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#rst2hooktail_source
==========================================================
面積素と微分形式
==========================================================
曲面 $S$ が $\bm{r}=\bm{r}(u,v)$ で与えられているとき、そ...
<tex>
d\bm{S} = \left( \frac{\partial \bm{r}}{\partial u} \time...
</tex>
.. image:: Joh-DiffSquare01.gif
滑らかな曲面上の領域が、上図のように二つの独立なパラメー...
.. [*] いま考えている点の近傍で曲面は滑らかだとしています...
.. image:: Joh-DiffSquare02.gif
曲面 $S$ 上の一点 $P_{0}$ のまわりに微小面積を取ることを...
<tex>
d\bm{S} &= \vec{P_{0}P_{1}} \times \vec{P_{0}P_{2}} \\
&= (\vec{P_{1}}- \vec{P_{0}}) \times (\vec{P_{2}} - \vec{...
& = \left[ \left( \bm{r} + \frac{\partial \bm{r}}{\partia...
& = \frac{\partial \bm{r}}{\partial u}du \times \frac{\pa...
& =\left( \frac{\partial \bm{r}}{\partial u} \times \frac...
</tex>
偏導関数をいちいち分数の形に書くのは面倒なので、以後、微...
.. [*] 細かいことを言えば、曲面上の微小面積は曲率を持って...
蛇足ですが、曲面の第一基本量と呼ばれる量、 $E=\bm{r_{u}} ...
<tex>
dS = \sqrt{EG-F^{2}}dudv \tag{3}
</tex>
ヤコビアンと面積素
=========================================================...
曲面 $S$ を表わすベクトル方程式 $\bm{r}(u,v)$ を用いて、...
<tex>
\bm{r}(u,v) = x(u,v)\bm{e_{x}}+ y(u,v)\bm{e_{y}}+z(u,v)\b...
</tex>
これを使うと、式 $(2)$ は次のようになります。
<tex>
d\bm{S} & = ( \bm{r_{u}} \times \bm{r_{v}})dudv \\
&= \left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial x}{\partial u} \\
\frac{\partial y}{\partial u} \\
\frac{\partial z}{\partial u} \\
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial x}{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial v} \\
\frac{\partial z}{\partial v} \\
\end{array}
\right) dudv \\
&=
\left|
\begin{array}{cc}
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\parti...
\frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\parti...
\end{array}
\right|
dudv \bm{e_{x}} +
\left|
\begin{array}{cc}
\frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\parti...
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\parti...
\end{array}
\right|
dudv \bm{e_{y}} +
\left|
\begin{array}{cc}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\parti...
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\parti...
\end{array}
\right|
dudv \bm{e_{z}} \tag{5}
</tex>
なんだか、行列式がたくさん出てきてエライことになってます...
<tex>
\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} =
\left|
\begin{array}{cc}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\parti...
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\parti...
\end{array}
\right|
=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial ...
\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u...
</tex>
<tex>
\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)} =
\left|
\begin{array}{cc}
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\parti...
\frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\parti...
\end{array}
\right|
=
\frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial z}{\partial ...
\frac{\partial y}{\partial v}\frac{\partial z}{\partial u...
</tex>
<tex>
\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)} =
\left|
\begin{array}{cc}
\frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\parti...
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\parti...
\end{array}
\right|
=
\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial x}{\partial ...
\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial x}{\partial u...
</tex>
この表記を使って $d\bm{S}$ をもう一度書き直せば、次のよう...
<tex>
d\bm{S} = \frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)} dudv \bm{...
\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)} dudv \bm{e_{y}} +
\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} dudv \bm{e_{z}} \t...
</tex>
ずいぶん、すっきりしました。
ヤコビアンと微分形式
=========================================================...
前セクションでは、 $d\bm{S}$ を $xyz$ 成分に分解してみま...
<tex>
dydz= \pm \frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)} dudv \tag...
</tex>
特に、正の符号を取る変換を *向きを保つ座標変換* と呼びま...
それにしても、符号が $\pm$ となっているのは、いかにも面倒...
ヤコビアンの性質
`````````````````````````````````````````````````````````...
ここで、一般にヤコビアンの持つ性質を考えて見たいと思いま...
<tex>
\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} =- \frac{\partial (...
, \ \ \
\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)} =- \frac{\partial (...
, \ \ \
\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)} =- \frac{\partial (...
</tex>
.. important::
ヤコビアンの符号は、行か列を入れ替えると反転します。
また、次の性質もあることが言えます。
<tex>
\frac{\partial (x,x)}{\partial (u,v)} = 0
, \ \ \
\frac{\partial (y,y)}{\partial (u,v)} = 0
, \ \ \
\frac{\partial (z,z)}{\partial (u,v)} = 0
</tex>
.. important::
同じ行(もしくは同じ列)があると、ヤコビアンは $0$ にな...
座標の向きとの関係
`````````````````````````````````````````````````````````...
このセクションの最初に少し考えた、座標変換で向きを保つ、...
