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微分形式の熱力学への応用
===============================================
微分形式の理論を熱力学に応用してみます。途中の議論にも結...
熱力学第一法則
=========================================================...
熱力学第一法則は、微分形で次のように書かれました。
<tex>
TdS = dU + PdV \tag{1}
</tex>
式中、 $T,S,U,P,V$ はそれぞれ、系の温度、エントロピー、内...
<tex>
dT \land dS = dP \land dV \tag{2}
</tex>
熱力学第一法則の自由度は基本的に $2$ ですので、式 $(2)$ ...
.. [*] 少し発展的な註になりますが、式 $(2)$ は二次元多様...
色々試してみましょう。まず $(S,V)$ 座標系を取り、 $T,P$ ...
<tex>
(2) \ \ & \Longleftrightarrow
\left( \left( \frac{\partial T}{\partial S} \right)_{V}dS...
dV \right) \land dS =
\left( \left( \frac{\partial P}{\partial S} \right)_{V}dS...
& \Longleftrightarrow
\left( \frac{\partial T}{\partial V} \right)_{S} dV \land...
\left( \frac{\partial P}{\partial S} \right)_{V} dS \land...
</tex>
これより、次式を得ます。 $dV \land dS = -dS \land dV$ が...
<tex>
\left( \frac{\partial T}{\partial V} \right)_{S} = -\left...
</tex>
これは *マックスウェルの関係式* と呼ばれる熱力学的関係式...
練習問題1
---------------------------------------------------------...
前セクションでは、独立な座標系として $(S,V)$ を取りました...
<tex>
\left( \frac{\partial T}{\partial P}\right)_{S} = \left(\...
\left( \frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} = \left( ...
\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{P} = - \lef...
</tex>
もっと関係式を
=========================================================...
他にも熱力学的関係式を導くことが出来ます。式 $(1)$ の両辺...
<tex>
dS = {dU \over T} + {P \over T} dV \tag{5}
</tex>
この両辺の外微分を取ります。
<tex>
0 &= dU \land \left( dT \over T^2 \right)
+\left(
\frac{TdP-PdT}{T^{2}}
\right) \land dV \\
&= \frac{1}{T^{2}}dU \land dT +\frac{1}{T}dP \land dV - \...
</tex>
ここで、ふたたび $dU,dT,dP,dV$ のうち、独立なものを二つ選...
<tex>
0 &=
\frac{1}{T^{2}}\left(
\left(
\frac{\partial U}{\partial T}\right) _{V}dT +
\left(
\frac{\partial U}{\partial V}\right) _{T}dV
\right)
\land dT +\frac{1}{T}\left(
\left(
\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}dT +
\left(
\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{T}dV
\right) \land dV - \frac{P}{T^{2}}dT \land dV \\
&=
\frac{1}{T^{2}}\left(
\frac{\partial U}{\partial V}
\right)_{T}
dV \land dT +\frac{1}{T}\left(
\frac{\partial P}{\partial T}
\right)_{V} dT \land dV - \frac{P}{T^{2}}dT \land dV \\
& =
\left(
-
\frac{1}{T^{2}}\left(
\frac{\partial U}{\partial V}
\right)_{T}
+\frac{1}{T}\left(
\frac{\partial P}{\partial T}
\right)_{V} - \frac{P}{T^{2}}
\right)
dT\land dV \tag{7}
</tex>
式 $(7)$ より、最後の行の括弧が $0$ になることが要請され...
<tex>
\left(
\frac{\partial U}{\partial V}
\right)_{T} =
T
\left(
\frac{\partial P}{\partial T}
\right)_{V} - P \tag{8}
</tex>
式 $(8)$ には特別な名前は無いと思いますが、これも熱力学の...
練習問題2
---------------------------------------------------------...
式 $(1)$ の両辺を $P$ で割る形からスタートし、次の公式を...
