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#rst2hooktail_source
=============================================
流れ関数
=============================================
ベクトル場とそのポテンシャル関数に関する一つの応用として...
非圧縮流の連続の式
=========================================================...
いま、流れ場 $\bm{V}$ の中に適当な流管を取ります。質量保...
<tex>
\nabla \cdot (\rho \bm{V})= 0 \tag{1}
</tex>
流管の考え方については ベクトル場の流線と流管_ を参照して...
<tex>
\nabla \cdot \bm{V} = 0 \tag{2}
</tex>
これは *非圧縮流の連続の式* ですが、同時に $\bm{V}$ が管...
二次元流と流れ関数
=========================================================...
前セクションの内容は三次元の流れでも成り立つものでしたが...
<tex>
\nabla \cdot \bm{V} = \frac{\partial V_{x}}{\partial x} +...
</tex>
このとき、 $\bm{V}$ の成分を、スカラーポテンシャル $\Psi$...
<tex>
V_{x} = \frac{\partial \Psi}{\partial y}, \ \ \ \ V_{y} =...
</tex>
この $\Psi$ を *流れ関数* と呼びます。式 $(4)$ が自動的に...
<tex>
\bm{V} = \nabla \times
\left( \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\Psi \\
\end{array}
\right) \tag{5}
</tex>
もしくは、次のように表現することも可能です。
<tex>
\bm{V} = \nabla \Psi \times
\left( \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{array}
\right) \tag{6}
</tex>
流線と流れ関数の関係
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
ついでに、流れ関数の物理的意味も考えておきます。 $\bm{V}$...
<tex>
Q & = \int _{O}^{P} (\bm{V} \cdot \bm{n}) ds \\
&= \int _{O}^{P} (V_{x}n_{x}+V_{y}n_{y}) ds \\
&= \int _{O}^{P} \left( \frac{\partial \Psi}{\partial y}\...
\frac{\partial \Psi}{\partial x}\frac{dx}{ds} \right) ds ...
&= \int_{O}^{P}\frac{\partial \Psi}{\partial s}ds \\
& = \int_{O}^{P}d\Psi \\
&= \Psi (P) -\Psi (O) \tag{7}
</tex>
これより次のことが言えます。
.. admonition:: theorem
二次元非圧縮流の流れの中に二点 $O,P$ を取るとき、 $O,P$ ...
また、同一の流線上では流量が零なので、 $\Psi = const.$ が...
.. admonition:: theorem
同一の流線の上では、 $\Psi = const.$ が成り立ちます。逆...
ベクトル場をポテンシャル関数で表現する一例として、二次元...
ノイマン問題
=========================================================...
流れ関数は、どのような境界条件を満たすのでしょうか?物理...
<tex>
\frac{\partial \psi}{\partial n}=0 \tag{8}
</tex>
ここで、もし流れ場が 層状ベクトル場_ だとすると、 $\nabla...
<tex>
\nabla \times \bm{V} &=
\left( \begin{array}{c}
\frac{\partial}{\partial x} \\
\frac{\partial}{\partial y} \\
\frac{\partial}{\partial z} \\
\end{array}
\right)
\times
\left( \begin{array}{c}
\frac{\partial \psi}{\partial y} \\
-\frac{\partial \psi}{\partial x} \\
1 \\
\end{array}
\right) \\
&=
\left( \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
-\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 \p...
\end{array}
\right) \\
&= \bm{0} \tag{9}
</tex>
式 $(9)$ の $z$ 成分だけ考えて、次式に帰着します。ただし...
<tex>
\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \ps...
</tex>
式 $(8)(10)$ より、二次元層状ベクトル場の流れ関数は、ノイ...
.. _ベクトル場の流線と流管: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _管状ベクトル場: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
.. _層状ベクトル場: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
.. _ラプラス場: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalys...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: StreamFunction@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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流れ関数
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ベクトル場とそのポテンシャル関数に関する一つの応用として...
非圧縮流の連続の式
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いま、流れ場 $\bm{V}$ の中に適当な流管を取ります。質量保...
<tex>
\nabla \cdot (\rho \bm{V})= 0 \tag{1}
</tex>
流管の考え方については ベクトル場の流線と流管_ を参照して...
<tex>
\nabla \cdot \bm{V} = 0 \tag{2}
</tex>
これは *非圧縮流の連続の式* ですが、同時に $\bm{V}$ が管...
二次元流と流れ関数
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前セクションの内容は三次元の流れでも成り立つものでしたが...
<tex>
\nabla \cdot \bm{V} = \frac{\partial V_{x}}{\partial x} +...
</tex>
このとき、 $\bm{V}$ の成分を、スカラーポテンシャル $\Psi$...
<tex>
V_{x} = \frac{\partial \Psi}{\partial y}, \ \ \ \ V_{y} =...
</tex>
この $\Psi$ を *流れ関数* と呼びます。式 $(4)$ が自動的に...
<tex>
\bm{V} = \nabla \times
\left( \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\Psi \\
\end{array}
\right) \tag{5}
</tex>
もしくは、次のように表現することも可能です。
<tex>
\bm{V} = \nabla \Psi \times
\left( \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{array}
\right) \tag{6}
</tex>
流線と流れ関数の関係
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ついでに、流れ関数の物理的意味も考えておきます。 $\bm{V}$...
<tex>
Q & = \int _{O}^{P} (\bm{V} \cdot \bm{n}) ds \\
&= \int _{O}^{P} (V_{x}n_{x}+V_{y}n_{y}) ds \\
&= \int _{O}^{P} \left( \frac{\partial \Psi}{\partial y}\...
\frac{\partial \Psi}{\partial x}\frac{dx}{ds} \right) ds ...
&= \int_{O}^{P}\frac{\partial \Psi}{\partial s}ds \\
& = \int_{O}^{P}d\Psi \\
&= \Psi (P) -\Psi (O) \tag{7}
</tex>
これより次のことが言えます。
.. admonition:: theorem
二次元非圧縮流の流れの中に二点 $O,P$ を取るとき、 $O,P$ ...
また、同一の流線上では流量が零なので、 $\Psi = const.$ が...
.. admonition:: theorem
同一の流線の上では、 $\Psi = const.$ が成り立ちます。逆...
ベクトル場をポテンシャル関数で表現する一例として、二次元...
ノイマン問題
=========================================================...
流れ関数は、どのような境界条件を満たすのでしょうか?物理...
<tex>
\frac{\partial \psi}{\partial n}=0 \tag{8}
</tex>
ここで、もし流れ場が 層状ベクトル場_ だとすると、 $\nabla...
<tex>
\nabla \times \bm{V} &=
\left( \begin{array}{c}
\frac{\partial}{\partial x} \\
\frac{\partial}{\partial y} \\
\frac{\partial}{\partial z} \\
\end{array}
\right)
\times
\left( \begin{array}{c}
\frac{\partial \psi}{\partial y} \\
-\frac{\partial \psi}{\partial x} \\
1 \\
\end{array}
\right) \\
&=
\left( \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
-\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 \p...
\end{array}
\right) \\
&= \bm{0} \tag{9}
</tex>
式 $(9)$ の $z$ 成分だけ考えて、次式に帰着します。ただし...
<tex>
\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \ps...
</tex>
式 $(8)(10)$ より、二次元層状ベクトル場の流れ関数は、ノイ...
.. _ベクトル場の流線と流管: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _管状ベクトル場: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
.. _層状ベクトル場: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
.. _ラプラス場: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalys...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: StreamFunction@@
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