<tex>
\left(
\begin{array}{c}
\bm{e_{2}} \\
\bm{e_{1}} \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\bm{e_{1}} \\
\bm{e_{2}} \\
\end{array}
\right) \tag{9-1}
</tex>
<tex>
\left(
\begin{array}{c}
\bm{e_{1}} \\
\bm{e_{3}} \\
\bm{e_{2}} \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\bm{e_{1}} \\
\bm{e_{2}} \\
\bm{e_{3}} \\
\end{array}
\right) \tag{9-2}
</tex>
このように、『座標軸を入れ替える』という操作は、実はヤコ...
なぜ、『向きを保つ』という問題にこだわっているのか、少し...
そこで、いっそ式 $(8)$ を次のように書いてしまえば便利でし...
<tex>
dy\land dz= \frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)} dudv \...
</tex>
いきなりウェッジ積が出てきましたが、『積の順序を(奇数回...
ヤコビアンの二番目の性質、『同じ行や列があると零になる』...
.. important::
二次微分形式は、曲面の向き(表・裏)に関する情報も織り込...
これは、面積分で重宝しそうですね!微分形式を使えば、次の...
<tex>
dx \land dy = \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}dudv
</tex>
<tex>
dy \land dz = \frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}dudv
</tex>
<tex>
dz \land dx = \frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}dudv
</tex>
これを使って、式 $(7)$ を次のように簡単な形にできます。も...
<tex>
d\bm{S} = dy \land dz + dz \land dx + dx \land dy \tag{11}
</tex>
例えば、ガウスの発散定理に出てくる面積分は、式 $(11)$ を...
<tex>
\int \limits_{S} \bm{A} \cdot d\bm{S}
=
\int \limits _{S}
A_{x}dy \land dz + A_{y}dz \land dx + A_{z}dx \land dy \...
</tex>
ここで式 $(12)$ の右辺は二次微分形式になっていることが分...
.. [*] 代数的に、ベクトル空間→テンソル空間→外積代数と勉強...
.. _面積素に関して補足: http://www12.plala.or.jp/ksp/vect...
.. _多様体: http://www12.plala.or.jp/ksp/manifold/index.h...
.. _行列式の性質: http://www12.plala.or.jp/ksp/linearalge...
.. _行列の階数: http://www12.plala.or.jp/ksp/linearalgebr...
.. _ガウスの発散定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vector...
@@author:Joh@@
@@accept:2006-11-13@@
@@category: 微分形式@@
@@id: DiffFormsArea@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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面積素と微分形式
==========================================================
曲面 $S$ が $\bm{r}=\bm{r}(u,v)$ で与えられているとき、そ...
<tex>
d\bm{S} = \left( \frac{\partial \bm{r}}{\partial u} \time...
</tex>
.. image:: Joh-DiffSquare01.gif
滑らかな曲面上の領域が、上図のように二つの独立なパラメー...
.. [*] いま考えている点の近傍で曲面は滑らかだとしています...
.. image:: Joh-DiffSquare02.gif
曲面 $S$ 上の一点 $P_{0}$ のまわりに微小面積を取ることを...
<tex>
d\bm{S} &= \vec{P_{0}P_{1}} \times \vec{P_{0}P_{2}} \\
&= (\vec{P_{1}}- \vec{P_{0}}) \times (\vec{P_{2}} - \vec{...
& = \left[ \left( \bm{r} + \frac{\partial \bm{r}}{\partia...
& = \frac{\partial \bm{r}}{\partial u}du \times \frac{\pa...
& =\left( \frac{\partial \bm{r}}{\partial u} \times \frac...
</tex>
偏導関数をいちいち分数の形に書くのは面倒なので、以後、微...
.. [*] 細かいことを言えば、曲面上の微小面積は曲率を持って...
蛇足ですが、曲面の第一基本量と呼ばれる量、 $E=\bm{r_{u}} ...
<tex>
dS = \sqrt{EG-F^{2}}dudv \tag{3}
</tex>
ヤコビアンと面積素
=========================================================...
曲面 $S$ を表わすベクトル方程式 $\bm{r}(u,v)$ を用いて、...
<tex>
\bm{r}(u,v) = x(u,v)\bm{e_{x}}+ y(u,v)\bm{e_{y}}+z(u,v)\b...
</tex>
これを使うと、式 $(2)$ は次のようになります。
<tex>
d\bm{S} & = ( \bm{r_{u}} \times \bm{r_{v}})dudv \\
&= \left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial x}{\partial u} \\
\frac{\partial y}{\partial u} \\
\frac{\partial z}{\partial u} \\
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial x}{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial v} \\
\frac{\partial z}{\partial v} \\
\end{array}
\right) dudv \\
&=
\left|
\begin{array}{cc}
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\parti...
\frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\parti...
\end{array}
\right|
dudv \bm{e_{x}} +
\left|
\begin{array}{cc}
\frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\parti...
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\parti...
