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複雑な回転を基本的な回転で表す方法
=========================================================...
この記事では、座標系の回転に関する重要な定理を証明します。
今回の話から分かる事
==========================
ここに $xyz$ デカルト直交座標系(カーテシアン座標系とも言...
と回転軸 $\bm{n}_2$ が有ったとします。それを別のある軸 $\...
の周りに回転対象の点と座標軸を共に $\alpha$ ラジアンだけ...
と書く事にします。)して、 $x^\prime y^\prime z^\prime$ ...
、 $\bm{n}_2$ が $\bm{n}_2^\prime$ に移ったとします。
これと $\beta$ ラジアンの回転をする時、 $\bm{n}_2$ 周りの...
と、 $\bm{n}_2^\prime$ 周りの回転 $R(\bm{n}_2^\prime,\bet...
そこに単純なある関係があると言うものです。J.J.Sakuraiの『...
この特別な場合が載っていますが、今回私はこの結果を拡張し...
この記事でこれから扱うのは、座標系の中の点の「能動的回転...
ベクトル $\bm{r}$ に回転 $R(\bm{n}_1,\alpha)$ を作用させ...
.. [*] : この回転は複素数平面での積をイメージして頂くのが...
その定理とは、
<tex>
R(\bm{n}_2^\prime,\beta) = R(\bm{n}_1,\alpha)R(\bm{n}_2,\...
</tex>
若しくは、
<tex>
R( \{R(\bm{n}_1,\alpha)\bm{n}_2\} ,\beta) = R(\bm{n}_1,\a...
</tex>
と言うものです。これが分かると、例えば以下の様なオイラー...
つまり、 $R(\bm{e}_z , \alpha)$ を行って $x^\prime y^\pri...
次に $R(\bm{e}_{y^\prime} , \beta)$ を行って $x^{\prime\p...
最後に $R(\bm{e}_{y^{\prime\prime}} , \gamma)$ だけ回転し...
その時、回転は一番右から順に作用させるとすると、
<tex>
R(\bm{e}_{z^{\prime\prime}},\gamma)R(\bm{e}_{y^{\prime}},...
</tex>
となりますが、回転後の軸周りの回転は煩わしいです。
そんな時、この定理が使えて、
<tex>
R(\bm{e}_{z},\alpha) &= A_z \\
R(\bm{e}_{y^{\prime}},\beta) &= B_{y^\prime} = A_z B_y A_...
R(\bm{e}_{z^{\prime\prime}},\gamma) &= \Gamma_{z^{\prime\...
&= B_{y^\prime} \Gamma_{z^\prime} B_{y^\prime}^{-1} \\
&= (A_z B_y A_z^{-1})(A_z \Gamma_z A_z^{-1})(A_z B_y A_z^...
&= A_z B_y \Gamma_z B_y^{-1} A_z^{-1} \tag{##}
</tex>
であります。
ここで $R$ の逆回転を $R^{-1}$ としました。
連続回転 $R_2 R_1$ の逆は $(R_2 R_1)^{-1} = R_1^{-1} R_2^...
二つ目の回転を行った時、元に戻すには、二つ目の回転を逆に...
よって、 $R_{total}$ は
<tex>
R_{total} &= \Gamma_{z^{\prime\prime}}B_{y^\prime}A_z \\
&= (A_z B_y \Gamma_z B_y^{-1} A_z^{-1}) (A_z B_y A_z^{-1}...
&= A_z B_y \Gamma_z \tag{##}
</tex>
という結果が得られます。ここで、 $A_z,B_y,\Gamma_z$ なら...
<tex>
A_z &= \begin{pmatrix}
\cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\
\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\
B_y &= \begin{pmatrix}
\cos \beta & 0 & \sin \beta \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin \beta & 0 & \cos \alpha
\end{pmatrix} \\
\Gamma_z &= \begin{pmatrix}
\cos \gamma & -\sin \gamma & 0 \\
\sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
となります。今回の話のご利益はこんな感じです。では、式 $(...