<tex>
T
\left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_{S} -P =
\left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_{S}
\left( \frac{\partial U}{\partial S} \right)_{T}
-
\left( \frac{\partial P}{\partial S} \right)_{T}
\left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_{S}
</tex>
練習問題3
---------------------------------------------------------...
エンタルピーによる熱力学第一法則の表現 $TdS=dH-VdP$ を出...
<tex>
\left(
\frac{\partial H}{\partial P}
\right)_{T} =
V-
T
\left(
\frac{\partial V}{\partial T}
\right)_{P}
</tex>
発展
=========================================================...
最後にもう一つだけ重要な公式を導いておきます。変数 $T,S,P...
<tex>
T=T(P,S) \tag{9-1}
</tex>
<tex>
S=S(T,P) \tag{9-2}
</tex>
<tex>
P=P(T,S) \tag{9-3}
</tex>
これらは二次元空間上の量なので、自由度は $2$ です。このと...
<tex>
dT \land dS &=
\left( \left(
\frac{\partial T}{\partial P}\right) _{S}dP +
\left( \frac{\partial T}{\partial S}\right) _{P}dS \right...
&= \left(
\frac{\partial T}{\partial P}\right) _{S}dP \land dS \\
&= \left( \frac{\partial T}{\partial P}\right) _{S} dP \l...
\left( \left(
\frac{\partial S}{\partial T}\right) _{P}dT +
\left( \frac{\partial S}{\partial P}\right) _{T}dP \right...
&= \left( \frac{\partial T}{\partial P}\right) _{S}
\left( \frac{\partial S}{\partial T}\right) _{P}
dP \land dT \\
& =
\left( \frac{\partial T}{\partial P}\right) _{S}
\left( \frac{\partial S}{\partial T}\right) _{P}
\left( \left(
\frac{\partial P}{\partial T}\right) _{S}dT +
\left( \frac{\partial P}{\partial S}\right) _{T}dS \right...
&=
\left( \frac{\partial T}{\partial P}\right) _{S}
\left( \frac{\partial S}{\partial T}\right) _{P}
\left( \frac{\partial P}{\partial S}\right) _{T}dS \land ...
</tex>
この両辺を比べて、次式を得ます。
<tex>
\left( \frac{\partial T}{\partial P}\right) _{S}
\left( \frac{\partial S}{\partial T}\right) _{P}
\left( \frac{\partial P}{\partial S}\right) _{T} =-1 \tag...
</tex>
これも熱力学では重要な公式です。
練習問題4
------------------------------------------------------
エントロピーの代わりにエンタルピー $H=H(T,P)$ を使い、次...
<tex>
\left( \frac{\partial T}{\partial P}\right) _{H}
\left( \frac{\partial H}{\partial T}\right) _{P}
\left( \frac{\partial P}{\partial H}\right) _{T} =-1
</tex>
発展的な補足
---------------------------------------------------------...
式 $(4)$ から残りのマックスウェルの関係式を導くとき、 ル...
そこで、空間の概念を拡張した、二次元多様体という集合をそ...
.. [*] さらに言えば、ルジャンドル変換で考える多様体は、シ...
.. _ルジャンドル変換:
.. _多様体の概念: http://www12.plala.or.jp/ksp/manifold/i...
.. _余接ベクトル: http://www12.plala.or.jp/ksp/manifold/M...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-13@@
@@category: 微分形式@@
@@id: ThermodynamicsDiffForms@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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微分形式の熱力学への応用
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微分形式の理論を熱力学に応用してみます。途中の議論にも結...
熱力学第一法則
=========================================================...
熱力学第一法則は、微分形で次のように書かれました。
<tex>
TdS = dU + PdV \tag{1}
</tex>
式中、 $T,S,U,P,V$ はそれぞれ、系の温度、エントロピー、内...
<tex>
dT \land dS = dP \land dV \tag{2}
</tex>
熱力学第一法則の自由度は基本的に $2$ ですので、式 $(2)$ ...
.. [*] 少し発展的な註になりますが、式 $(2)$ は二次元多様...