\end{array}
\right|
dudv \bm{e_{y}} +
\left|
\begin{array}{cc}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\parti...
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\parti...
\end{array}
\right|
dudv \bm{e_{z}} \tag{5}
</tex>
なんだか、行列式がたくさん出てきてエライことになってます...
<tex>
\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} =
\left|
\begin{array}{cc}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\parti...
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\parti...
\end{array}
\right|
=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial ...
\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u...
</tex>
<tex>
\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)} =
\left|
\begin{array}{cc}
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\parti...
\frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\parti...
\end{array}
\right|
=
\frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial z}{\partial ...
\frac{\partial y}{\partial v}\frac{\partial z}{\partial u...
</tex>
<tex>
\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)} =
\left|
\begin{array}{cc}
\frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\parti...
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\parti...
\end{array}
\right|
=
\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial x}{\partial ...
\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial x}{\partial u...
</tex>
この表記を使って $d\bm{S}$ をもう一度書き直せば、次のよう...
<tex>
d\bm{S} = \frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)} dudv \bm{...
\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)} dudv \bm{e_{y}} +
\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} dudv \bm{e_{z}} \t...
</tex>
ずいぶん、すっきりしました。
ヤコビアンと微分形式
=========================================================...
前セクションでは、 $d\bm{S}$ を $xyz$ 成分に分解してみま...
<tex>
dydz= \pm \frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)} dudv \tag...
</tex>
特に、正の符号を取る変換を *向きを保つ座標変換* と呼びま...
それにしても、符号が $\pm$ となっているのは、いかにも面倒...
ヤコビアンの性質
`````````````````````````````````````````````````````````...
ここで、一般にヤコビアンの持つ性質を考えて見たいと思いま...
<tex>
\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} =- \frac{\partial (...
, \ \ \
\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)} =- \frac{\partial (...
, \ \ \
\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)} =- \frac{\partial (...
</tex>
.. important::
ヤコビアンの符号は、行か列を入れ替えると反転します。
また、次の性質もあることが言えます。
<tex>
\frac{\partial (x,x)}{\partial (u,v)} = 0
, \ \ \
\frac{\partial (y,y)}{\partial (u,v)} = 0
, \ \ \
\frac{\partial (z,z)}{\partial (u,v)} = 0
</tex>
.. important::
同じ行(もしくは同じ列)があると、ヤコビアンは $0$ にな...
座標の向きとの関係
`````````````````````````````````````````````````````````...
このセクションの最初に少し考えた、座標変換で向きを保つ、...
<tex>
\left(
\begin{array}{c}
\bm{e_{2}} \\
\bm{e_{1}} \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\bm{e_{1}} \\
\bm{e_{2}} \\
\end{array}
\right) \tag{9-1}
</tex>
<tex>
\left(
\begin{array}{c}
\bm{e_{1}} \\
\bm{e_{3}} \\
\bm{e_{2}} \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\bm{e_{1}} \\
\bm{e_{2}} \\
\bm{e_{3}} \\
\end{array}
\right) \tag{9-2}
</tex>
このように、『座標軸を入れ替える』という操作は、実はヤコ...
なぜ、『向きを保つ』という問題にこだわっているのか、少し...
そこで、いっそ式 $(8)$ を次のように書いてしまえば便利でし...
<tex>
dy\land dz= \frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)} dudv \...
</tex>
いきなりウェッジ積が出てきましたが、『積の順序を(奇数回...
ヤコビアンの二番目の性質、『同じ行や列があると零になる』...
.. important::
二次微分形式は、曲面の向き(表・裏)に関する情報も織り込...
これは、面積分で重宝しそうですね!微分形式を使えば、次の...
<tex>
dx \land dy = \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}dudv
</tex>
<tex>
dy \land dz = \frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}dudv
</tex>
<tex>
dz \land dx = \frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}dudv
</tex>
これを使って、式 $(7)$ を次のように簡単な形にできます。も...
<tex>
d\bm{S} = dy \land dz + dz \land dx + dx \land dy \tag{11}
</tex>
例えば、ガウスの発散定理に出てくる面積分は、式 $(11)$ を...
<tex>
\int \limits_{S} \bm{A} \cdot d\bm{S}
=
\int \limits _{S}
A_{x}dy \land dz + A_{y}dz \land dx + A_{z}dx \land dy \...
</tex>
ここで式 $(12)$ の右辺は二次微分形式になっていることが分...
.. [*] 代数的に、ベクトル空間→テンソル空間→外積代数と勉強...
.. _面積素に関して補足: http://www12.plala.or.jp/ksp/vect...
.. _多様体: http://www12.plala.or.jp/ksp/manifold/index.h...
.. _行列式の性質: http://www12.plala.or.jp/ksp/linearalge...
.. _行列の階数: http://www12.plala.or.jp/ksp/linearalgebr...
.. _ガウスの発散定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vector...
@@author:Joh@@
@@accept:2006-11-13@@
@@category: 微分形式@@
@@id: DiffFormsArea@@
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