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#rst2hooktail_source
==============================
無限小回転2
==============================
ここまで 無限小回転1_ で次のようなことを勉強しました。
1. 有限回転では、一般に回転の順序を変えることができないと...
2. 無限小回転においては、回転の順序を交換することができる...
3. ベクトルを無限小回転させたときの変化分は、元のベクトル...
この記事では、さらに回転についての考察を進めていきます。
ベクトルの外積を使う
---------------------------------------------------------...
読者のみなさんは、無限小回転の変化 $\delta \bm{r}=\bm{r'}...
<tex>
\varepsilon=
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -r & q \\
r & 0 & -p \\
-q & p & 0 \\
\end{array}
\right)
</tex>
では実際に、この行列 $\varepsilon$ をベクトル $\bm{x}=(x,...
<tex>
\varepsilon\bm{x} &= \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -r & q \\
r & 0 & -p \\
-q & r & 0 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right) \\
&=\left(
\begin{array}{c}
qz-ry \\
rx-pz \\
py-qx \\
\end{array}
\right) \tag{1}
</tex>
あれ!?この結果を見て、なんだかピンと来ませんか?ムムム...
<tex>
\left(
\begin{array}{c}
p \\
q \\
r \\
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right)
=\left(
\begin{array}{c}
qz-ry \\
rx-pz \\
py-qx \\
\end{array}
\right) \tag{2}
</tex>
そうです。式(1)の結果は、ベクトル $(p,q,r)$ と $(x,y,x)$ ...
.. [*] 『反対称行列の代わりに外積を取るために作ったベクト...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -r & q \\
r & 0 & -p \\
-q & p & 0 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
p \\
q \\
r \\
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right) \tag{3}
</tex>
実は、 無限小回転1_ の最後で、行列 $\varepsilon$ の成分を...
無限小回転はベクトルのように考えてよい
---------------------------------------------------------...
ベクトルを無限小回転させるとき、その変化分を、ベクトルの...
ベクトル $d\bm{\Omega}$ の個々の成分の意味を考えるために...
<tex>
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
r \\
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
-ry \\
rx \\
0 \\
\end{array}
\right) \tag{4}
</tex>
この結果を図形的に考えて見ましょう。
.. image:: Joh-InfiniRot9.gif
式(4)より、 $x$ 方向には $-ry$ , $y$ 方向には $rx$ の変化...
こうして、 $d\bm{\Omega}$ の $z$ 成分 $r$ は、 $z$ 軸回り...
ベクトル $d\bm{\Omega}$ の各成分は、各軸回りの微小回転角...
.. image:: Joh-RotRigid1.gif
それぞれ個別の微小回転は、基底ベクトルを使えば、 $p\bm{e_...
<tex>
d\bm{\Omega} =
\left(
\begin{array}{c}
p \\
q \\
r \\
\end{array}
\right)
=p\bm{e_{x}}+q\bm{e_{y}}+r\bm{e_{z}}
</tex>
微小回転をベクトルで表現できることの最大の利点は、ベクト...
<tex>
d\bm{\Omega_{1}}+d\bm{\Omega_{2}}=
\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
q_{1} \\
r_{1} \\
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{c}
p_{2} \\
q_{2} \\
r_{2} \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
p_{1}+p_{2} \\
q_{1}+q_{2} \\
r_{1}+r_{2} \\
\end{array}
\right)
</tex>
もしくは、何らかの複合的な微小回転 $d\bm{\Omega_{?}}$ が...
<tex>
\bm{d\bm{\Omega}_{?}} = (d\bm{\Omega}_{?} \cdot \bm{e_{x}...
+(d\bm{\Omega}_{?} \cdot \bm{e_{y}})\bm{e_{y}}
+(d\bm{\Omega}_{?} \cdot \bm{e_{z}})\bm{e_{z}}
=
\left(
\begin{array}{c}
(d\bm{\Omega}_{?} \cdot \bm{e_{x}}) \\
(d\bm{\Omega}_{?} \cdot \bm{e_{y}}) \\
(d\bm{\Omega}_{?} \cdot \bm{e_{z}}) \\
\end{array}
\right)
</tex>
このようにして、任意の微小回転を、基本となる、座標軸回り...
.. [*] ここで出てきた $d\bm{\Omega}$ は、全て微小量を成分...
ベクトルの微小回転が、外積を使った形で表せるというのは、 ...
まとめ
---------------------------------------------------------...
ここまでに、随分と色々な結果を得ました。
1. 有限回転では回転の順序は交換不可能であったが、微小回転...
2. 有限回転を表現するには一般に $3 \times 3$ ( $9$ 成分)...
3. 微小回転は反対称行列( $3$ 成分)によって表わされた。
4. 微小回転を表すには、行列の代わりにベクトルの外積を使っ...
5. 微小回転は、有限回転の微分ではない。
6. 微小回転は、ベクトルのように扱って良い。(ベクトルの合...
物理学では色々な分野で、何か物理量の変化を記述するために...
.. [*] 微分を本格的に使い始めたのはニュートンですが、微分...
このように、微小回転という概念が、物理学の基礎方程式に出...
.. _行列式: ../../mathInPhys/determinant/index.html
.. _ベクトル解析: ../../formula/mathFormula/html/node59.h...
.. _無限小回転1: ../infinitesimalRot1/index.html
.. _四元数: ../../mathInPhys/quaternion/index.html
.. _ベクトルの回転: ../../mathInPhys/vectorRot/index.html
@@author:Joh@@
@@accept:2005-04-20@@
@@category:力学@@
@@id:infinitesimalRot2@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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無限小回転2
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ここまで 無限小回転1_ で次のようなことを勉強しました。
1. 有限回転では、一般に回転の順序を変えることができないと...
