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#rst2hooktail_source
==============================
無限小回転1
==============================
剛体の回転を勉強するとき、無限小回転という考え方が出てき...
有限回転
--------------------------------
まずは次の図を見てください。剛体に、右にグルリと90度倒す...
.. image:: Joh-Panda1.gif
このように、回転という操作は、一般的に順序を入れ替えると...
剛体の向きをベクトルで表すことにすると、ベクトルに回転行...
では、パンダの図で行った回転を、ベクトル $(a,b,c)$ と行列...
まずは、ベクトル $(a,b,c)$ を $y$ 軸回りに $90$ 度回転さ...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
a' \\
b' \\
c' \\
\end{array}
\right)
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
\cos 180^{o} & -\sin 180^{0} & 0 \\
\sin 180^{o} & \cos 180^{0} & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
\cos 90^{o} & 0 & \sin 90^{0} \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin 90^{o} & 0 & \cos 90^{0} \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
a \\
b \\
c \\
\end{array}
\right) \\
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
a \\
b \\
c \\
\end{array}
\right) \\
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
-c \\
-b \\
-a \\
\end{array}
\right) \tag{1}
</tex>
.. image:: Joh-FiniteRot1.gif
今度は先に $z$ 軸回りに $180$ 度回転させ、しかる後に $y$ ...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
a' \\
b' \\
c' \\
\end{array}
\right)
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
\cos 90^{o} & 0 & \sin 90^{0} \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin 90^{o} & 0 & \cos 90^{0} \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
\cos 180^{o} & -\sin 180^{0} & 0 \\
\sin 180^{o} & \cos 180^{0} & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
a \\
b \\
c \\
\end{array}
\right) \\
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
a \\
b \\
c \\
\end{array}
\right) \\
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
c \\
-b \\
a \\
\end{array}
\right) \tag{2}
</tex>
予想通り!回転の順番を変えただけで結果が違ってしまいまし...
.. [*] 回転操作の非可換性は、行列の積が非可換である(行列 ...
無限小回転
--------------------------------
それでは、回転の角度が非常に小さいの場合を考えてみましょ...
<tex>
A_{1}A_{2} = (E+\varepsilon_{1})(E+\varepsilon_{2})=E+\va...
</tex>
<tex>
A_{2}A_{1} = (E+\varepsilon_{2})(E+\varepsilon_{1})=E+\va...
</tex>
行列の積は非可換でしたが、行列の和は順番を変えても良かっ...
.. image:: Joh-Mt.Fuji.gif
.. [*] 行列を微小量 $\varepsilon$ で表しましたが、行列が...
もう一度、パンダを回してみましょう。先ほどと同じ向きに回...
.. image:: Joh-Panda3.gif
練習問題
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
次の行列 $A$ , $B$ に対し、 $\theta$ , $\phi$ が二次以上...
(ヒント)微小量 $\theta$ に対して $\sin \theta \simeq \the...
<tex>
A= \left(
\begin{array}{ccc}
\cos \theta & -\sin \theta & 0 \\
\sin \theta & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
</tex>
<tex>
B= \left(
\begin{array}{ccc}
\cos \phi & 0 & \sin \phi \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin \phi & 0 & \cos \phi\\
\end{array}
\right)
</tex>
無限小回転を表す行列
------------------------------------------------------
一般に、回転という操作の順番を変えるわけにはいきませんが...
.. image:: Joh-IR7.gif
微小な回転によってベクトル $\bm{r}$ が $\bm{r'}$ に移され...
ベクトル $\bm{r}$ を $\bm{r'}$ に移す変換を、行列 $A$ を...
<tex>
A=E+\varepsilon
</tex>
この段階では、行列 $\varepsilon$ がどのような形をしている...
<tex>
\varepsilon= \left(
\begin{array}{ccc}
\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\
\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
\varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \\
\end{array}
\right)
</tex>
いまから行列 $\varepsilon$ の形と成分を、もう少し詳しく考...
