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=========================================================...
流体力学における最小作用の原理(提案)
=========================================================...
本記事では, 流体力学, より一般的には, 流体や弾性体を含む...
1.コーシーの運動方程式
=========================================================
コーシーの運動方程式というのは, 任意の連続体において運動...
1.1 ニュートンの運動方程式
------------------------------
<tex>
m\frac{d\bm{u}}{dt} = \bm{F} \tag{1.1}
</tex>
ここで, 質点の質量、速度をそれぞれ $m$ , $\bm{u}$ , 時刻(...
1.2 コーシーの運動方程式
----------------------------------
<tex>
\int_V \rho dV \frac{D\bm{u}}{Dt} = \oint_{S=\partial ...
</tex>
ここで、流体要素の体積, 表面積をそれぞれ $V$ , $S$ , 各点...
.. image:: suzukiyasuo-extendtoafluid-01.png
2.ニュートンの運動方程式の導出
=========================================================
まず、ニュートンの運動方程式の導出のポイントだけ復習して...
2.1 作用
------------------------
作用 $S$ は以下で定義されます.
<tex>
S \left[ \bm{x} \right] \equiv \int dt m \tilde{\mathcal...
</tex>
ここで, $\tilde{\mathcal{L}}$ はラグランジアン密度であり,...
ラグランジアン密度 $\tilde{\mathcal{L}}$ を書きだすと,
<tex>
\tilde{\mathcal{L}} \left( \bm{x}(t) , \frac{ d \bm{x}(t...
</tex>
です。
2.2 最小作用の原理
------------------------
作用(2.1)について, $\bm{x}$ による変分 $\delta \bm{x}(t...
<tex>
\delta S \left[ \bm{x} \right] = \int dt m \left( -\frac{...
</tex>
となります. ここで, $\delta$ と $\frac{d}{dt}$ が可換であ...
<tex>
m\frac{d^{2}\bm{x}}{dt^{2}} = \bm{F} \tag{2.4}
</tex>
なお, (2.3)の変分で以下のオイラー・ラグランジュ方程式(Eul...
<tex>
\frac{ \partial \tilde{\mathcal{L}} \left( \bm{x}(t) , \d...
</tex>
(注)ここで, $\frac{\delta S [ \bm{x} ]}{\delta \bm{x}}$ ...
3.流体力学への拡張のための道具(オイラー表現, 位置関数)
=========================================================...
本記事では, オイラー表現(Eulerian description), すなわち...
物理量は流体要素と共に流れていくわけですから, オイラー表...
さて、ここで、筆者が「位置関数(position function)」と名付...
<tex>
\bm{x}:(\bm{y},t) \longmapsto \bm{y} \tag{3.1}
</tex>
位置関数 $\bm{x}(\bm{y},t)$ の時間微分を取ってみます。
<tex>
\frac{D \bm{x}(\bm{y},t)}{Dt} &= \frac{\partial \bm{x}(\...
&= \frac{\partial \bm{y}}{\partial t} + \left( \bm{u}(\b...
&= \bm{u}(\bm{y},t) \tag{3.2}
</tex>
となり, この意味で位置関数は「位置」としてwell-defined(...
位置関数の変分は $\delta{\bm{x}}(\bm{y},t) \equiv \bm{x}^...
4.コーシーの運動方程式の導出
=========================================================
では, いよいよ流体力学の場合を考えます。戦略としては、質...
4.1 作用
------------------------
<tex>
S \left[ \bm{x} \right] &\equiv \int dt \int_{V} dV(\bm{...
&= \int dt \int_{V} dV(\bm{y},t) \rho (\bm{y},t) \left( \...
</tex>
ここで, $\frac{\partial \mathrm{P}}{\partial \bm{y}}$ は,...
<tex>
\frac{\partial \mathrm{P}}{\partial \bm{y}} = \nabla \m...
\begin{bmatrix}
& \dfrac{\partial \mathrm{P} _{11}}{\partial y_{1}}...
& \\
& \dfrac{\partial \mathrm{P} _{12}}{\partial y_{1}}...
& \\
& \dfrac{\partial \mathrm{P} _{13}}{\partial y_{1}}...
\end{bmatrix} \tag{4.2}
</tex>
ラグランジアン密度 $\tilde{\mathcal{L}}$ を書きだすと,
<tex>
\tilde{\mathcal{L}} \left( \bm{x}(\bm{y},t),\frac{D\bm{x}...
</tex>
です。
なお, 式(4.2)は, 応力 $\mathrm{P}$ を $ ^{t}\mathrm{P}= \...
さて, ここで, 上記の作用(4.1)あるいはラグランジアン密度(4...
4.2 最小作用の原理
------------------------
作用(4.1)について, $\bm{x}$ による変分を行い, 部分積分を...
