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====================
変分原理
====================
変分原理とは
==================
解析力学の魅力のひとつに,力学を理論的に考察するのに都合...
があげられます.そのときに,強力な武器となるもののひとつ...
変分原理とはどのようなものなのかを紹介しましょう.
まず, `ラグランジュの運動方程式を確認しよう!`_ では,自...
.. _`ラグランジュの運動方程式を確認しよう!`: http://www1...
1.作用と呼ばれる量 $I$ をラグランジアンを用いて次のよう...
<tex>
I = \int_{t_1}^{t_2} L(q(t),\dot{q}(t)) \mathrm{d} t
</tex>
2.質点系の運動の軌跡を少しずらしたときに生じる $I$ の微...
ここで,軌跡の微小変化 $\delta q_k$ の2次以降の項を無視し...
<tex>
\delta I = \int_{t_1}^{t_2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\par...
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial ...
</tex>
3.これで,ラグランジュの運動方程式が任意の一般座標につい...
<tex>
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial ...
</tex>
この導出過程を見ると,ラグランジュの運動方程式と $\delta ...
どちらも同じ運動を表現する別の表現に過ぎないので,どちら...
そこで,変分原理とは何者なのかという問いに次のように答え...
.. important::
作用 $I$ が停留点を取るとき,その運動が実現するという...
立場にたったとき,基本法則となるのが変分原理 $\delta I...
変分原理を認めてしまえば,そこからさまざまな力学の法則を...
力(主に非保存力)が働いているときのラグランジュの運動方程...
.. [*]
変分原理には,ほかにもいくつか呼び方があり,ハミル...
非保存力がある場合のラグランジュの運動方程式
==================================================
問題の設定はほとんど `ラグランジュの運動方程式を確認しよ...
.. _`ラグランジュの運動方程式を確認しよう!`: http://www1...
非保存力がする仕事を $W$ と表現しておきましょう. $Q_k$ ...
このとき,一般化力の定義より $W$ の変分 $\delta W$ は,一...
<tex>
\delta W = \sum_{k=1}^{n}Q_k \delta q_k \tag{##}
</tex>
ここで,作用 $I$ を次式で定義します.
<tex>
I = \int_{t_1}^{t_2} \left(L(q(t),\dot{q}(t))+W \right) \...
</tex>
運動の出発点と終着点を固定して,実際の運動から経路を $\de...
ただし,出発点と終着点は固定しているので, $k=1,2,\cdots,...
<tex>
\delta q_k(t_1) = \delta q_k(t_2) =0 \tag{##}
</tex>
これも前と同じですね.
この条件で第1変分 $\delta I$ を計算してみましょう.といっ...
まったく同じですし, $\delta W$ は式(1)で表せるので,直ち...
<tex>
\delta I = \int_{t_1}^{t_2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\par...
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial ...
</tex>
あとは, $\delta I = 0$ とおけば,運動方程式が $k=1,2,\cd...
<tex>
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial ...
\frac{\partial L}{\partial q_k}=Q_k \tag{##}
</tex>
と導かれます.
非保存力がないときは,右辺が $0$ でしたが,非保存力がある...
良いんですね.
.. [*]
変分原理は解析力学にとどまらず,電磁気学,相対論,...
@@author:佑弥@@
@@category:解析力学@@
@@accept:2007-03-25@@
@@id:VariationalPrinciple@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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変分原理
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変分原理とは
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解析力学の魅力のひとつに,力学を理論的に考察するのに都合...
があげられます.そのときに,強力な武器となるもののひとつ...
変分原理とはどのようなものなのかを紹介しましょう.
まず, `ラグランジュの運動方程式を確認しよう!`_ では,自...
.. _`ラグランジュの運動方程式を確認しよう!`: http://www1...
1.作用と呼ばれる量 $I$ をラグランジアンを用いて次のよう...
<tex>
I = \int_{t_1}^{t_2} L(q(t),\dot{q}(t)) \mathrm{d} t
</tex>
2.質点系の運動の軌跡を少しずらしたときに生じる $I$ の微...
ここで,軌跡の微小変化 $\delta q_k$ の2次以降の項を無視し...
<tex>
\delta I = \int_{t_1}^{t_2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\par...
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial ...
</tex>
3.これで,ラグランジュの運動方程式が任意の一般座標につい...
<tex>
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial ...
</tex>
この導出過程を見ると,ラグランジュの運動方程式と $\delta ...
どちらも同じ運動を表現する別の表現に過ぎないので,どちら...
そこで,変分原理とは何者なのかという問いに次のように答え...
.. important::
作用 $I$ が停留点を取るとき,その運動が実現するという...
立場にたったとき,基本法則となるのが変分原理 $\delta I...
変分原理を認めてしまえば,そこからさまざまな力学の法則を...
力(主に非保存力)が働いているときのラグランジュの運動方程...
.. [*]
変分原理には,ほかにもいくつか呼び方があり,ハミル...
非保存力がある場合のラグランジュの運動方程式
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問題の設定はほとんど `ラグランジュの運動方程式を確認しよ...
.. _`ラグランジュの運動方程式を確認しよう!`: http://www1...
非保存力がする仕事を $W$ と表現しておきましょう. $Q_k$ ...
このとき,一般化力の定義より $W$ の変分 $\delta W$ は,一...
<tex>
\delta W = \sum_{k=1}^{n}Q_k \delta q_k \tag{##}
</tex>
ここで,作用 $I$ を次式で定義します.
<tex>
I = \int_{t_1}^{t_2} \left(L(q(t),\dot{q}(t))+W \right) \...
</tex>
運動の出発点と終着点を固定して,実際の運動から経路を $\de...
ただし,出発点と終着点は固定しているので, $k=1,2,\cdots,...
<tex>
\delta q_k(t_1) = \delta q_k(t_2) =0 \tag{##}
</tex>
これも前と同じですね.
この条件で第1変分 $\delta I$ を計算してみましょう.といっ...
まったく同じですし, $\delta W$ は式(1)で表せるので,直ち...
<tex>
\delta I = \int_{t_1}^{t_2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\par...
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial ...
</tex>
あとは, $\delta I = 0$ とおけば,運動方程式が $k=1,2,\cd...
<tex>
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial ...
\frac{\partial L}{\partial q_k}=Q_k \tag{##}
</tex>
と導かれます.
非保存力がないときは,右辺が $0$ でしたが,非保存力がある...
良いんですね.
.. [*]
変分原理は解析力学にとどまらず,電磁気学,相対論,...
@@author:佑弥@@
@@category:解析力学@@
@@accept:2007-03-25@@
@@id:VariationalPrinciple@@
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