まず $A=(E+\varepsilon)$ の逆行列ですが、これは $A^{-1}=(...
<tex>
AA^{-1}=(E+\varepsilon)(E-\varepsilon)=E+\varepsilon-\var...
</tex>
一方、 $A$ は回転を表す行列ですから、直交行列です。直交行...
<tex>
A^{t}=(E+\varepsilon)^{t}=E^{t}+\varepsilon^{t}=E+\vareps...
</tex>
よって、 $A^{t}=A^{-1}$ より、 $E-\varepsilon=E+\varepsil...
<tex>
\varepsilon = -\varepsilon^{t}
</tex>
これを行列 $\varepsilon$ の成分で直接考えれば、次のような...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\
\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
\varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
-\varepsilon_{11} & -\varepsilon_{21} & -\varepsilon_{31}...
-\varepsilon_{12} & -\varepsilon_{22} & -\varepsilon_{32}...
-\varepsilon_{13} & -\varepsilon_{23} & -\varepsilon_{33}...
\end{array}
\right)
</tex>
両辺の成分を一つ一つを見比べて、 $\varepsilon$ の形を次の...
<tex>
\varepsilon
=
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\
-\varepsilon_{12} & 0 & \varepsilon_{23} \\
-\varepsilon_{13} & -\varepsilon_{23} & 0 \\
\end{array}
\right)
\equiv
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -r & q \\
r & 0 & -p \\
-q & p & 0 \\
\end{array}
\right)
</tex>
このような形の行列を反対称行列と呼びます。( $p,q,r$ の並...
これは非常に感動的な結果です。一般に、3次元のベクトルに...
( 無限小回転2_ へつづく)
.. _行列式: http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/mathIn...
.. _ベクトル解析: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _回転行列:
.. _無限小回転2: http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/i...
.. _四元数: http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/mathIn...
@@author:Joh@@
@@accept:2005-05-23@@
@@category:力学@@
@@id:infinitesimalRot1@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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無限小回転1
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剛体の回転を勉強するとき、無限小回転という考え方が出てき...
有限回転
--------------------------------
まずは次の図を見てください。剛体に、右にグルリと90度倒す...
.. image:: Joh-Panda1.gif
このように、回転という操作は、一般的に順序を入れ替えると...
剛体の向きをベクトルで表すことにすると、ベクトルに回転行...
では、パンダの図で行った回転を、ベクトル $(a,b,c)$ と行列...
まずは、ベクトル $(a,b,c)$ を $y$ 軸回りに $90$ 度回転さ...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
a' \\
b' \\
c' \\
\end{array}
\right)
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
\cos 180^{o} & -\sin 180^{0} & 0 \\
\sin 180^{o} & \cos 180^{0} & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
\cos 90^{o} & 0 & \sin 90^{0} \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin 90^{o} & 0 & \cos 90^{0} \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
a \\
b \\
c \\
\end{array}
\right) \\
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
a \\
b \\
c \\
\end{array}
\right) \\
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
-c \\
-b \\
-a \\
\end{array}
\right) \tag{1}
</tex>
.. image:: Joh-FiniteRot1.gif
今度は先に $z$ 軸回りに $180$ 度回転させ、しかる後に $y$ ...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
a' \\
b' \\
c' \\
\end{array}
\right)
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
\cos 90^{o} & 0 & \sin 90^{0} \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin 90^{o} & 0 & \cos 90^{0} \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
\cos 180^{o} & -\sin 180^{0} & 0 \\
\sin 180^{o} & \cos 180^{0} & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
a \\
b \\
c \\
\end{array}
\right) \\
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
a \\
b \\
c \\
\end{array}
\right) \\
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
c \\
-b \\
a \\
\end{array}
\right) \tag{2}
</tex>
予想通り!回転の順番を変えただけで結果が違ってしまいまし...
.. [*] 回転操作の非可換性は、行列の積が非可換である(行列 ...