予備知識
==============================
以降の話を読むにあたって、予備知識として拙記事 続ベクトル...
では、話を進めます。
式(1)の証明
================================
最初に回転軸 $\bm{n}_2$ と $\bm{n}_2^\prime$ とは次の関係...
.. [*] : 回転の略記のRですが、ここまでの純粋に回転を表す...
<tex>
\bm{n}_2^\prime = R(\bm{n}_1,\alpha) \bm{n}_2 \tag{##}
</tex>
肝心の任意の回転軸周りの回転行列は、例えば
<tex>
R(\bm{n}_2,\beta) = \bm{n}_2 \bm{n}_2 + \cos \beta (I - \...
</tex>
等となります。ここで $\bm{n}_2 \bm{n}_2$ はダイアドであり...
式 $(7)$ を使えば、 $R(\bm{n}_2^\prime,\beta)$ は変形でき...
<tex>
R(\bm{n}_2^\prime,\beta) &= \bm{n}_2^\prime \bm{n}_2^\pri...
&= R(\bm{n}_1 ,\alpha )\bm{n}_2 \bm{n}_2 R^T(\bm{n}_1 ,\a...
&= R(\bm{n}_1 ,\alpha )\bm{n}_2 \bm{n}_2 R(\bm{n}_1 ,-\al...
\tag{##}
</tex>
となります。ここで、
<tex>
N_2^\prime = R(\bm{n}_1 ,\alpha ) N_2 R(\bm{n}_1 ,-\alpha...
</tex>
が示せれば、無事に
<tex>
R(\bm{n}_2^\prime,\beta)
&= R(\bm{n}_1 ,\alpha )\bm{n}_2 \bm{n}_2 R(\bm{n}_1 ,-\al...
&= R(\bm{n}_1 ,\alpha )\bm{n}_2 \bm{n}_2 R(\bm{n}_1 ,-\al...
&= R(\bm{n}_1 ,\alpha ) (\bm{n}_2 \bm{n}_2 + \cos \beta (...
</tex>
となります。よって、式 $(10)$ を示せば証明完了です。今回...
それは、次の必要条件を導いた計算です。式 $(10)$ を辺々二...
すると、 $\bm{n}_2 \bm{n}_2 = I + N_2^2$ より、
<tex>
R(\bm{n}_1 ,\alpha ) N_2 R(\bm{n}_1 ,-\alpha )R(\bm{n}_1 ...
&= R(\bm{n}_1 ,\alpha ) N_2^2 R(\bm{n}_1 ,-\alpha ) \\
&= R(\bm{n}_1 ,\alpha ) (\bm{n}_2 \bm{n}_2 - I) R(\bm{n}_...
&= (\bm{n}_2^\prime \bm{n}_2^\prime - I) \\
&= N_2^{\prime 2}
\tag{##}
</tex>
となり、矛盾しないからです。もちろん、 $x^2 = 1$ から $x=...
式(10)の証明
============================
さて、 $N_2^\prime$ は $\bm{n}_2^\prime$ の成分を並べ替え...
よって、まずは $\bm{n}_2^\prime$ を求めましょう。式 $(8)$...
<tex>
R(\bm{n}_1,\alpha) \bm{n}_2^\prime
&= (\bm{n}_1 \bm{n}_1 + \cos \alpha (I - \bm{n}_1 \bm{n}_...
&= (\cos \alpha I + (1 - \cos \alpha) \bm{n}_1 \bm{n}_1) ...
&= \cos \alpha \bm{n}_2 + (1 - \cos \alpha) (\bm{n}_1 \cd...
</tex>
よって、この要素を並べ替えて出来る $N_2^\prime$ は
<tex>
K = \begin{pmatrix}
0 & \ell_2 m_1 - \ell_1 m_2 & \ell_2 n_1 - \ell_1 n_2 \\
- \ell_2 m_1 + \ell_1 m_2 & 0 & m_2 n_1 - m_1 n_2 \\
-\ell_2 n_1 + \ell_1 n_2 & -m_2 n_1 + m_1 n_2 & 0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
と言う行列 $K$ を使って、
<tex>
N_2^\prime = \cos \alpha N_2 + (1- \cos \alpha)(\bm{n}_1 ...
