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有限巡回群
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すでに、 対称群_ と 有限回転群_ の稿で、巡回群の定義が出...
.. [*] 有限回転群と有限巡回群は、群としては同じと考えてよ...
有限巡回群
-------------------------------------
もう一度、 有限回転群_ で出てきた、五角形の有限回転群 $G_...
<tex>
Z_{n} =\{e, p, p^{2},..., p^{n-1} \}
</tex>
単位元を $e$ で表わしたため、 $p$ の指数は $n-1$ までとな...
.. [*] 巡回群は一種の対称群ですが、対称群が巡回群になると...
指数についての注意
-----------------------------------------------
巡回群の元同士の演算では、普通の指数の計算のように、積に...
<tex>
a^{r} a^{t} = a^{r+t}
</tex>
ただし、 $n$ 次の巡回群には高々 $n$ 個の元しかありません...
全ての元を順番に並べてある場合 $\{ a,a^{2},a^{3},...,a^{n...
<tex>
a^{r} a^{t} = a^{k} \ \ (k \equiv r+t \ ({\rm mod}.n))
</tex>
部分巡回群と元の位数
----------------------------------------------
位数 $n$ の巡回群 $Z_{n}$ を考えましょう。つまり、 $Z_{n}...
ここで、 $Z_{n}$ の任意の元を一つ選び(仮に $b$ と名づけま...
<tex>
b,b^{2},b^{3},....
</tex>
ここで $b$ は有限巡回群 $Z_{n}$ の要素なので、 $b$ の冪乗...
<tex>
b^{s} = b^{t} \ \ \Leftrightarrow \ \ b^{s-t} = e
</tex>
ここで $s-t$ は $n$ よりも小さいはずなので、結局、 $b$ の...
ここまでの $b$ の冪乗を使って、 $k$ 次の巡回群を生成する...
<tex>
H_{k}=\{ e, b,b^{2},b^{3},....,b^{k-1} \}
</tex>
この $H_{k}$ を、 $Z_{n}$ の *部分巡回群* と呼びます。こ...
つまり、巡回群の元の一つ一つは、その元を生成元として作る...
この $k$ を、 *元の位数* と言います。(今後混乱しないよう...
.. [*] ここでは、最初に有限巡回群 $Z_{n}$ を考えましたが...
.. [*] もとの群 $Z_{n}$ の元を任意に選び、それを生成元と...
演習問題1
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
一つの元 $a$ を生成元とする有限巡回群は、 $a^{-1}$ を生成...
演習問題2
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
巡回群は可換群であることを確認してください。
演習問題3
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
位数 $15$ の有限巡回群の生成元の選び方には何通りあるでし...
.. _有限回転群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Fini...
.. _ラグランジェの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/alge...
.. _対称群: http://www12.plala.or.jp/ksp/welcome/gismoSpa...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: FiniteCyclicGroup@@
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#rst2hooktail_source
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有限巡回群
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すでに、 対称群_ と 有限回転群_ の稿で、巡回群の定義が出...
.. [*] 有限回転群と有限巡回群は、群としては同じと考えてよ...
有限巡回群
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もう一度、 有限回転群_ で出てきた、五角形の有限回転群 $G_...
<tex>
Z_{n} =\{e, p, p^{2},..., p^{n-1} \}
</tex>
単位元を $e$ で表わしたため、 $p$ の指数は $n-1$ までとな...
.. [*] 巡回群は一種の対称群ですが、対称群が巡回群になると...
指数についての注意
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巡回群の元同士の演算では、普通の指数の計算のように、積に...
<tex>
a^{r} a^{t} = a^{r+t}
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ただし、 $n$ 次の巡回群には高々 $n$ 個の元しかありません...
全ての元を順番に並べてある場合 $\{ a,a^{2},a^{3},...,a^{n...
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a^{r} a^{t} = a^{k} \ \ (k \equiv r+t \ ({\rm mod}.n))
</tex>
部分巡回群と元の位数
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位数 $n$ の巡回群 $Z_{n}$ を考えましょう。つまり、 $Z_{n}...
ここで、 $Z_{n}$ の任意の元を一つ選び(仮に $b$ と名づけま...
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b,b^{2},b^{3},....
</tex>
ここで $b$ は有限巡回群 $Z_{n}$ の要素なので、 $b$ の冪乗...
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b^{s} = b^{t} \ \ \Leftrightarrow \ \ b^{s-t} = e
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ここで $s-t$ は $n$ よりも小さいはずなので、結局、 $b$ の...
ここまでの $b$ の冪乗を使って、 $k$ 次の巡回群を生成する...
<tex>
H_{k}=\{ e, b,b^{2},b^{3},....,b^{k-1} \}
</tex>
この $H_{k}$ を、 $Z_{n}$ の *部分巡回群* と呼びます。こ...
つまり、巡回群の元の一つ一つは、その元を生成元として作る...
この $k$ を、 *元の位数* と言います。(今後混乱しないよう...
.. [*] ここでは、最初に有限巡回群 $Z_{n}$ を考えましたが...
.. [*] もとの群 $Z_{n}$ の元を任意に選び、それを生成元と...
演習問題1
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一つの元 $a$ を生成元とする有限巡回群は、 $a^{-1}$ を生成...
演習問題2
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巡回群は可換群であることを確認してください。
演習問題3
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位数 $15$ の有限巡回群の生成元の選び方には何通りあるでし...
.. _有限回転群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Fini...
.. _ラグランジェの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/alge...
.. _対称群: http://www12.plala.or.jp/ksp/welcome/gismoSpa...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: FiniteCyclicGroup@@
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