<tex>
\delta S \left[ \bm{x} \right] &= \int dt \left( -\int_{...
&= \int dt \left( -\int_{V} dV(\bm{y},t) \rho(\bm{y},t)\...
\tag{4.4}
</tex>
となります. ここで, 式(4.4)の最初の等号で, 変分の結果, 応...
<tex>
\int_V \rho dV \frac{D^{2}\bm{x}}{Dt^{2}} = \oint_{S=\...
</tex>
ここで, $\bm{n}\mathrm{P}$ は, 適当な直交座標系をとって成...
<tex>
\bm{n}\mathrm{P} =
\begin{bmatrix}
& n_{1} \mathrm{P} _{11} + n_{2} \mathrm{P} _{21} +...
& n_{1} \mathrm{P} _{12} + n_{2} \mathrm{P} _{22} +...
& n_{1} \mathrm{P} _{13} + n_{2} \mathrm{P} _{23} +...
\end{bmatrix} \tag{4.6}
</tex>
ここで, $\bm{n}\mathrm{P}$ は $\bm{P(\bm{n})}$ とも表し, ...
なお, (4.4)の変分で以下のオイラー・ラグランジュ方程式を導...
<tex>
\frac{ \partial \tilde{\mathcal{L}} \left( \bm{x}(\bm{y},...
</tex>
(注)ここで, $\frac{\delta S [ \bm{x} ]}{\delta \bm{x}}$ ...
5.最終結果には位置関数は陽には登場しなくてもよい
=========================================================
コーシーの運動方程式は, 式(1.2)という形以外に, 式(4.4)で...
<tex>
\rho \frac{ D \bm{u}}{Dt} = \nabla \mathrm{P}+ \rho \til...
</tex>
という形でも表せます. いずれにしても, $\tilde{F}(\bm{x}(\...
<tex>
\rho \frac{ D^{2} \bm{x}}{Dt^{2}} = \nabla \mathrm{P}+ \...
</tex>
従来, 位置関数という発想が登場しなかったのは, コーシーの...
6.流体力学をハミルトン形式の力学で記述した場合
=========================================================...
位置関数 $\bm{x}(\bm{y},t)$ を正準変数にとり, 正準運動量 ...
<tex>
\bm{\pi}(\bm{y},t) &\equiv \frac{ \partial \tilde{ \math...
&= \frac{D \bm{x} (\bm{y},t)}{Dt} \tag{6.1}
</tex>
するとハミルトニアン密度は,
<tex>
\tilde{\mathcal{H}}(\bm{\pi}(\bm{y},t), \bm{x}(\bm{y},t)...
&= \frac{1}{2} \left( \frac{D \bm{x}(\bm{y},t)}{Dt} \rig...
</tex>
となり, 次のハミルトン方程式(Hamilton's equations)が成り...
<tex>
\frac{D \bm{x}(\bm{y},t)}{Dt} &= \frac{\partial \tilde{\...
\frac{D \bm{\pi}(\bm{y},t)}{Dt}&= -\frac{\partial \tilde...
</tex>
また, ハミルトン方程式により,
<tex>
\frac{D \tilde{\mathcal{H}}(\bm{\pi}(\bm{y},t), \bm{x}(\...
&=\frac{\partial \tilde{\mathcal{H}}(\bm{\pi}(\bm{y},t), ...
&=\frac{D \bm{x}(\bm{y},t)}{Dt} \cdot \frac{D \bm{\pi}(\b...
&=0 \tag{6.5}
</tex>
が成り立ち, 8節で説明するエネルギー保存則の別証を与えます.
7.ナヴィエ・ストークス方程式との関係 構成方程式との独...
=========================================================...
等方的なニュートン流体の場合, 応力は次の形になります。
<tex>
\mathrm{P}_{ij} = -p \delta_{ij} + \lambda \delta_{ij} \...
</tex>
ここで, $\delta_{ij}$ , $p$ , $\mu$ , $\lambda$ はそれ...
式(7.1)をコーシーの運動方程式(5.1)に代入すると, 以下のナ...
<tex>
\rho \frac{D \bm{u}}{Dt} = -\nabla p + (\lambda + \mu ) ...
</tex>
式(7.1)のように応力の具体的な形を与える式を構成方程式(Con...
8.質量保存則とエネルギー保存則
=========================================================...
いま無重力空間に見かけ上同じ二つのボールがあったとします...
コーシーの運動方程式(1.2)では, $\tilde{\bm{F}}(\bm{x}(\b...
<tex>
\frac{D}{Dt} ( \rho dV ) &= \frac{D \rho}{Dt} dV + \rho ...
&= \frac{D \rho}{Dt} dV + \rho (\nabla \cdot \bm{u}) d...
&= \left( \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \c...
&= 0 \tag{8.1}
</tex>
ここで, 二番目の等式で $\frac{D(dV)}{Dt}= (\nabla \cdot \...