</tex>
となります。ちなみに、
<tex>
N_1 N_2 -N_2 N_1 = K \tag{##}
</tex>
となっています。よって、我々は
<tex>
R(\bm{n}_1,\alpha)
&= \bm{n}_1 \bm{n}_1 + \cos \alpha (I-\bm{n}_1 \bm{n}_1) ...
&= I + N_1^2 - \cos \alpha N_1^2 + \sin \alpha N_1 \\
&= I + \sin \alpha N_1 + (1-\cos \alpha) N_1^2 \tag{##}
</tex>
より、
<tex>
N_2^\prime
&= (I + \sin \alpha N_1 + (1-\cos \alpha) N_1^2) N_2 (I -...
&= \cos \alpha N_2 + (1- \cos \alpha)(\bm{n}_1 \cdot \bm{...
</tex>
を示せばよいです。式(18)の中辺の計算を $R$ と置きます。
すると、
<tex>
R
&= (I + \sin \alpha N_1 + (1-\cos \alpha) N_1^2) N_2 (I -...
&= N_2 + \sin \alpha (N_1 N_2 -N_2 N_1) + (1- \cos \alpha...
&- \sin^2 \alpha N_1 N_2 N_1 + \sin \alpha (1 - \cos \alp...
</tex>
ここで、
<tex>
N_1 N_2 -N_2 N_1 = K \tag{##}
</tex>
更に、
<tex>
N_1 K -K N_1 = L \tag{##}
</tex>
とすると、計算の後に
<tex>
L = (\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2) N_1- N_2 \tag{##}
</tex>
が分かります。また、
<tex>
N_2 N_1 = \bm{n}_1 \bm{n}_2 - (\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2)I ...
</tex>
となります。ここから、
<tex>
N_1 N_2 N_1
&= N_1 \bm{n}_1 \bm{n}_2 - (\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2)N_1 \\
&= (\bm{n}_1 \times \bm{n}_1) \bm{n}_2 - (\bm{n}_1 \cdot ...
&= - (\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2)N_1 \tag{##}
</tex>
であります。
<tex>
N_1^3 = -N_1 \tag{##}
</tex>
も言えます。
さて、これらを用いて式 $(19)$ を変形していきます。
<tex>
R
&= N_2 + \sin \alpha K + (1- \cos \alpha)(2 N_1 N_2 N_1+ ...
&+ \sin \alpha (1 - \cos \alpha) (N_1 (\bm{n}_1 \cdot \bm...
&= N_2 + \sin \alpha K - 2(1- \cos \alpha)(\bm{n}_1 \cdot...
&+ \sin^2 \alpha (\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2)N_1 - (1 - \cos...
&= N_2 + \sin \alpha K +(- 2+ 2 \cos \alpha + \sin^2 \alp...
&= N_2 + \sin \alpha K + (1- \cos \alpha)L -(1- \cos \alp...
&= N_2 + \sin \alpha K + (1- \cos \alpha)L \\
&= N_2 + \sin \alpha K + (1- \cos \alpha)((\bm{n}_1 \cdot...
&= (1-(1-\cos \alpha))N_2 + (1- \cos \alpha)(\bm{n}_1 \c...
&= \cos \alpha N_2 + (1- \cos \alpha)(\bm{n}_1 \cdot \bm...
\tag{##}
</tex>
よって、無事に式 $(18)$ を示せました。
お疲れ様でした。それでは、今日はこの辺で。
.. _続ベクトルの回転: http://hooktail.sub.jp/vectoranalys...
.. _続々ベクトルの回転: http://hooktail.sub.jp/vectoranal...
@@author:クロメル@@
@@accept:2017-09-07@@
@@category:ベクトル解析@@
@@id:rotOfNewAxisAndOldAxis@@
終了行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
複雑な回転を基本的な回転で表す方法
=========================================================...