無限小回転
--------------------------------
それでは、回転の角度が非常に小さいの場合を考えてみましょ...
<tex>
A_{1}A_{2} = (E+\varepsilon_{1})(E+\varepsilon_{2})=E+\va...
</tex>
<tex>
A_{2}A_{1} = (E+\varepsilon_{2})(E+\varepsilon_{1})=E+\va...
</tex>
行列の積は非可換でしたが、行列の和は順番を変えても良かっ...
.. image:: Joh-Mt.Fuji.gif
.. [*] 行列を微小量 $\varepsilon$ で表しましたが、行列が...
もう一度、パンダを回してみましょう。先ほどと同じ向きに回...
.. image:: Joh-Panda3.gif
練習問題
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
次の行列 $A$ , $B$ に対し、 $\theta$ , $\phi$ が二次以上...
(ヒント)微小量 $\theta$ に対して $\sin \theta \simeq \the...
<tex>
A= \left(
\begin{array}{ccc}
\cos \theta & -\sin \theta & 0 \\
\sin \theta & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
</tex>
<tex>
B= \left(
\begin{array}{ccc}
\cos \phi & 0 & \sin \phi \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin \phi & 0 & \cos \phi\\
\end{array}
\right)
</tex>
無限小回転を表す行列
------------------------------------------------------
一般に、回転という操作の順番を変えるわけにはいきませんが...
.. image:: Joh-IR7.gif
微小な回転によってベクトル $\bm{r}$ が $\bm{r'}$ に移され...
ベクトル $\bm{r}$ を $\bm{r'}$ に移す変換を、行列 $A$ を...
<tex>
A=E+\varepsilon
</tex>
この段階では、行列 $\varepsilon$ がどのような形をしている...
<tex>
\varepsilon= \left(
\begin{array}{ccc}
\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\
\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
\varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \\
\end{array}
\right)
</tex>
いまから行列 $\varepsilon$ の形と成分を、もう少し詳しく考...
まず $A=(E+\varepsilon)$ の逆行列ですが、これは $A^{-1}=(...
<tex>
AA^{-1}=(E+\varepsilon)(E-\varepsilon)=E+\varepsilon-\var...
</tex>
一方、 $A$ は回転を表す行列ですから、直交行列です。直交行...
<tex>
A^{t}=(E+\varepsilon)^{t}=E^{t}+\varepsilon^{t}=E+\vareps...
</tex>
よって、 $A^{t}=A^{-1}$ より、 $E-\varepsilon=E+\varepsil...
<tex>
\varepsilon = -\varepsilon^{t}
</tex>
これを行列 $\varepsilon$ の成分で直接考えれば、次のような...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\
\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
\varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
-\varepsilon_{11} & -\varepsilon_{21} & -\varepsilon_{31}...
-\varepsilon_{12} & -\varepsilon_{22} & -\varepsilon_{32}...
-\varepsilon_{13} & -\varepsilon_{23} & -\varepsilon_{33}...
\end{array}
\right)
</tex>
両辺の成分を一つ一つを見比べて、 $\varepsilon$ の形を次の...
<tex>
\varepsilon
=
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\
-\varepsilon_{12} & 0 & \varepsilon_{23} \\
-\varepsilon_{13} & -\varepsilon_{23} & 0 \\
\end{array}
\right)
\equiv
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -r & q \\
r & 0 & -p \\
-q & p & 0 \\
\end{array}
\right)
</tex>
このような形の行列を反対称行列と呼びます。( $p,q,r$ の並...
これは非常に感動的な結果です。一般に、3次元のベクトルに...
( 無限小回転2_ へつづく)
.. _行列式: http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/mathIn...
.. _ベクトル解析: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _回転行列:
.. _無限小回転2: http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/i...
.. _四元数: http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/mathIn...
@@author:Joh@@
@@accept:2005-05-23@@
@@category:力学@@
@@id:infinitesimalRot1@@
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