さて, 系の単位質量あたりのエネルギー(エネルギー密度) $\ti...
<tex>
\tilde{E}\left( \bm{x}(\bm{y},t),\frac{D\bm{x}(\bm{y} ,t...
\equiv \frac{1}{2} \left( \frac{D \bm{x}(\bm{y},t)}{Dt} \...
</tex>
エネルギー密度 $\tilde{E}$ について, 以下が成り立ちます。
<tex>
\frac{D \tilde{E}}{Dt} &= \frac{\partial \tilde{E}}{\par...
&= \left( -\frac{1}{\rho}\frac{\partial \mathrm{P}}{\part...
&= \left( -\frac{1}{\rho}\frac{\partial \mathrm{P}}{\part...
&=0 \tag{8.3}
</tex>
ここで, 四番目の等式でコーシーの運動方程式 $\frac{D^{2} \...
流体要素の系全体のエネルギー $E$ は,
<tex>
E &\equiv \int_{V} \rho dV \tilde{E} \\
&= \int_{V} \rho dV \left( \frac{1}{2} \left( \frac{D ...
\tag{8.4}
</tex>
となりますが, 式(8.1)と式(8.3)から次のエネルギー保存則が...
<tex>
\frac{DE}{Dt} &= \int_{V} \left( \frac{D (\rho dV)}{Dt}\...
&= \int_{V} \left( 0 \cdot \tilde{E}+ \rho dV \cdot 0 \r...
&= 0
\tag{8.5}
</tex>
ナヴィエ・ストークス方程式(7.2)の場合には, $\rho$ , $p...
しかしより一般の流体の場合(コーシーの運動方程式(1.2)の場...
伝統的な流体力学では, 応力を決定するにあたっては, 通常は...
<tex>
\mathrm{P}_{ij} (\mathrm{Y}_{kl}+d \mathrm{Y}_{kl})= e^{...
</tex>
ただし, ここで $\mathrm{Y}_{ij}=0$ であり, $d \mathrm{Y}...
応力の関数形の決定にあたっては, その条件として質量保存則(...
しかし応力をもっとずばり示してくれる式はないのでしょうか?...
9.応力の新しい形の提示
=========================================================...
本記事では, 連続体に関するコーシーの運動方程式を, 質点に...
流れの場があったときに, 質量場と速度場でできる運動量(的な...
<tex>
dS \bm{n}\mathrm{P} &\equiv d \left( \rho dV \frac{D\bm...
&= \left( \rho dV \frac{D\bm{u}}{Dt} \right) _{at \; \bm{...
</tex>
位置の変位 $d\bm{y}$ による変位(つまりはテイラー展開)を明...
<tex>
dS \bm{n}\mathrm{P} &= d \left( \rho dV \frac{D\bm{u}}{...
&= \left( \rho dV \frac{D\bm{u}}{Dt} \right) _{at \; \bm{...
&= \left( e^{d \bm{y} \cdot \frac{\partial}{\partial \bm...
&=\sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{k!} \left(d\bm{y} \cdot \fr...
&= \left( \left(d\bm{y} \cdot \frac{\partial}{\partial \b...
</tex>
となります。ここで, 面積要素ベクトル $dS \bm{n}$ と変位ベ...
<tex>
\bm{P(\bm{n})}&\equiv \displaystyle \frac{d \left( \rho d...
&= \displaystyle \frac{ \displaystyle \left( \rho dV \fra...
&= \displaystyle \frac{ \displaystyle \sum^{\infty}_{k=1}...
</tex>
となります。流体要素との絡みで応力を見る場合には, 流体要...
.. image:: suzukiyasuo-definitionofstress-01.png
式(9.1)や(9.2)は適当な直交座標系の成分で書けば, $dS n_{j...
<tex>
\mathrm{P}_{ji} &\equiv \frac{n_{j}}{dS} \; d \left( \rh...
&= \frac{n_{j}}{dS} \; d \left( \rho dV \frac{D^{2} x_{i...
\tag{9.4}
</tex>
と表せることが分かります。
(ここで, もし気になった方がいた時のために少し立ち入った注...
式(9.1)から(9.4)で与える応力の定義は, 応力テンソルを対称...
また, 本定義で定義される応力はあきらかに速度勾配テンソル(...
本定義は, 応力なるものの事態の定性的な把握がしやすく, た...
また, 筆者がここに初めて示す応力の定義式(9.1)から(9.4)は,...
<tex>
\delta \int dt \int_{V} dV(\bm{y},t) \left( \frac{\partia...
&= \int dt \int_{V} \left( \delta \left( dV(\bm{y},t) \...
\tag{9.5}
</tex>
における右辺第一項ですが, 上記応力の定義式(9.1)から(9.4)...
さて, そもそも応力というものは, ものの流れを先に立てて考...