この記事では、座標系の回転に関する重要な定理を証明します。
今回の話から分かる事
==========================
ここに $xyz$ デカルト直交座標系(カーテシアン座標系とも言...
と回転軸 $\bm{n}_2$ が有ったとします。それを別のある軸 $\...
の周りに回転対象の点と座標軸を共に $\alpha$ ラジアンだけ...
と書く事にします。)して、 $x^\prime y^\prime z^\prime$ ...
、 $\bm{n}_2$ が $\bm{n}_2^\prime$ に移ったとします。
これと $\beta$ ラジアンの回転をする時、 $\bm{n}_2$ 周りの...
と、 $\bm{n}_2^\prime$ 周りの回転 $R(\bm{n}_2^\prime,\bet...
そこに単純なある関係があると言うものです。J.J.Sakuraiの『...
この特別な場合が載っていますが、今回私はこの結果を拡張し...
この記事でこれから扱うのは、座標系の中の点の「能動的回転...
ベクトル $\bm{r}$ に回転 $R(\bm{n}_1,\alpha)$ を作用させ...
.. [*] : この回転は複素数平面での積をイメージして頂くのが...
その定理とは、
<tex>
R(\bm{n}_2^\prime,\beta) = R(\bm{n}_1,\alpha)R(\bm{n}_2,\...
</tex>
若しくは、
<tex>
R( \{R(\bm{n}_1,\alpha)\bm{n}_2\} ,\beta) = R(\bm{n}_1,\a...
</tex>
と言うものです。これが分かると、例えば以下の様なオイラー...
つまり、 $R(\bm{e}_z , \alpha)$ を行って $x^\prime y^\pri...
次に $R(\bm{e}_{y^\prime} , \beta)$ を行って $x^{\prime\p...
最後に $R(\bm{e}_{y^{\prime\prime}} , \gamma)$ だけ回転し...
その時、回転は一番右から順に作用させるとすると、
<tex>
R(\bm{e}_{z^{\prime\prime}},\gamma)R(\bm{e}_{y^{\prime}},...
</tex>
となりますが、回転後の軸周りの回転は煩わしいです。
そんな時、この定理が使えて、
<tex>
R(\bm{e}_{z},\alpha) &= A_z \\
R(\bm{e}_{y^{\prime}},\beta) &= B_{y^\prime} = A_z B_y A_...
R(\bm{e}_{z^{\prime\prime}},\gamma) &= \Gamma_{z^{\prime\...
&= B_{y^\prime} \Gamma_{z^\prime} B_{y^\prime}^{-1} \\
&= (A_z B_y A_z^{-1})(A_z \Gamma_z A_z^{-1})(A_z B_y A_z^...
&= A_z B_y \Gamma_z B_y^{-1} A_z^{-1} \tag{##}
</tex>
であります。
ここで $R$ の逆回転を $R^{-1}$ としました。
連続回転 $R_2 R_1$ の逆は $(R_2 R_1)^{-1} = R_1^{-1} R_2^...
二つ目の回転を行った時、元に戻すには、二つ目の回転を逆に...
よって、 $R_{total}$ は
<tex>
R_{total} &= \Gamma_{z^{\prime\prime}}B_{y^\prime}A_z \\
&= (A_z B_y \Gamma_z B_y^{-1} A_z^{-1}) (A_z B_y A_z^{-1}...
&= A_z B_y \Gamma_z \tag{##}
</tex>
という結果が得られます。ここで、 $A_z,B_y,\Gamma_z$ なら...
<tex>
A_z &= \begin{pmatrix}
\cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\
\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\
B_y &= \begin{pmatrix}
\cos \beta & 0 & \sin \beta \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin \beta & 0 & \cos \alpha
\end{pmatrix} \\
\Gamma_z &= \begin{pmatrix}
\cos \gamma & -\sin \gamma & 0 \\
\sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
となります。今回の話のご利益はこんな感じです。では、式 $(...
