記事ソース/分数で表現した中国の剰余定理
をテンプレートにして作成
査読
rst2hooktail
進行表
執筆中
かぎマニュ
物理のかぎプロジェクト
トップ
最近の更新
ヘルプ
開始行:
#rst2hooktail_source
==================================
分数で表現した中国の剰余定理
==================================
整数論の分野では当然のことのように分数は使われていません...
あります.その例として,中国の剰余定理の内容と証明を分数...
多項式の剰余の代わりに有理式を用いる説明を付記します.
中国の剰余定理とは
==================================
簡単のため 整数 $a$ を正の整数 $n$ で割った剰余 $a \bmod ...
表わします. $|a|_{3} = b, ~~ |a|_{5} = c$ である $|a|_{1...
<tex>
|a|_{15} = | 10 b + 6 c |_{15}
</tex>
で求められます.この 10 と 6 を詳しく書くと, $10 = 5 \ti...
です.ここで $|5|_{3}^{-1}$ は $|5 x|_{3} = 1$ となる $x$...
$|a|_{3} = b$, $|a|_{5} = c$, $|a|_{7} = d$ である $|a|_{...
<tex>
|a|_{105} = | 70 b + 21 c + 15 d|_{105}
</tex>
<tex>
70 = 5 \times 7 \times |35|_{3}^{-1} \\
21 = 3 \times 7 \times |21|_{5}^{-1} \\
15 = 3 \times 5 \times |15|_{7}^{-1}
</tex>
です(ガウスの方法). $m$, $n$ が互いに素であれば
<tex>
m x + n y = 1
</tex>
となる整数 $x$, $y$ が存在するという有名な性質を使って,...
分数による表現
==================================
以下では,有理数 $r$ の整数部を $\Gamma r$, 小数部 $\Delt...
表わします.例えば
<tex>
\Gamma \left(-\frac{8}{3} \right) = -3, ~~~~ \Delta \left...
</tex>
です. $5 x + 3 y = 1$ は
<tex>
\frac{x}{3} + \frac{y}{5} = \frac{1}{15}
</tex>
と書き換えることができるので,
<tex>
\Delta \left( \frac{x'}{3} + \frac{y'}{5} \right) = \frac...
\frac{x'}{3} = \Delta \frac{x}{3}, ~~~~ \frac{y'}{5} = \D...
</tex>
<tex>
\Delta \left( \frac{5 x'}{3} + y' \right) = \Delta \frac{...
</tex>
から, $x' = 2$ であることが分かります.同様に $y' = 2$ ...
<tex>
\Delta \left( \frac{2 a}{3} + \frac{2 a}{5} \right)
= \Delta \left( \Delta \frac{2 a}{3} + \Delta \frac{2 a}{...
= \Delta \frac{a}{15}
</tex>
が得られます.
<tex>
\Delta \frac{2 a}{3} = \Delta \left(2 \Gamma \frac{a}{3} ...
= \Delta \left( 2 \Delta \frac{a}{3} \right)
</tex>
ですから,上記の式を
<tex>
\Delta \left(2 \Delta \frac{a}{3} + 2 \Delta \frac{a}{5} ...
</tex>
と書き換えることができます.これが分数で表現した中国の剰...
先に示した $|a|_{15} = | 10 b + 6 c |_{15}$ に $b = 3 \De...
<tex>
15 \Delta \frac{a}{15} = 15 \Delta \frac{10 \cdot 3 \Delt...
= 15 \Delta \left( 2 \Delta \frac{a}{3} + 2 \Delta \frac{...
</tex>
となり,上式と等価であることを確認できます. $|a|_{105} =...
<tex>
\frac{x}{3} + \frac{y}{5} = \frac{1}{15}, ~~~~ \frac{w}{1...
</tex>
から
<tex>
\Delta \left( \frac{x'}{3} + \frac{y'}{5} + \frac{z'}{7} ...
</tex>
<tex>
\Delta \left( \frac{35 x'}{3} + 7 y' + 5 z' \right)
= \Delta \frac{2 x'}{3} = \frac{1}{3} = \frac{35}{105},~ ...