<tex>
\int_V \rho dV \frac{D\bm{u}}{Dt} = \oint_{S=\partial V...
\tag{9.6}
</tex>
あるいは
<tex>
\int_V \rho dV \frac{D\bm{u}}{Dt} &= \oint_{S=\partial...
&= \oint_{S=\partial V}\sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{k!} \l...
&= \oint_{S=\partial V}\left( \left(d\bm{y} \cdot \frac{\...
</tex>
という形で表すことができ, ここにはもう応力は要りません。...
<tex>
\left( \int_V - \oint_{S=\partial V} d \right) \left( \rh...
\tag{9.8}
</tex>
と書け, 式(9.8)は, 流体要素の各部にかかる外力の合計(式(9....
ところで, 式(9.6)あるいは(9.7)では, 粘性はどこへ消えてし...
流体(より一般的には連続体)で決定すべきは質量場 $\rho dV$ ...
<tex>
\left\{ \begin{array}{ll}
&\displaystyle \frac{D}{Dt} ( \rho dV )=0 \\
\\
&\displaystyle \int_V \rho dV \frac{D\bm{u}}{Dt}=\oint_{...
\end{array} \right.
\tag{9.9}
</tex>
あるいは
<tex>
\left\{ \begin{array}{ll}
&\displaystyle \frac{D}{Dt} ( \rho dV )=0 \\
\\
&\displaystyle \int_V \rho dV \frac{D\bm{u}}{Dt}=\oint_{...
\end{array} \right.
\tag{9.10}
</tex>
ここに流体の運動の状態を決定するのに必要十分な情報がある...
最後に, 本記事で質点に関するニュートンの運動方程式を包含...
<tex>
\left\{ \begin{array}{ll}
&\displaystyle \frac{D}{Dt} ( \rho dV )=0 \\
\\
&\displaystyle \int_V \rho dV \frac{D^{2}\bm{x}}{Dt^{2}}...
\end{array} \right.
\tag{9.11}
</tex>
しかしながら, 式(9.11)の解である位置場 $\bm{x}(\bm{y},t)$...
以上のような事情もまた, 位置場が歴史上登場しなかったimpli...
なお, 主題が拡散し過ぎてしまうのでここでは立ち入りません...
最後に, 位置場を導入することにより見える速度場のある性質...
<tex>
u_i &= \frac{Dx_i}{Dt} \\
&= \left(\frac{\partial}{\partial t}+u_j\frac{\partial}{\...
&= \left(\frac{\partial}{\partial t}+\left(\frac{\partial...
&= \left(\frac{\partial}{\partial t}+\left(\frac{\partial...
&= \left(\frac{\partial}{\partial t}+\left(\frac{\partial...
&= \left(\frac{\partial}{\partial t}+\left(\frac{\partial...
</tex>
10.おわりに
=========================================================...
ここに提案した議論の特長は, (i)従来の質点に関するニュート...
以下は物理学とは関係のない経緯的余談です。
本記事の内容(問題)は, 15歳のころから素粒子物理学を志した...
本記事の内容については, 折に触れ徹底的に自己批判的な検討...
私の理論を見せたある友人からは, 「君は独りだけまったく別...
ただ, 少なくとも筆者にとっては, 本理論によって質点の力学...
ここから先は, 読者諸賢がこの拙い提案を批判的に吟味され, ...
筆者自身は, 本稿理論の計算機などによる検証が可能なのか知...
なお, もし, 流体力学の変分原理の問題に真剣に取り組まれた...
最後に, 断片的なものではありますが, 以下, 本稿に関連する...
本稿の1節から7節の変分原理の部分についてやや詳しい計算を...
本稿とは定式化の順序を応力の定義から変分原理へと逆に構成...
本稿の応力の定義の妥当性を考察していた際のメモを こちら3_...
本稿は, 2021年8月27日に『鈴木康夫 流体力学』(万象企画)...
こちら5_ に本稿の英訳(An English translation of this art...
式(4.7)の証明のメモが こちら7_ にあります。
最後に, もし鈴木康夫に連絡を取りたい方がおられた場合には,...
.. _こちら: https://drive.google.com/open?id=1Y-Z66AylAB2...
.. _こちら2: https://drive.google.com/file/d/1Mwycd6w_-0J...
.. _こちら3: https://drive.google.com/file/d/1YYetYN4ZW_u...
.. _こちら4: https://drive.google.com/file/d/1Egn42L8_Myi...
.. _こちら5: https://drive.google.com/file/d/1mNelwOx0RG0...
.. _こちら6: https://youtu.be/9lM3_wJFUCI
.. _こちら7: https://twitter.com/mayaofapsaras1/status/1...
@@author: 鈴木康夫@@
@@accept: 2018-02-18@@
@@category: 流体力学@@
@@id: PrincipleofLeastActionforFluidMechanics@@
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流体力学における最小作用の原理(提案)
=========================================================...