予備知識
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以降の話を読むにあたって、予備知識として拙記事 続ベクトル...
では、話を進めます。
式(1)の証明
================================
最初に回転軸 $\bm{n}_2$ と $\bm{n}_2^\prime$ とは次の関係...
.. [*] : 回転の略記のRですが、ここまでの純粋に回転を表す...
<tex>
\bm{n}_2^\prime = R(\bm{n}_1,\alpha) \bm{n}_2 \tag{##}
</tex>
肝心の任意の回転軸周りの回転行列は、例えば
<tex>
R(\bm{n}_2,\beta) = \bm{n}_2 \bm{n}_2 + \cos \beta (I - \...
</tex>
等となります。ここで $\bm{n}_2 \bm{n}_2$ はダイアドであり...
式 $(7)$ を使えば、 $R(\bm{n}_2^\prime,\beta)$ は変形でき...
<tex>
R(\bm{n}_2^\prime,\beta) &= \bm{n}_2^\prime \bm{n}_2^\pri...
&= R(\bm{n}_1 ,\alpha )\bm{n}_2 \bm{n}_2 R^T(\bm{n}_1 ,\a...
&= R(\bm{n}_1 ,\alpha )\bm{n}_2 \bm{n}_2 R(\bm{n}_1 ,-\al...
\tag{##}
</tex>
となります。ここで、
<tex>
N_2^\prime = R(\bm{n}_1 ,\alpha ) N_2 R(\bm{n}_1 ,-\alpha...
</tex>
が示せれば、無事に
<tex>
R(\bm{n}_2^\prime,\beta)
&= R(\bm{n}_1 ,\alpha )\bm{n}_2 \bm{n}_2 R(\bm{n}_1 ,-\al...
&= R(\bm{n}_1 ,\alpha )\bm{n}_2 \bm{n}_2 R(\bm{n}_1 ,-\al...
&= R(\bm{n}_1 ,\alpha ) (\bm{n}_2 \bm{n}_2 + \cos \beta (...
</tex>
となります。よって、式 $(10)$ を示せば証明完了です。今回...
それは、次の必要条件を導いた計算です。式 $(10)$ を辺々二...
すると、 $\bm{n}_2 \bm{n}_2 = I + N_2^2$ より、
<tex>
R(\bm{n}_1 ,\alpha ) N_2 R(\bm{n}_1 ,-\alpha )R(\bm{n}_1 ...
&= R(\bm{n}_1 ,\alpha ) N_2^2 R(\bm{n}_1 ,-\alpha ) \\
&= R(\bm{n}_1 ,\alpha ) (\bm{n}_2 \bm{n}_2 - I) R(\bm{n}_...
&= (\bm{n}_2^\prime \bm{n}_2^\prime - I) \\
&= N_2^{\prime 2}
\tag{##}
</tex>
となり、矛盾しないからです。もちろん、 $x^2 = 1$ から $x=...
式(10)の証明
============================
さて、 $N_2^\prime$ は $\bm{n}_2^\prime$ の成分を並べ替え...
よって、まずは $\bm{n}_2^\prime$ を求めましょう。式 $(8)$...
<tex>
R(\bm{n}_1,\alpha) \bm{n}_2^\prime
&= (\bm{n}_1 \bm{n}_1 + \cos \alpha (I - \bm{n}_1 \bm{n}_...
&= (\cos \alpha I + (1 - \cos \alpha) \bm{n}_1 \bm{n}_1) ...
&= \cos \alpha \bm{n}_2 + (1 - \cos \alpha) (\bm{n}_1 \cd...
</tex>
よって、この要素を並べ替えて出来る $N_2^\prime$ は
<tex>
K = \begin{pmatrix}
0 & \ell_2 m_1 - \ell_1 m_2 & \ell_2 n_1 - \ell_1 n_2 \\
- \ell_2 m_1 + \ell_1 m_2 & 0 & m_2 n_1 - m_1 n_2 \\
-\ell_2 n_1 + \ell_1 n_2 & -m_2 n_1 + m_1 n_2 & 0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
と言う行列 $K$ を使って、
<tex>
N_2^\prime = \cos \alpha N_2 + (1- \cos \alpha)(\bm{n}_1 ...
