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面積素に関して補足
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面積分に出て来る微小面積要素のベクトル形 $d\bm{S}$ を *ベ...
デカルト座標系の場合
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
面積分の積分領域 $S$ が、デカルト座標系 $xyz$ で記述され...
<tex>
d\bm{S} = (dydz,dzdx,dxdy) \tag{1}
</tex>
<tex>
\int \limits _{S} \bm{A} \cdot d\bm{S } = \int \limits _{...
A_{2}dzdx + A_{3}dxdy) \tag{2}
</tex>
<tex>
\int \limits _{S} \bm{A} \times d\bm{S } =
\bm{e_{1}} \int \limits _{S} (A_{2}dxdy - A_{3}dzdx) +
\bm{e_{2}} \int \limits _{S} (A_{3}dydz - A_{1}dxdy) +
\bm{e_{3}} \int \limits _{S} (A_{1}dzdx - A_{2}dydz) \ta...
</tex>
一般に、曲面の方程式が陰関数 $F(x,y,z)=0$ の形で与えられ...
<tex>
\bm{n} = \frac{\nabla F}{|\nabla F|} \tag{4}
</tex>
また、 微分形式_ を知っている読者の人は、ベクトル面積素が...
<tex>
d\bm{S} = dy \land dz \bm{e_{x}} + dz \land dx \bm{e_{y}}...
</tex>
曲面がパラメーター表示されている場合
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
曲面 $S$ が次のように二変数ベクトル関数によってパラメータ...
<tex>
S: \ \bm{r} = x(u,v)\bm{e_{x}}+ y(u,v)\bm{e_{y}} + z(u,v)...
</tex>
このとき、 $d\bm{S}$ はスカラー形もしくはベクトル形で次の...
<tex>
dS= \left| \frac{\partial \bm{r}}{\partial u} \times \fra...
</tex>
<tex>
d\bm{S} = \left( \frac{\partial \bm{r}}{\partial u} \time...
</tex>
ここで、微小面積は $du$ と $dv$ の張る平行四辺形で近似さ...
<tex>
d\bm{S} = \frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}\bm{e_{x}}+
\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}\bm{e_{y}}+
\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\bm{e_{z}} \tag{8}
</tex>
さらに、少し発展的な話題になりますが、微分幾何を勉強した...
<tex>
dS = \sqrt{EG - F^2 }dudv \tag{9}
</tex>
ここで、 $E,F,G$ は曲面の第一基本量と呼ばれる量で、式 $(6...
<tex>
E= \frac{\partial \bm{r}}{\partial u} \cdot \frac{\partia...
</tex>
<tex>
F= \frac{\partial \bm{r}}{\partial u} \cdot \frac{\partia...
</tex>
<tex>
G= \frac{\partial \bm{r}}{\partial v} \cdot \frac{\partia...
</tex>
第一基本量を使えば、曲線の弧長要素 $ds$ は次のように表現...
<tex>
ds^2 & = Edu^{2} + 2Fdudv + G dv^2 \\
& = (du \ dv)
\left(
\begin{array}{cc}
E & F \\
F & G \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
du \\
dv \\
\end{array}
\right) \tag{11}
</tex>
このように、面積分は一般に二変数の積分になりますから、急...
1. 表と裏を区別できる曲面なのか?
2. 法線ベクトルの向き(どちらを表と取るか)
3. 曲面全体の形(穴が空いているか等)
線積分には始点と終点があり、積分に『向き』がありました。...
.. _微分形式: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialfo...
.. _積分領域について補足: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: SurfaceIntegralApp@@
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#rst2hooktail_source
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面積素に関して補足
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面積分に出て来る微小面積要素のベクトル形 $d\bm{S}$ を *ベ...
デカルト座標系の場合
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面積分の積分領域 $S$ が、デカルト座標系 $xyz$ で記述され...
<tex>
d\bm{S} = (dydz,dzdx,dxdy) \tag{1}
</tex>
<tex>
\int \limits _{S} \bm{A} \cdot d\bm{S } = \int \limits _{...
A_{2}dzdx + A_{3}dxdy) \tag{2}
</tex>
<tex>
\int \limits _{S} \bm{A} \times d\bm{S } =
\bm{e_{1}} \int \limits _{S} (A_{2}dxdy - A_{3}dzdx) +
\bm{e_{2}} \int \limits _{S} (A_{3}dydz - A_{1}dxdy) +
\bm{e_{3}} \int \limits _{S} (A_{1}dzdx - A_{2}dydz) \ta...
</tex>
一般に、曲面の方程式が陰関数 $F(x,y,z)=0$ の形で与えられ...
<tex>
\bm{n} = \frac{\nabla F}{|\nabla F|} \tag{4}
</tex>
また、 微分形式_ を知っている読者の人は、ベクトル面積素が...
<tex>
d\bm{S} = dy \land dz \bm{e_{x}} + dz \land dx \bm{e_{y}}...
</tex>
曲面がパラメーター表示されている場合
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曲面 $S$ が次のように二変数ベクトル関数によってパラメータ...
<tex>
S: \ \bm{r} = x(u,v)\bm{e_{x}}+ y(u,v)\bm{e_{y}} + z(u,v)...
</tex>
このとき、 $d\bm{S}$ はスカラー形もしくはベクトル形で次の...
<tex>
dS= \left| \frac{\partial \bm{r}}{\partial u} \times \fra...
</tex>
<tex>
d\bm{S} = \left( \frac{\partial \bm{r}}{\partial u} \time...
</tex>
ここで、微小面積は $du$ と $dv$ の張る平行四辺形で近似さ...
<tex>
d\bm{S} = \frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}\bm{e_{x}}+
\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}\bm{e_{y}}+
\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\bm{e_{z}} \tag{8}
</tex>
さらに、少し発展的な話題になりますが、微分幾何を勉強した...
<tex>
dS = \sqrt{EG - F^2 }dudv \tag{9}
</tex>
ここで、 $E,F,G$ は曲面の第一基本量と呼ばれる量で、式 $(6...
<tex>
E= \frac{\partial \bm{r}}{\partial u} \cdot \frac{\partia...
</tex>
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F= \frac{\partial \bm{r}}{\partial u} \cdot \frac{\partia...
</tex>
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G= \frac{\partial \bm{r}}{\partial v} \cdot \frac{\partia...
</tex>
第一基本量を使えば、曲線の弧長要素 $ds$ は次のように表現...
<tex>
ds^2 & = Edu^{2} + 2Fdudv + G dv^2 \\
& = (du \ dv)
\left(
\begin{array}{cc}
E & F \\
F & G \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
du \\
dv \\
\end{array}
\right) \tag{11}
</tex>
このように、面積分は一般に二変数の積分になりますから、急...
1. 表と裏を区別できる曲面なのか?
2. 法線ベクトルの向き(どちらを表と取るか)
3. 曲面全体の形(穴が空いているか等)
線積分には始点と終点があり、積分に『向き』がありました。...
.. _微分形式: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialfo...
.. _積分領域について補足: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: SurfaceIntegralApp@@
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