本記事では, 流体力学, より一般的には, 流体や弾性体を含む...
1.コーシーの運動方程式
=========================================================
コーシーの運動方程式というのは, 任意の連続体において運動...
1.1 ニュートンの運動方程式
------------------------------
<tex>
m\frac{d\bm{u}}{dt} = \bm{F} \tag{1.1}
</tex>
ここで, 質点の質量、速度をそれぞれ $m$ , $\bm{u}$ , 時刻(...
1.2 コーシーの運動方程式
----------------------------------
<tex>
\int_V \rho dV \frac{D\bm{u}}{Dt} = \oint_{S=\partial ...
</tex>
ここで、流体要素の体積, 表面積をそれぞれ $V$ , $S$ , 各点...
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2.ニュートンの運動方程式の導出
=========================================================
まず、ニュートンの運動方程式の導出のポイントだけ復習して...
2.1 作用
------------------------
作用 $S$ は以下で定義されます.
<tex>
S \left[ \bm{x} \right] \equiv \int dt m \tilde{\mathcal...
</tex>
ここで, $\tilde{\mathcal{L}}$ はラグランジアン密度であり,...
ラグランジアン密度 $\tilde{\mathcal{L}}$ を書きだすと,
<tex>
\tilde{\mathcal{L}} \left( \bm{x}(t) , \frac{ d \bm{x}(t...
</tex>
です。
2.2 最小作用の原理
------------------------
作用(2.1)について, $\bm{x}$ による変分 $\delta \bm{x}(t...
<tex>
\delta S \left[ \bm{x} \right] = \int dt m \left( -\frac{...
</tex>
となります. ここで, $\delta$ と $\frac{d}{dt}$ が可換であ...
<tex>
m\frac{d^{2}\bm{x}}{dt^{2}} = \bm{F} \tag{2.4}
</tex>
なお, (2.3)の変分で以下のオイラー・ラグランジュ方程式(Eul...
<tex>
\frac{ \partial \tilde{\mathcal{L}} \left( \bm{x}(t) , \d...
</tex>
(注)ここで, $\frac{\delta S [ \bm{x} ]}{\delta \bm{x}}$ ...
3.流体力学への拡張のための道具(オイラー表現, 位置関数)
=========================================================...
本記事では, オイラー表現(Eulerian description), すなわち...
物理量は流体要素と共に流れていくわけですから, オイラー表...
さて、ここで、筆者が「位置関数(position function)」と名付...
<tex>
\bm{x}:(\bm{y},t) \longmapsto \bm{y} \tag{3.1}
</tex>
位置関数 $\bm{x}(\bm{y},t)$ の時間微分を取ってみます。
<tex>
\frac{D \bm{x}(\bm{y},t)}{Dt} &= \frac{\partial \bm{x}(\...
&= \frac{\partial \bm{y}}{\partial t} + \left( \bm{u}(\b...
&= \bm{u}(\bm{y},t) \tag{3.2}
</tex>
となり, この意味で位置関数は「位置」としてwell-defined(...
位置関数の変分は $\delta{\bm{x}}(\bm{y},t) \equiv \bm{x}^...
4.コーシーの運動方程式の導出
=========================================================
では, いよいよ流体力学の場合を考えます。戦略としては、質...
4.1 作用
------------------------
<tex>
S \left[ \bm{x} \right] &\equiv \int dt \int_{V} dV(\bm{...
&= \int dt \int_{V} dV(\bm{y},t) \rho (\bm{y},t) \left( \...
</tex>
ここで, $\frac{\partial \mathrm{P}}{\partial \bm{y}}$ は,...
<tex>
\frac{\partial \mathrm{P}}{\partial \bm{y}} = \nabla \m...
\begin{bmatrix}
& \dfrac{\partial \mathrm{P} _{11}}{\partial y_{1}}...
& \\
& \dfrac{\partial \mathrm{P} _{12}}{\partial y_{1}}...
& \\
& \dfrac{\partial \mathrm{P} _{13}}{\partial y_{1}}...
\end{bmatrix} \tag{4.2}
</tex>
ラグランジアン密度 $\tilde{\mathcal{L}}$ を書きだすと,
<tex>
\tilde{\mathcal{L}} \left( \bm{x}(\bm{y},t),\frac{D\bm{x}...
</tex>
です。
なお, 式(4.2)は, 応力 $\mathrm{P}$ を $ ^{t}\mathrm{P}= \...
さて, ここで, 上記の作用(4.1)あるいはラグランジアン密度(4...
4.2 最小作用の原理
------------------------
作用(4.1)について, $\bm{x}$ による変分を行い, 部分積分を...
<tex>
\delta S \left[ \bm{x} \right] &= \int dt \left( -\int_{...