</tex>
となります。ちなみに、
<tex>
N_1 N_2 -N_2 N_1 = K \tag{##}
</tex>
となっています。よって、我々は
<tex>
R(\bm{n}_1,\alpha)
&= \bm{n}_1 \bm{n}_1 + \cos \alpha (I-\bm{n}_1 \bm{n}_1) ...
&= I + N_1^2 - \cos \alpha N_1^2 + \sin \alpha N_1 \\
&= I + \sin \alpha N_1 + (1-\cos \alpha) N_1^2 \tag{##}
</tex>
より、
<tex>
N_2^\prime
&= (I + \sin \alpha N_1 + (1-\cos \alpha) N_1^2) N_2 (I -...
&= \cos \alpha N_2 + (1- \cos \alpha)(\bm{n}_1 \cdot \bm{...
</tex>
を示せばよいです。式(18)の中辺の計算を $R$ と置きます。
すると、
<tex>
R
&= (I + \sin \alpha N_1 + (1-\cos \alpha) N_1^2) N_2 (I -...
&= N_2 + \sin \alpha (N_1 N_2 -N_2 N_1) + (1- \cos \alpha...
&- \sin^2 \alpha N_1 N_2 N_1 + \sin \alpha (1 - \cos \alp...
</tex>
ここで、
<tex>
N_1 N_2 -N_2 N_1 = K \tag{##}
</tex>
更に、
<tex>
N_1 K -K N_1 = L \tag{##}
</tex>
とすると、計算の後に
<tex>
L = (\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2) N_1- N_2 \tag{##}
</tex>
が分かります。また、
<tex>
N_2 N_1 = \bm{n}_1 \bm{n}_2 - (\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2)I ...
</tex>
となります。ここから、
<tex>
N_1 N_2 N_1
&= N_1 \bm{n}_1 \bm{n}_2 - (\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2)N_1 \\
&= (\bm{n}_1 \times \bm{n}_1) \bm{n}_2 - (\bm{n}_1 \cdot ...
&= - (\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2)N_1 \tag{##}
</tex>
であります。
<tex>
N_1^3 = -N_1 \tag{##}
</tex>
も言えます。
さて、これらを用いて式 $(19)$ を変形していきます。
<tex>
R
&= N_2 + \sin \alpha K + (1- \cos \alpha)(2 N_1 N_2 N_1+ ...
&+ \sin \alpha (1 - \cos \alpha) (N_1 (\bm{n}_1 \cdot \bm...
&= N_2 + \sin \alpha K - 2(1- \cos \alpha)(\bm{n}_1 \cdot...
&+ \sin^2 \alpha (\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2)N_1 - (1 - \cos...
&= N_2 + \sin \alpha K +(- 2+ 2 \cos \alpha + \sin^2 \alp...
&= N_2 + \sin \alpha K + (1- \cos \alpha)L -(1- \cos \alp...
&= N_2 + \sin \alpha K + (1- \cos \alpha)L \\
&= N_2 + \sin \alpha K + (1- \cos \alpha)((\bm{n}_1 \cdot...
&= (1-(1-\cos \alpha))N_2 + (1- \cos \alpha)(\bm{n}_1 \c...
&= \cos \alpha N_2 + (1- \cos \alpha)(\bm{n}_1 \cdot \bm...
\tag{##}
</tex>
よって、無事に式 $(18)$ を示せました。
お疲れ様でした。それでは、今日はこの辺で。
.. _続ベクトルの回転: http://hooktail.sub.jp/vectoranalys...
.. _続々ベクトルの回転: http://hooktail.sub.jp/vectoranal...
@@author:クロメル@@
@@accept:2017-09-07@@
@@category:ベクトル解析@@
@@id:rotOfNewAxisAndOldAxis@@
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