2. 無限小回転においては、回転の順序を交換することができる...
3. ベクトルを無限小回転させたときの変化分は、元のベクトル...
この記事では、さらに回転についての考察を進めていきます。
ベクトルの外積を使う
---------------------------------------------------------...
読者のみなさんは、無限小回転の変化 $\delta \bm{r}=\bm{r'}...
<tex>
\varepsilon=
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -r & q \\
r & 0 & -p \\
-q & p & 0 \\
\end{array}
\right)
</tex>
では実際に、この行列 $\varepsilon$ をベクトル $\bm{x}=(x,...
<tex>
\varepsilon\bm{x} &= \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -r & q \\
r & 0 & -p \\
-q & r & 0 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right) \\
&=\left(
\begin{array}{c}
qz-ry \\
rx-pz \\
py-qx \\
\end{array}
\right) \tag{1}
</tex>
あれ!?この結果を見て、なんだかピンと来ませんか?ムムム...
<tex>
\left(
\begin{array}{c}
p \\
q \\
r \\
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right)
=\left(
\begin{array}{c}
qz-ry \\
rx-pz \\
py-qx \\
\end{array}
\right) \tag{2}
</tex>
そうです。式(1)の結果は、ベクトル $(p,q,r)$ と $(x,y,x)$ ...
.. [*] 『反対称行列の代わりに外積を取るために作ったベクト...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -r & q \\
r & 0 & -p \\
-q & p & 0 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
p \\
q \\
r \\
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right) \tag{3}
</tex>
実は、 無限小回転1_ の最後で、行列 $\varepsilon$ の成分を...
無限小回転はベクトルのように考えてよい
---------------------------------------------------------...
ベクトルを無限小回転させるとき、その変化分を、ベクトルの...
ベクトル $d\bm{\Omega}$ の個々の成分の意味を考えるために...
<tex>
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
r \\
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
-ry \\
rx \\
0 \\
\end{array}
\right) \tag{4}
</tex>
この結果を図形的に考えて見ましょう。
.. image:: Joh-InfiniRot9.gif
式(4)より、 $x$ 方向には $-ry$ , $y$ 方向には $rx$ の変化...
こうして、 $d\bm{\Omega}$ の $z$ 成分 $r$ は、 $z$ 軸回り...
ベクトル $d\bm{\Omega}$ の各成分は、各軸回りの微小回転角...
.. image:: Joh-RotRigid1.gif
それぞれ個別の微小回転は、基底ベクトルを使えば、 $p\bm{e_...
<tex>
d\bm{\Omega} =
\left(
\begin{array}{c}
p \\
q \\
r \\
\end{array}
\right)
=p\bm{e_{x}}+q\bm{e_{y}}+r\bm{e_{z}}
</tex>
微小回転をベクトルで表現できることの最大の利点は、ベクト...
<tex>
d\bm{\Omega_{1}}+d\bm{\Omega_{2}}=
\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
q_{1} \\
r_{1} \\
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{c}
p_{2} \\
q_{2} \\
r_{2} \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
p_{1}+p_{2} \\
q_{1}+q_{2} \\
r_{1}+r_{2} \\
\end{array}
\right)
</tex>
もしくは、何らかの複合的な微小回転 $d\bm{\Omega_{?}}$ が...
<tex>
\bm{d\bm{\Omega}_{?}} = (d\bm{\Omega}_{?} \cdot \bm{e_{x}...
+(d\bm{\Omega}_{?} \cdot \bm{e_{y}})\bm{e_{y}}
+(d\bm{\Omega}_{?} \cdot \bm{e_{z}})\bm{e_{z}}
=
\left(
\begin{array}{c}
(d\bm{\Omega}_{?} \cdot \bm{e_{x}}) \\
(d\bm{\Omega}_{?} \cdot \bm{e_{y}}) \\
(d\bm{\Omega}_{?} \cdot \bm{e_{z}}) \\
\end{array}
\right)
</tex>
このようにして、任意の微小回転を、基本となる、座標軸回り...
.. [*] ここで出てきた $d\bm{\Omega}$ は、全て微小量を成分...
ベクトルの微小回転が、外積を使った形で表せるというのは、 ...
まとめ
---------------------------------------------------------...
ここまでに、随分と色々な結果を得ました。
1. 有限回転では回転の順序は交換不可能であったが、微小回転...
2. 有限回転を表現するには一般に $3 \times 3$ ( $9$ 成分)...
3. 微小回転は反対称行列( $3$ 成分)によって表わされた。
4. 微小回転を表すには、行列の代わりにベクトルの外積を使っ...
5. 微小回転は、有限回転の微分ではない。
6. 微小回転は、ベクトルのように扱って良い。(ベクトルの合...
物理学では色々な分野で、何か物理量の変化を記述するために...
.. [*] 微分を本格的に使い始めたのはニュートンですが、微分...
このように、微小回転という概念が、物理学の基礎方程式に出...
.. _行列式: ../../mathInPhys/determinant/index.html
.. _ベクトル解析: ../../formula/mathFormula/html/node59.h...
.. _無限小回転1: ../infinitesimalRot1/index.html
.. _四元数: ../../mathInPhys/quaternion/index.html
.. _ベクトルの回転: ../../mathInPhys/vectorRot/index.html
@@author:Joh@@
@@accept:2005-04-20@@
@@category:力学@@
@@id:infinitesimalRot2@@
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