&= \int dt \left( -\int_{V} dV(\bm{y},t) \rho(\bm{y},t)\...
\tag{4.4}
</tex>
となります. ここで, 式(4.4)の最初の等号で, 変分の結果, 応...
<tex>
\int_V \rho dV \frac{D^{2}\bm{x}}{Dt^{2}} = \oint_{S=\...
</tex>
ここで, $\bm{n}\mathrm{P}$ は, 適当な直交座標系をとって成...
<tex>
\bm{n}\mathrm{P} =
\begin{bmatrix}
& n_{1} \mathrm{P} _{11} + n_{2} \mathrm{P} _{21} +...
& n_{1} \mathrm{P} _{12} + n_{2} \mathrm{P} _{22} +...
& n_{1} \mathrm{P} _{13} + n_{2} \mathrm{P} _{23} +...
\end{bmatrix} \tag{4.6}
</tex>
ここで, $\bm{n}\mathrm{P}$ は $\bm{P(\bm{n})}$ とも表し, ...
なお, (4.4)の変分で以下のオイラー・ラグランジュ方程式を導...
<tex>
\frac{ \partial \tilde{\mathcal{L}} \left( \bm{x}(\bm{y},...
</tex>
(注)ここで, $\frac{\delta S [ \bm{x} ]}{\delta \bm{x}}$ ...
5.最終結果には位置関数は陽には登場しなくてもよい
=========================================================
コーシーの運動方程式は, 式(1.2)という形以外に, 式(4.4)で...
<tex>
\rho \frac{ D \bm{u}}{Dt} = \nabla \mathrm{P}+ \rho \til...
</tex>
という形でも表せます. いずれにしても, $\tilde{F}(\bm{x}(\...
<tex>
\rho \frac{ D^{2} \bm{x}}{Dt^{2}} = \nabla \mathrm{P}+ \...
</tex>
従来, 位置関数という発想が登場しなかったのは, コーシーの...
6.流体力学をハミルトン形式の力学で記述した場合
=========================================================...
位置関数 $\bm{x}(\bm{y},t)$ を正準変数にとり, 正準運動量 ...
<tex>
\bm{\pi}(\bm{y},t) &\equiv \frac{ \partial \tilde{ \math...
&= \frac{D \bm{x} (\bm{y},t)}{Dt} \tag{6.1}
</tex>
するとハミルトニアン密度は,
<tex>
\tilde{\mathcal{H}}(\bm{\pi}(\bm{y},t), \bm{x}(\bm{y},t)...
&= \frac{1}{2} \left( \frac{D \bm{x}(\bm{y},t)}{Dt} \rig...
</tex>
となり, 次のハミルトン方程式(Hamilton's equations)が成り...
<tex>
\frac{D \bm{x}(\bm{y},t)}{Dt} &= \frac{\partial \tilde{\...
\frac{D \bm{\pi}(\bm{y},t)}{Dt}&= -\frac{\partial \tilde...
</tex>
また, ハミルトン方程式により,
<tex>
\frac{D \tilde{\mathcal{H}}(\bm{\pi}(\bm{y},t), \bm{x}(\...
&=\frac{\partial \tilde{\mathcal{H}}(\bm{\pi}(\bm{y},t), ...
&=\frac{D \bm{x}(\bm{y},t)}{Dt} \cdot \frac{D \bm{\pi}(\b...
&=0 \tag{6.5}
</tex>
が成り立ち, 8節で説明するエネルギー保存則の別証を与えます.
7.ナヴィエ・ストークス方程式との関係 構成方程式との独...
=========================================================...
等方的なニュートン流体の場合, 応力は次の形になります。
<tex>
\mathrm{P}_{ij} = -p \delta_{ij} + \lambda \delta_{ij} \...
</tex>
ここで, $\delta_{ij}$ , $p$ , $\mu$ , $\lambda$ はそれ...
式(7.1)をコーシーの運動方程式(5.1)に代入すると, 以下のナ...
<tex>
\rho \frac{D \bm{u}}{Dt} = -\nabla p + (\lambda + \mu ) ...
</tex>
式(7.1)のように応力の具体的な形を与える式を構成方程式(Con...
8.質量保存則とエネルギー保存則
=========================================================...
いま無重力空間に見かけ上同じ二つのボールがあったとします...
コーシーの運動方程式(1.2)では, $\tilde{\bm{F}}(\bm{x}(\b...
<tex>
\frac{D}{Dt} ( \rho dV ) &= \frac{D \rho}{Dt} dV + \rho ...
&= \frac{D \rho}{Dt} dV + \rho (\nabla \cdot \bm{u}) d...
&= \left( \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \c...
&= 0 \tag{8.1}
</tex>
ここで, 二番目の等式で $\frac{D(dV)}{Dt}= (\nabla \cdot \...