</tex>
となる $x'$, $y'$, $z'$ を 2, 1, 1 として
<tex>
\Delta \left( \frac{2}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} \ri...
</tex>
<tex>
\Delta \left(2 \Delta \frac{a}{3} + \Delta \frac{a}{5} + ...
</tex>
が得られます.実質的にはガウスの方法そのものですが,こち...
補遺
==================================
多項式 $P(x)$ を多項式 $G(x)$ で割ったときの商を $Q(x)$, ...
<tex>
\Gamma \frac{P(x)}{G(x)} = Q(x), ~~~ \Delta \frac{P(x)}{G...
</tex>
によって $\Gamma (P(x)/G(x))$, $\Delta (P(x)/G(x))$ の意...
有理式を用いて説明できます.例えば,ユークリッドの互除法...
<tex>
\Delta \frac{56}{21} = \frac{14}{21}, ~~~ \Delta \frac{21...
</tex>
と同様に,
<tex>
\Delta \frac{x^2 + 2 x + 3}{x^2 - 1} = \frac{2 x -4}{x^2 ...
\Delta \frac{x^2 - 1}{x - 2} = \frac{3}{x - 2}, ~~~ \Delt...
</tex>
で計算過程を明示できます(この例では最後の分母が定数なの...
あとがき
==================================
$a \bmod 3$ の代わりに $\Delta (a / 3)$ を用いると,本文...
のような計算を分かり易く表現できます.分数を用いた表現の...
対する剰余を考えるときは分数による表現が有効であると思い...
レポート等には使わないでください.
@@reference: ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%9B%BD%E3%...
@@reference: ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%...
@@reference: www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/gauss/gauss....
@@reference: oshiete.goo.ne.jp/qa/2740868.html,中国式剰余...
@@reference: okwave.jp/qa/q1789394.html,中国の剰余定理 | ...
@@author: pulsar@@
@@accept: @@
@@category: 初等代数@@
終了行:
#rst2hooktail_source
==================================
分数で表現した中国の剰余定理
==================================
整数論の分野では当然のことのように分数は使われていません...
あります.その例として,中国の剰余定理の内容と証明を分数...
多項式の剰余の代わりに有理式を用いる説明を付記します.
中国の剰余定理とは
==================================
簡単のため 整数 $a$ を正の整数 $n$ で割った剰余 $a \bmod ...
表わします. $|a|_{3} = b, ~~ |a|_{5} = c$ である $|a|_{1...
<tex>
|a|_{15} = | 10 b + 6 c |_{15}
</tex>
で求められます.この 10 と 6 を詳しく書くと, $10 = 5 \ti...
です.ここで $|5|_{3}^{-1}$ は $|5 x|_{3} = 1$ となる $x$...
$|a|_{3} = b$, $|a|_{5} = c$, $|a|_{7} = d$ である $|a|_{...
<tex>
|a|_{105} = | 70 b + 21 c + 15 d|_{105}
</tex>
<tex>
70 = 5 \times 7 \times |35|_{3}^{-1} \\
21 = 3 \times 7 \times |21|_{5}^{-1} \\
15 = 3 \times 5 \times |15|_{7}^{-1}
</tex>
です(ガウスの方法). $m$, $n$ が互いに素であれば
<tex>
m x + n y = 1
</tex>
となる整数 $x$, $y$ が存在するという有名な性質を使って,...
分数による表現
==================================
以下では,有理数 $r$ の整数部を $\Gamma r$, 小数部 $\Delt...
表わします.例えば
<tex>
\Gamma \left(-\frac{8}{3} \right) = -3, ~~~~ \Delta \left...
</tex>
です. $5 x + 3 y = 1$ は
<tex>
\frac{x}{3} + \frac{y}{5} = \frac{1}{15}
</tex>
と書き換えることができるので,
<tex>
\Delta \left( \frac{x'}{3} + \frac{y'}{5} \right) = \frac...
\frac{x'}{3} = \Delta \frac{x}{3}, ~~~~ \frac{y'}{5} = \D...
