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#rst2hooktail_source
=============================
包絡線
=============================
関数が何かパラメータを含んでいるとき、パラメータを変化さ...
.. image:: Joh-envelope2.gif
このときの包絡線は、図で赤く示した二本の曲線になります。...
陰関数の包絡線
----------------------------------------------------
陰関数というのは $f(x,y,c)=0$ のように左辺が関数、右辺が ...
陰関数 $f(x,y,c)=0$ の包絡線は、次の連立方程式を解いて $c...
<tex>
\frac{\partial f}{\partial c} =0 \tag{1}
</tex>
<tex>
f(x,y,c)=0 \tag{2}
</tex>
.. [*] 式(1)は曲線群 $f$ に接するということ、式(2)は曲線...
.. image:: Joh-envelope6.gif
例
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
長さ $l$ の線分が、 $x$ 軸と $y$ 軸に接しながら滑るように...
.. image:: Joh-envelope1.gif
線分が次々と滑って行くと、上左図のようになることが想像で...
<tex>
\frac{x}{L\cos \theta}+\frac{y}{L\sin \theta}=1 \tag{3}
</tex>
式(3)の両辺に $L\cos \theta \sin \theta$ を掛けて、次のよ...
<tex>
F(x,y,\theta)=x\sin \theta +y\cos \theta -L\sin \theta \c...
</tex>
これを $\theta$ で偏微分すると次のようになります。
<tex>
\frac{\partial F}{\partial \theta}=x\cos \theta -y\sin \t...
</tex>
式(4)と式(5)を連立して $\theta$ を消去します。
<tex>
{\rm (4)}\times \cos \theta - {\rm(5)} \times \sin \theta...
</tex>
<tex>
{\rm (4)}\times \sin \theta + {\rm(5)} \times \cos \theta...
</tex>
式(6)(7)より、 $x$ , $y$ が次のように求められました。
<tex>
x=L\cos^3 \theta
</tex>
<tex>
y=L\sin^3 \theta
</tex>
この $x$ , $y$ に対して、 $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta ...
<tex>
x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=L^{\frac{2}{3}} \tag{8}
</tex>
これは星芒形(アステロイドとも呼ぶ)と呼ばれる次のような図...
.. image:: Joh-envelope4.gif
関数がパラメータ表示になっている場合の包絡線
----------------------------------------------------
関数が $y=y(t,c)$ , $x=x(t,c)$ のようにパラメータ表示され...
<tex>
\frac{\partial y}{\partial t}\frac{\partial x}{\partial c...
</tex>
.. [*] 曲線 $y=y(t,c)$ , $x=x(t,c)$ とその包絡線を考えま...
例
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
次のようなパラメータ表示の関数を考えてみます。
<tex>
x=c\cos \theta \tag{9}
</tex>
<tex>
y=(1-c)\sin \theta \tag{10}
</tex>
これは楕円のパラメータ表示です。長軸と短軸の関係に注意す...
.. image:: Joh-envelope31.gif
では実際に包絡線の方程式を求めてみましょう。さきほどの公...
<tex>
\frac{\partial y}{\partial \theta}\frac{\partial x}{\part...
-\frac{\partial y}{\partial c}\frac{\partial x}{\partial ...
&=(1-c)\cos \theta \cos \theta -c\sin \theta \sin \theta \\
&=\cos^2 \theta -c \\
&=0 \tag{11}
</tex>
これより $c=\cos^2 \theta$ が求まりますので、これを式 $(9...
<tex>
x=\cos^3 \theta \tag{12}
</tex>
<tex>
y=\sin^3 \theta \tag{13}
</tex>
これが求める包絡線のパラメータ表示です。このままパラメー...
<tex>
x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1
</tex>
おや、これは先ほど陰関数の包絡線の例題で求めた、線分が動...
このように、一見、全く異なる関数の包絡線が同じになるとい...
補足
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
星芒形という図形が出てきましたが、これを円に内接するよう...
内サイクロイドが描かれる様子は、次のJava-appletで見ること...
.. raw:: html
<applet archive="HypoCycloid.jar" code="jp/maxwell/appl...
<param name="r" value="0.3">
</applet>
サイクロイドは最初、変分法で有名なヨハン・ベルヌーイ、ロ...
ヨハン・ベルヌーイ等の研究したような古典的な問題では、な...
次のようなホームページでは、包絡線の描かれる様子をJavaApl...
外国語で何と言うか
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
英語では包絡線を $envelope$ と言います。日常会話で $envel...
.. _サイクロイド: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys...
.. _最速降下曲線: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys...
.. _数学のいずみ: http://www.nikonet.or.jp/spring/Envelop...
.. _Eichan: http://www.shirakami.or.jp/~eichan/java/java5...