さて, 系の単位質量あたりのエネルギー(エネルギー密度) $\ti...
<tex>
\tilde{E}\left( \bm{x}(\bm{y},t),\frac{D\bm{x}(\bm{y} ,t...
\equiv \frac{1}{2} \left( \frac{D \bm{x}(\bm{y},t)}{Dt} \...
</tex>
エネルギー密度 $\tilde{E}$ について, 以下が成り立ちます。
<tex>
\frac{D \tilde{E}}{Dt} &= \frac{\partial \tilde{E}}{\par...
&= \left( -\frac{1}{\rho}\frac{\partial \mathrm{P}}{\part...
&= \left( -\frac{1}{\rho}\frac{\partial \mathrm{P}}{\part...
&=0 \tag{8.3}
</tex>
ここで, 四番目の等式でコーシーの運動方程式 $\frac{D^{2} \...
流体要素の系全体のエネルギー $E$ は,
<tex>
E &\equiv \int_{V} \rho dV \tilde{E} \\
&= \int_{V} \rho dV \left( \frac{1}{2} \left( \frac{D ...
\tag{8.4}
</tex>
となりますが, 式(8.1)と式(8.3)から次のエネルギー保存則が...
<tex>
\frac{DE}{Dt} &= \int_{V} \left( \frac{D (\rho dV)}{Dt}\...
&= \int_{V} \left( 0 \cdot \tilde{E}+ \rho dV \cdot 0 \r...
&= 0
\tag{8.5}
</tex>
ナヴィエ・ストークス方程式(7.2)の場合には, $\rho$ , $p...
しかしより一般の流体の場合(コーシーの運動方程式(1.2)の場...
伝統的な流体力学では, 応力を決定するにあたっては, 通常は...
<tex>
\mathrm{P}_{ij} (\mathrm{Y}_{kl}+d \mathrm{Y}_{kl})= e^{...
</tex>
ただし, ここで $\mathrm{Y}_{ij}=0$ であり, $d \mathrm{Y}...
応力の関数形の決定にあたっては, その条件として質量保存則(...
しかし応力をもっとずばり示してくれる式はないのでしょうか?...
9.応力の新しい形の提示
=========================================================...
本記事では, 連続体に関するコーシーの運動方程式を, 質点に...
流れの場があったときに, 質量場と速度場でできる運動量(的な...
<tex>
dS \bm{n}\mathrm{P} &\equiv d \left( \rho dV \frac{D\bm...
&= \left( \rho dV \frac{D\bm{u}}{Dt} \right) _{at \; \bm{...
</tex>
位置の変位 $d\bm{y}$ による変位(つまりはテイラー展開)を明...
<tex>
dS \bm{n}\mathrm{P} &= d \left( \rho dV \frac{D\bm{u}}{...
&= \left( \rho dV \frac{D\bm{u}}{Dt} \right) _{at \; \bm{...
&= \left( e^{d \bm{y} \cdot \frac{\partial}{\partial \bm...
&=\sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{k!} \left(d\bm{y} \cdot \fr...
&= \left( \left(d\bm{y} \cdot \frac{\partial}{\partial \b...
</tex>
となります。ここで, 面積要素ベクトル $dS \bm{n}$ と変位ベ...
<tex>
\bm{P(\bm{n})}&\equiv \displaystyle \frac{d \left( \rho d...
&= \displaystyle \frac{ \displaystyle \left( \rho dV \fra...
&= \displaystyle \frac{ \displaystyle \sum^{\infty}_{k=1}...
</tex>
となります。流体要素との絡みで応力を見る場合には, 流体要...
.. image:: suzukiyasuo-definitionofstress-01.png
式(9.1)や(9.2)は適当な直交座標系の成分で書けば, $dS n_{j...
<tex>
\mathrm{P}_{ji} &\equiv \frac{n_{j}}{dS} \; d \left( \rh...
&= \frac{n_{j}}{dS} \; d \left( \rho dV \frac{D^{2} x_{i...
\tag{9.4}
</tex>
と表せることが分かります。
(ここで, もし気になった方がいた時のために少し立ち入った注...
式(9.1)から(9.4)で与える応力の定義は, 応力テンソルを対称...
また, 本定義で定義される応力はあきらかに速度勾配テンソル(...
本定義は, 応力なるものの事態の定性的な把握がしやすく, た...
また, 筆者がここに初めて示す応力の定義式(9.1)から(9.4)は,...
<tex>
\delta \int dt \int_{V} dV(\bm{y},t) \left( \frac{\partia...
&= \int dt \int_{V} \left( \delta \left( dV(\bm{y},t) \...
\tag{9.5}
</tex>
における右辺第一項ですが, 上記応力の定義式(9.1)から(9.4)...
さて, そもそも応力というものは, ものの流れを先に立てて考...
