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#rst2hooktail_source
==================================================
面積分
==================================================
スカラー関数 $f(x_{1},x_{2},x_{3})$ を積分することを考え...
変数 $x_{1},x_{2},x_{3}$ が、ある曲面 $D$ 上を動き回ると...
<tex>
\sum \limits _{i=1}^{n} f(M_{i}) \Delta S_{i} \tag{1}
</tex>
現在の状況を図にすると、次のような感じでしょう。(曲面上...
.. figure:: Joh-SurfaceIntegral01.gif
各微小面積×関数値の和は、こんなイメージでしょうか。なか...
ここで $n \rightarrow \infty$ なる極限を取り、同時に分割...
<tex>
\int \limits _{D} f dS \tag{2}
</tex>
ポイントは、積分領域が曲面になっているという点です。式 $(...
<tex>
\int \limits _{D} f d\bm{S} & = \int \limits _{D} f \bm{n...
& = \bm{e_{x_{1}}} \int \limits _{D} f (\bm{n} \cdot \bm{...
+ \bm{e_{x_{2}}} \int \limits _{D} f (\bm{n} \cdot \bm{e_...
+ \bm{e_{x_{3}}} \int \limits _{D} f (\bm{n} \cdot \bm{e_...
\tag{3}
</tex>
.. [*] ただし、ここで積分領域として考えている曲面には、全...
.. figure:: Joh-MaxBillMoebius.png
メビウスの輪。表と裏の決められない曲面の代表的な例だ。写...
ベクトルの面積分
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
式 $(2)(3)$ では被積分関数がスカラーでしたが、ベクトル関...
<tex>
\int \limits _{D} \bm{A} dS = \int \limits _{D} A_{1} dS ...
</tex>
<tex>
\int \limits _{D} \bm{A} \cdot d\bm{S} &= \int \limits _...
& = \int \limits _{D} A_{1} (\bm{e_{1}}\cdot \bm{n})dS
+ \int \limits _{D} A_{2} (\bm{e_{2}}\cdot \bm{n})dS
+ \int \limits _{D} A_{3} (\bm{e_{3}}\cdot \bm{n})dS
\tag{5}
</tex>
<tex>
\int \limits _{D} \bm{A} \times d\bm{S} &= \int \limits ...
& =
\bm{e_{1}} \int \limits _{D} (A_{2}n_{3}-A_{3}n_{2})dS +
\bm{e_{2}} \int \limits _{D} (A_{3}n_{1}-A_{1}n_{3})dS +
\bm{e_{3}} \int \limits _{D} (A_{1}n_{2}-A_{2}n_{1})dS
\tag{6}
</tex>
式 $(5)$ の形の面積分には、後で勉強するように ガウスの発...
面積分の和
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
面積分の領域 $S$ を複数の領域に分割できる場合、面積分を積...
.. image:: Joh-SurfaceSplit.gif
<tex>
\int \limits _{S_{1}+S_{2}} f dS = \int \limits _{S_{1}} ...
</tex>
<tex>
\int \limits _{S_{1}+S_{2}} f d\bm{S} = \int \limits _{S_...
</tex>
<tex>
\int \limits _{S_{1}+S_{2}} \bm{A} dS = \int \limits _{S_...
limits _{S_{2}} \bm{A} dS
</tex>
<tex>
\int \limits _{S_{1}+S_{2}} \bm{A} \cdot d\bm{S} = \int \...
</tex>
<tex>
\int \limits _{S_{1}+S_{2}} \bm{A} \times d\bm{S} = \int ...
</tex>
.. _線積分: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/L...
.. _面積ベクトル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _ガウスの発散定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vector...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: SurfaceIntegral@@
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#rst2hooktail_source
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面積分
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スカラー関数 $f(x_{1},x_{2},x_{3})$ を積分することを考え...
変数 $x_{1},x_{2},x_{3}$ が、ある曲面 $D$ 上を動き回ると...
<tex>
\sum \limits _{i=1}^{n} f(M_{i}) \Delta S_{i} \tag{1}
</tex>
現在の状況を図にすると、次のような感じでしょう。(曲面上...
.. figure:: Joh-SurfaceIntegral01.gif
各微小面積×関数値の和は、こんなイメージでしょうか。なか...
ここで $n \rightarrow \infty$ なる極限を取り、同時に分割...
<tex>
\int \limits _{D} f dS \tag{2}
</tex>
ポイントは、積分領域が曲面になっているという点です。式 $(...
<tex>
\int \limits _{D} f d\bm{S} & = \int \limits _{D} f \bm{n...
& = \bm{e_{x_{1}}} \int \limits _{D} f (\bm{n} \cdot \bm{...
+ \bm{e_{x_{2}}} \int \limits _{D} f (\bm{n} \cdot \bm{e_...
+ \bm{e_{x_{3}}} \int \limits _{D} f (\bm{n} \cdot \bm{e_...
\tag{3}
</tex>
.. [*] ただし、ここで積分領域として考えている曲面には、全...
.. figure:: Joh-MaxBillMoebius.png
メビウスの輪。表と裏の決められない曲面の代表的な例だ。写...
ベクトルの面積分
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
式 $(2)(3)$ では被積分関数がスカラーでしたが、ベクトル関...
<tex>
\int \limits _{D} \bm{A} dS = \int \limits _{D} A_{1} dS ...
</tex>
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\int \limits _{D} \bm{A} \cdot d\bm{S} &= \int \limits _...
& = \int \limits _{D} A_{1} (\bm{e_{1}}\cdot \bm{n})dS
+ \int \limits _{D} A_{2} (\bm{e_{2}}\cdot \bm{n})dS
+ \int \limits _{D} A_{3} (\bm{e_{3}}\cdot \bm{n})dS
\tag{5}
</tex>
<tex>
\int \limits _{D} \bm{A} \times d\bm{S} &= \int \limits ...
& =
\bm{e_{1}} \int \limits _{D} (A_{2}n_{3}-A_{3}n_{2})dS +
\bm{e_{2}} \int \limits _{D} (A_{3}n_{1}-A_{1}n_{3})dS +
\bm{e_{3}} \int \limits _{D} (A_{1}n_{2}-A_{2}n_{1})dS
\tag{6}
</tex>
式 $(5)$ の形の面積分には、後で勉強するように ガウスの発...
面積分の和
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
面積分の領域 $S$ を複数の領域に分割できる場合、面積分を積...
.. image:: Joh-SurfaceSplit.gif
<tex>
\int \limits _{S_{1}+S_{2}} f dS = \int \limits _{S_{1}} ...
</tex>
<tex>
\int \limits _{S_{1}+S_{2}} f d\bm{S} = \int \limits _{S_...
</tex>
<tex>
\int \limits _{S_{1}+S_{2}} \bm{A} dS = \int \limits _{S_...
limits _{S_{2}} \bm{A} dS
</tex>
<tex>
\int \limits _{S_{1}+S_{2}} \bm{A} \cdot d\bm{S} = \int \...
</tex>
<tex>
\int \limits _{S_{1}+S_{2}} \bm{A} \times d\bm{S} = \int ...
</tex>
.. _線積分: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/L...
.. _面積ベクトル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _ガウスの発散定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vector...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: SurfaceIntegral@@
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