@@author: Joh@@
@@accept: 2005-04-26@@
@@category: 物理数学@@
@@id:envelope@@
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包絡線
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関数が何かパラメータを含んでいるとき、パラメータを変化さ...
.. image:: Joh-envelope2.gif
このときの包絡線は、図で赤く示した二本の曲線になります。...
陰関数の包絡線
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陰関数というのは $f(x,y,c)=0$ のように左辺が関数、右辺が ...
陰関数 $f(x,y,c)=0$ の包絡線は、次の連立方程式を解いて $c...
<tex>
\frac{\partial f}{\partial c} =0 \tag{1}
</tex>
<tex>
f(x,y,c)=0 \tag{2}
</tex>
.. [*] 式(1)は曲線群 $f$ に接するということ、式(2)は曲線...
.. image:: Joh-envelope6.gif
例
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
長さ $l$ の線分が、 $x$ 軸と $y$ 軸に接しながら滑るように...
.. image:: Joh-envelope1.gif
線分が次々と滑って行くと、上左図のようになることが想像で...
<tex>
\frac{x}{L\cos \theta}+\frac{y}{L\sin \theta}=1 \tag{3}
</tex>
式(3)の両辺に $L\cos \theta \sin \theta$ を掛けて、次のよ...
<tex>
F(x,y,\theta)=x\sin \theta +y\cos \theta -L\sin \theta \c...
</tex>
これを $\theta$ で偏微分すると次のようになります。
<tex>
\frac{\partial F}{\partial \theta}=x\cos \theta -y\sin \t...
</tex>
式(4)と式(5)を連立して $\theta$ を消去します。
<tex>
{\rm (4)}\times \cos \theta - {\rm(5)} \times \sin \theta...
</tex>
<tex>
{\rm (4)}\times \sin \theta + {\rm(5)} \times \cos \theta...
</tex>
式(6)(7)より、 $x$ , $y$ が次のように求められました。
<tex>
x=L\cos^3 \theta
</tex>
<tex>
y=L\sin^3 \theta
</tex>
この $x$ , $y$ に対して、 $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta ...
<tex>
x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=L^{\frac{2}{3}} \tag{8}
</tex>
これは星芒形(アステロイドとも呼ぶ)と呼ばれる次のような図...
.. image:: Joh-envelope4.gif
関数がパラメータ表示になっている場合の包絡線
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関数が $y=y(t,c)$ , $x=x(t,c)$ のようにパラメータ表示され...
<tex>
\frac{\partial y}{\partial t}\frac{\partial x}{\partial c...
</tex>
.. [*] 曲線 $y=y(t,c)$ , $x=x(t,c)$ とその包絡線を考えま...
例
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次のようなパラメータ表示の関数を考えてみます。
<tex>
x=c\cos \theta \tag{9}
</tex>
<tex>
y=(1-c)\sin \theta \tag{10}
</tex>
これは楕円のパラメータ表示です。長軸と短軸の関係に注意す...
.. image:: Joh-envelope31.gif
では実際に包絡線の方程式を求めてみましょう。さきほどの公...
<tex>
\frac{\partial y}{\partial \theta}\frac{\partial x}{\part...
-\frac{\partial y}{\partial c}\frac{\partial x}{\partial ...
&=(1-c)\cos \theta \cos \theta -c\sin \theta \sin \theta \\
&=\cos^2 \theta -c \\
&=0 \tag{11}
</tex>
これより $c=\cos^2 \theta$ が求まりますので、これを式 $(9...
<tex>
x=\cos^3 \theta \tag{12}
</tex>
<tex>
y=\sin^3 \theta \tag{13}
</tex>
これが求める包絡線のパラメータ表示です。このままパラメー...
<tex>
x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1
</tex>
おや、これは先ほど陰関数の包絡線の例題で求めた、線分が動...
このように、一見、全く異なる関数の包絡線が同じになるとい...
補足
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
星芒形という図形が出てきましたが、これを円に内接するよう...
内サイクロイドが描かれる様子は、次のJava-appletで見ること...
.. raw:: html
<applet archive="HypoCycloid.jar" code="jp/maxwell/appl...
<param name="r" value="0.3">
</applet>
サイクロイドは最初、変分法で有名なヨハン・ベルヌーイ、ロ...
ヨハン・ベルヌーイ等の研究したような古典的な問題では、な...
次のようなホームページでは、包絡線の描かれる様子をJavaApl...
外国語で何と言うか
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
英語では包絡線を $envelope$ と言います。日常会話で $envel...
.. _サイクロイド: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys...
.. _最速降下曲線: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys...
.. _数学のいずみ: http://www.nikonet.or.jp/spring/Envelop...
.. _Eichan: http://www.shirakami.or.jp/~eichan/java/java5...
@@author: Joh@@
@@accept: 2005-04-26@@
@@category: 物理数学@@
@@id:envelope@@
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