がこの平均密度をも...
-------------------------
自由落下時間
-------------------------
力学的時間に関連したものに自由落下時間(Free-fall time) $\...
これは一様密度 $\rho$ をもった流体が自己重力で中心に向か...
これを計算するには流体力学の知識が必要となるので計算は省...
<tex>
\tau_{\rm{ff}} = \frac{\tau_{\rm{dyn}}}{\sqrt{2}} = \sqrt...
</tex>
力学的時間の $1/\sqrt{2}$ という、シンプルな結果です。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
天体現象の時間スケール
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
この $\tau_{\rm{ff}}$ は一様密度を持った流体が重力崩壊す...
たとえばガス雲から星が形成されるときのことを考えてみます...
星間雲の密度を $\rho = 10^{-19} \ \rm{kg} \ \rm{m}^{-3}$ ...
つまり $\rho$ のガス密度をもつ星間雲から星が形成されるタ...
別の例として星の中心部の陥没があります。
星の中には進化の最後に超新星爆発を起こして最後を迎えるも...
その超新星爆発も基本的には重力崩壊です。 [*]_
そのときの星の中心部の密度は $\rho = 10^{13} \ \rm{kg} \ ...
これに対応する自由落下時間は $\tau_{\rm{ff}} = 2 \times 1...
生まれるときには $10^7$ 年もかけて、死ぬときには $10^{-2}...
.. [*] 星というのは星間空間に広がるガス雲からつくられます。
.. [*] 超新星爆発にはいくつかタイプがあり、そのうちの一つ...
@@reference: James Binney、 Scott Tremaine, Galactic Dyna...
@@reference: 坂下志郎、池内了, 宇宙流体力学, 倍風館, 1996...
@@author: CO@@
@@accept: 2006-01-21@@
@@category: 天文学@@
@@id: dynamicalTime@@
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#rst2hooktail_source
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力学的時間
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ここでは力学的時間(Dynamical Time)という量について解説し...
力学的時間に関連して自由落下時間(Free-fall time)について...
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力学的時間
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力学的時間(専門とする人には Dynamical Time と言ったほうが...
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球対称な系
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.. image:: sphere.png
まず、球対称な質量分布を考えます。このとき中心から半径 $r...
<tex>
\bm{F}(\bm{r}) = - \frac{GM(r)}{r^2} \hat{\bm{e}_r} \tag{...
</tex>
ここで $\hat{\bm{e}_r}$ は動径方向の単位ベクトルです。
$M(r)$ は半径 $r$ より内側にある質量で、球対称な系を仮定...
<tex>
M(r) = 4\pi\int_0^r \rho (r') r'^2 dr' . \tag{#def(eq2)}
</tex>
いわゆるニュートンの重力法則ですよね。
球対称な質量分布の中を質量 $m$ の質点が半径 $r$ の円運動...
このとき質点の運動方程式は次のようになります。
<tex>
m\frac{v_c^2}{r}=\frac{GM(r)m}{r^2}
</tex>
これより、半径 $r$ の円運動をする質点の速さ $v_c$ は
<tex>
v_c^2 = \frac{G M(r)}{r} \tag{#def(eq4)}
</tex>
となります。この $v_c$ は circular speed と呼ばれています...
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密度が一様な場合
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さて、上述の系でさらに質量密度 $\rho(r)$ が一様である場合...
<tex>
\rho(r) = \text{const.}
</tex>
です。密度が一様なので式(#ref(eq2))の積分を計算することが...
<tex>
M(r) & = 4\pi\int_0^r\rho r'^2 dr' \\
& = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho .\tag{#def(eq5)}
</tex>
式(#ref(eq5)) を式(#ref(eq4)) に代入すると円運動をする質...
<tex>
v_c = \sqrt{\frac{4 \pi G \rho}{3}} r \tag{#def(eq6)}
</tex>
となります。
軌道運動の速さが分かったので、軌道周期 $T$ (質点が一周す...
円周は $2\pi r$ ですから速さ $v_c$ で割って
<tex>
T = \frac{2\pi r}{v_c} = \sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}
</tex>
が軌道周期となります。質量分布が球対称で密度が一様な系で...
いままでは質量分布が球対称で密度が一様な系での円運動を考...
つぎにこの系において半径 $r$ の地点から質点を静かに離した...
運動方程式は
<tex>
\frac{d^2 r}{dt^2} = -\frac{GM(r)}{r^2} = - \frac{4\pi G ...
</tex>
となります。
この運動方程式、もう一度書いてみましょう。
<tex>
\frac{d^2 r}{dt^2} = -\frac{4\pi G \rho}{3} r
</tex>
単振動の方程式の形をしていますね。したがって半径 $r$ に関...
<tex>
\tau_{\rm{dyn}} = \frac{T}{4} = \sqrt{\frac{3\pi}{16G\rho...
</tex>
とわかります。この $\tau_{\rm{dyn}}$ を力学的時間(Dynamic...
ある地点から手を離すと、中心からの距離にかかわらず時間 $\...
いまは一様密度 $\rho = \rm{const.}$ で考えてきましたが、...
力学的時間は近似的には軌道運動する質点がこの平均密度をも...
-------------------------
自由落下時間
-------------------------
力学的時間に関連したものに自由落下時間(Free-fall time) $\...
これは一様密度 $\rho$ をもった流体が自己重力で中心に向か...
これを計算するには流体力学の知識が必要となるので計算は省...
<tex>
\tau_{\rm{ff}} = \frac{\tau_{\rm{dyn}}}{\sqrt{2}} = \sqrt...
</tex>
力学的時間の $1/\sqrt{2}$ という、シンプルな結果です。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
天体現象の時間スケール
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この $\tau_{\rm{ff}}$ は一様密度を持った流体が重力崩壊す...
たとえばガス雲から星が形成されるときのことを考えてみます...
星間雲の密度を $\rho = 10^{-19} \ \rm{kg} \ \rm{m}^{-3}$ ...
つまり $\rho$ のガス密度をもつ星間雲から星が形成されるタ...
別の例として星の中心部の陥没があります。
星の中には進化の最後に超新星爆発を起こして最後を迎えるも...
その超新星爆発も基本的には重力崩壊です。 [*]_
そのときの星の中心部の密度は $\rho = 10^{13} \ \rm{kg} \ ...
これに対応する自由落下時間は $\tau_{\rm{ff}} = 2 \times 1...
生まれるときには $10^7$ 年もかけて、死ぬときには $10^{-2}...
.. [*] 星というのは星間空間に広がるガス雲からつくられます。
.. [*] 超新星爆発にはいくつかタイプがあり、そのうちの一つ...
@@reference: James Binney、 Scott Tremaine, Galactic Dyna...
@@reference: 坂下志郎、池内了, 宇宙流体力学, 倍風館, 1996...
@@author: CO@@
@@accept: 2006-01-21@@
@@category: 天文学@@
@@id: dynamicalTime@@
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