<tex>
\int_V \rho dV \frac{D\bm{u}}{Dt} = \oint_{S=\partial V...
\tag{9.6}
</tex>
あるいは
<tex>
\int_V \rho dV \frac{D\bm{u}}{Dt} &= \oint_{S=\partial...
&= \oint_{S=\partial V}\sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{k!} \l...
&= \oint_{S=\partial V}\left( \left(d\bm{y} \cdot \frac{\...
</tex>
という形で表すことができ, ここにはもう応力は要りません。...
<tex>
\left( \int_V - \oint_{S=\partial V} d \right) \left( \rh...
\tag{9.8}
</tex>
と書け, 式(9.8)は, 流体要素の各部にかかる外力の合計(式(9....
ところで, 式(9.6)あるいは(9.7)では, 粘性はどこへ消えてし...
流体(より一般的には連続体)で決定すべきは質量場 $\rho dV$ ...
<tex>
\left\{ \begin{array}{ll}
&\displaystyle \frac{D}{Dt} ( \rho dV )=0 \\
\\
&\displaystyle \int_V \rho dV \frac{D\bm{u}}{Dt}=\oint_{...
\end{array} \right.
\tag{9.9}
</tex>
あるいは
<tex>
\left\{ \begin{array}{ll}
&\displaystyle \frac{D}{Dt} ( \rho dV )=0 \\
\\
&\displaystyle \int_V \rho dV \frac{D\bm{u}}{Dt}=\oint_{...
\end{array} \right.
\tag{9.10}
</tex>
ここに流体の運動の状態を決定するのに必要十分な情報がある...
最後に, 本記事で質点に関するニュートンの運動方程式を包含...
<tex>
\left\{ \begin{array}{ll}
&\displaystyle \frac{D}{Dt} ( \rho dV )=0 \\
\\
&\displaystyle \int_V \rho dV \frac{D^{2}\bm{x}}{Dt^{2}}...
\end{array} \right.
\tag{9.11}
</tex>
しかしながら, 式(9.11)の解である位置場 $\bm{x}(\bm{y},t)$...
以上のような事情もまた, 位置場が歴史上登場しなかったimpli...
なお, 主題が拡散し過ぎてしまうのでここでは立ち入りません...
最後に, 位置場を導入することにより見える速度場のある性質...
<tex>
u_i &= \frac{Dx_i}{Dt} \\
&= \left(\frac{\partial}{\partial t}+u_j\frac{\partial}{\...
&= \left(\frac{\partial}{\partial t}+\left(\frac{\partial...
&= \left(\frac{\partial}{\partial t}+\left(\frac{\partial...
&= \left(\frac{\partial}{\partial t}+\left(\frac{\partial...
&= \left(\frac{\partial}{\partial t}+\left(\frac{\partial...
</tex>
10.おわりに
=========================================================...
ここに提案した議論の特長は, (i)従来の質点に関するニュート...
以下は物理学とは関係のない経緯的余談です。
本記事の内容(問題)は, 15歳のころから素粒子物理学を志した...
本記事の内容については, 折に触れ徹底的に自己批判的な検討...
私の理論を見せたある友人からは, 「君は独りだけまったく別...
ただ, 少なくとも筆者にとっては, 本理論によって質点の力学...
ここから先は, 読者諸賢がこの拙い提案を批判的に吟味され, ...
筆者自身は, 本稿理論の計算機などによる検証が可能なのか知...
なお, もし, 流体力学の変分原理の問題に真剣に取り組まれた...
最後に, 断片的なものではありますが, 以下, 本稿に関連する...
本稿の1節から7節の変分原理の部分についてやや詳しい計算を...
本稿とは定式化の順序を応力の定義から変分原理へと逆に構成...
本稿の応力の定義の妥当性を考察していた際のメモを こちら3_...
本稿は, 2021年8月27日に『鈴木康夫 流体力学』(万象企画)...
こちら5_ に本稿の英訳(An English translation of this art...
式(4.7)の証明のメモが こちら7_ にあります。
最後に, もし鈴木康夫に連絡を取りたい方がおられた場合には,...
.. _こちら: https://drive.google.com/open?id=1Y-Z66AylAB2...
.. _こちら2: https://drive.google.com/file/d/1Mwycd6w_-0J...
.. _こちら3: https://drive.google.com/file/d/1YYetYN4ZW_u...
.. _こちら4: https://drive.google.com/file/d/1Egn42L8_Myi...
.. _こちら5: https://drive.google.com/file/d/1mNelwOx0RG0...
.. _こちら6: https://youtu.be/9lM3_wJFUCI
.. _こちら7: https://twitter.com/mayaofapsaras1/status/1...
@@author: 鈴木康夫@@
@@accept: 2018-02-18@@
@@category: 流体力学@@
@@id: PrincipleofLeastActionforFluidMechanics@@
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