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#rst2hooktail_source
===================
無限等比級数の和
===================
初項 $a_1$ ,公比 $r$ の等比数列 $a_n$ において, $-1<r<1...
<tex>
\sum^\infty_{n=1}a_n=\frac{a_1}{1-r}
</tex>
という公式が成り立ちます.等比数列をずっとずっと足しあわ...
上の式の右辺になるというのです.
無限に足しあわせたのに一定の値になる(収束する)というの...
導きかた
-------------
この公式を導くのは簡単です.等比数列の和の公式
<tex>
a_n = a_1 r^{n-1} \tag{1}
</tex>
<tex>
S_n = \frac{a_1(r^n-1)}{r-1} \qquad (r\ne1) \tag{2}
</tex>
<tex>
S_n = a_1n \qquad (r=1) \tag{3}
</tex>
を思い出します.式(2)において, $-1<r<1$ のときは
<tex>
\lim_{n\to \infty}r^n=0
</tex>
が言いえます.たとえば $r=0.5$ の場合,
$0.5 \times 0.5 = 0.25, 0.25 \times 0.5 = 0.125, \dots$ ...
掛け続けるといつかはゼロになりそうです.
上の式は,絶対値が 1 より小さい数を永遠に掛け続けて行くと,
いつかゼロになるということです.そうすると式(2)は
<tex>
\lim_{n\to \infty}S_n &=\lim_{n\to \infty}\frac{a_1(r^n-1...
&= \frac{-a_1}{r-1}\\
&= \frac{a_1}{1-r}
</tex>
となります.無限等比級数の和が収束するのは,
足しあわせる数の値がだんだん小さくなって,いつかはゼロに...
もちろん, $ -1<r<1$ のとき,という条件つきですが.
例
-------------
数列
<tex>
1+e+e^2+e^3+\cdots
</tex>
は初項 1,公比 $e$ の等比級数です.もしも $ -1<e<1$ ならば
<tex>
1+e+e^2+e^3+\cdots=\frac{1}{1-e}
</tex>
と有限の値に収束します.この逆の,
<tex>
\frac{1}{1-e}=1+e+e^2+e^3+\cdots
</tex>
という関係も覚えておくと便利なことがあります.
@@author:崎間@@
@@accept:2003-05-02@@
@@category:物理数学@@
@@id:infGeoProgres@@
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#rst2hooktail_source
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無限等比級数の和
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初項 $a_1$ ,公比 $r$ の等比数列 $a_n$ において, $-1<r<1...
<tex>
\sum^\infty_{n=1}a_n=\frac{a_1}{1-r}
</tex>
という公式が成り立ちます.等比数列をずっとずっと足しあわ...
上の式の右辺になるというのです.
無限に足しあわせたのに一定の値になる(収束する)というの...
導きかた
-------------
この公式を導くのは簡単です.等比数列の和の公式
<tex>
a_n = a_1 r^{n-1} \tag{1}
</tex>
<tex>
S_n = \frac{a_1(r^n-1)}{r-1} \qquad (r\ne1) \tag{2}
</tex>
<tex>
S_n = a_1n \qquad (r=1) \tag{3}
</tex>
を思い出します.式(2)において, $-1<r<1$ のときは
<tex>
\lim_{n\to \infty}r^n=0
</tex>
が言いえます.たとえば $r=0.5$ の場合,
$0.5 \times 0.5 = 0.25, 0.25 \times 0.5 = 0.125, \dots$ ...
掛け続けるといつかはゼロになりそうです.
上の式は,絶対値が 1 より小さい数を永遠に掛け続けて行くと,
いつかゼロになるということです.そうすると式(2)は
<tex>
\lim_{n\to \infty}S_n &=\lim_{n\to \infty}\frac{a_1(r^n-1...
&= \frac{-a_1}{r-1}\\
&= \frac{a_1}{1-r}
</tex>
となります.無限等比級数の和が収束するのは,
足しあわせる数の値がだんだん小さくなって,いつかはゼロに...
もちろん, $ -1<r<1$ のとき,という条件つきですが.
例
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数列
<tex>
1+e+e^2+e^3+\cdots
</tex>
は初項 1,公比 $e$ の等比級数です.もしも $ -1<e<1$ ならば
<tex>
1+e+e^2+e^3+\cdots=\frac{1}{1-e}
</tex>
と有限の値に収束します.この逆の,
<tex>
\frac{1}{1-e}=1+e+e^2+e^3+\cdots
</tex>
という関係も覚えておくと便利なことがあります.
@@author:崎間@@
@@accept:2003-05-02@@
@@category:物理数学@@
@@id:infGeoProgres@@
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