</tex>
<tex>
\Delta \left( \frac{5 x'}{3} + y' \right) = \Delta \frac{...
</tex>
から, $x' = 2$ であることが分かります.同様に $y' = 2$ ...
<tex>
\Delta \left( \frac{2 a}{3} + \frac{2 a}{5} \right)
= \Delta \left( \Delta \frac{2 a}{3} + \Delta \frac{2 a}{...
= \Delta \frac{a}{15}
</tex>
が得られます.
<tex>
\Delta \frac{2 a}{3} = \Delta \left(2 \Gamma \frac{a}{3} ...
= \Delta \left( 2 \Delta \frac{a}{3} \right)
</tex>
ですから,上記の式を
<tex>
\Delta \left(2 \Delta \frac{a}{3} + 2 \Delta \frac{a}{5} ...
</tex>
と書き換えることができます.これが分数で表現した中国の剰...
先に示した $|a|_{15} = | 10 b + 6 c |_{15}$ に $b = 3 \De...
<tex>
15 \Delta \frac{a}{15} = 15 \Delta \frac{10 \cdot 3 \Delt...
= 15 \Delta \left( 2 \Delta \frac{a}{3} + 2 \Delta \frac{...
</tex>
となり,上式と等価であることを確認できます. $|a|_{105} =...
<tex>
\frac{x}{3} + \frac{y}{5} = \frac{1}{15}, ~~~~ \frac{w}{1...
</tex>
から
<tex>
\Delta \left( \frac{x'}{3} + \frac{y'}{5} + \frac{z'}{7} ...
</tex>
<tex>
\Delta \left( \frac{35 x'}{3} + 7 y' + 5 z' \right)
= \Delta \frac{2 x'}{3} = \frac{1}{3} = \frac{35}{105},~ ...
</tex>
となる $x'$, $y'$, $z'$ を 2, 1, 1 として
<tex>
\Delta \left( \frac{2}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} \ri...
</tex>
<tex>
\Delta \left(2 \Delta \frac{a}{3} + \Delta \frac{a}{5} + ...
</tex>
が得られます.実質的にはガウスの方法そのものですが,こち...
補遺
==================================
多項式 $P(x)$ を多項式 $G(x)$ で割ったときの商を $Q(x)$, ...
<tex>
\Gamma \frac{P(x)}{G(x)} = Q(x), ~~~ \Delta \frac{P(x)}{G...
</tex>
によって $\Gamma (P(x)/G(x))$, $\Delta (P(x)/G(x))$ の意...
有理式を用いて説明できます.例えば,ユークリッドの互除法...
<tex>
\Delta \frac{56}{21} = \frac{14}{21}, ~~~ \Delta \frac{21...
</tex>
と同様に,
<tex>
\Delta \frac{x^2 + 2 x + 3}{x^2 - 1} = \frac{2 x -4}{x^2 ...
\Delta \frac{x^2 - 1}{x - 2} = \frac{3}{x - 2}, ~~~ \Delt...
</tex>
で計算過程を明示できます(この例では最後の分母が定数なの...
あとがき
==================================
$a \bmod 3$ の代わりに $\Delta (a / 3)$ を用いると,本文...
のような計算を分かり易く表現できます.分数を用いた表現の...
対する剰余を考えるときは分数による表現が有効であると思い...
レポート等には使わないでください.
@@reference: ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%9B%BD%E3%...
@@reference: ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%...
@@reference: www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/gauss/gauss....
@@reference: oshiete.goo.ne.jp/qa/2740868.html,中国式剰余...
@@reference: okwave.jp/qa/q1789394.html,中国の剰余定理 | ...
@@author: pulsar@@
@@accept: @@
@@category: 初等代数@@
ページ名:
Modified by
物理のかぎプロジェクト
PukiWiki 1.4.6
Copyright © 2001-2005
PukiWiki Developers Team
. License is
GPL
.
Based on "PukiWiki" 1.3 by
yu-ji
Powered by PHP 5.3.29 HTML convert time to 0.003 sec.