色々試してみましょう。まず $(S,V)$ 座標系を取り、 $T,P$ ...
<tex>
(2) \ \ & \Longleftrightarrow
\left( \left( \frac{\partial T}{\partial S} \right)_{V}dS...
dV \right) \land dS =
\left( \left( \frac{\partial P}{\partial S} \right)_{V}dS...
& \Longleftrightarrow
\left( \frac{\partial T}{\partial V} \right)_{S} dV \land...
\left( \frac{\partial P}{\partial S} \right)_{V} dS \land...
</tex>
これより、次式を得ます。 $dV \land dS = -dS \land dV$ が...
<tex>
\left( \frac{\partial T}{\partial V} \right)_{S} = -\left...
</tex>
これは *マックスウェルの関係式* と呼ばれる熱力学的関係式...
練習問題1
---------------------------------------------------------...
前セクションでは、独立な座標系として $(S,V)$ を取りました...
<tex>
\left( \frac{\partial T}{\partial P}\right)_{S} = \left(\...
\left( \frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} = \left( ...
\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{P} = - \lef...
</tex>
もっと関係式を
=========================================================...
他にも熱力学的関係式を導くことが出来ます。式 $(1)$ の両辺...
<tex>
dS = {dU \over T} + {P \over T} dV \tag{5}
</tex>
この両辺の外微分を取ります。
<tex>
0 &= dU \land \left( dT \over T^2 \right)
+\left(
\frac{TdP-PdT}{T^{2}}
\right) \land dV \\
&= \frac{1}{T^{2}}dU \land dT +\frac{1}{T}dP \land dV - \...
</tex>
ここで、ふたたび $dU,dT,dP,dV$ のうち、独立なものを二つ選...
<tex>
0 &=
\frac{1}{T^{2}}\left(
\left(
\frac{\partial U}{\partial T}\right) _{V}dT +
\left(
\frac{\partial U}{\partial V}\right) _{T}dV
\right)
\land dT +\frac{1}{T}\left(
\left(
\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}dT +
\left(
\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{T}dV
\right) \land dV - \frac{P}{T^{2}}dT \land dV \\
&=
\frac{1}{T^{2}}\left(
\frac{\partial U}{\partial V}
\right)_{T}
dV \land dT +\frac{1}{T}\left(
\frac{\partial P}{\partial T}
\right)_{V} dT \land dV - \frac{P}{T^{2}}dT \land dV \\
& =
\left(
-
\frac{1}{T^{2}}\left(
\frac{\partial U}{\partial V}
\right)_{T}
+\frac{1}{T}\left(
\frac{\partial P}{\partial T}
\right)_{V} - \frac{P}{T^{2}}
\right)
dT\land dV \tag{7}
</tex>
式 $(7)$ より、最後の行の括弧が $0$ になることが要請され...
<tex>
\left(
\frac{\partial U}{\partial V}
\right)_{T} =
T
\left(
\frac{\partial P}{\partial T}
\right)_{V} - P \tag{8}
</tex>
式 $(8)$ には特別な名前は無いと思いますが、これも熱力学の...
練習問題2
---------------------------------------------------------...
式 $(1)$ の両辺を $P$ で割る形からスタートし、次の公式を...
<tex>
T
\left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_{S} -P =
\left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_{S}
\left( \frac{\partial U}{\partial S} \right)_{T}
-
\left( \frac{\partial P}{\partial S} \right)_{T}
\left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_{S}
</tex>
練習問題3
---------------------------------------------------------...
エンタルピーによる熱力学第一法則の表現 $TdS=dH-VdP$ を出...
<tex>
\left(
\frac{\partial H}{\partial P}
\right)_{T} =
V-
T
\left(
\frac{\partial V}{\partial T}
\right)_{P}
</tex>
発展
=========================================================...
最後にもう一つだけ重要な公式を導いておきます。変数 $T,S,P...
<tex>
T=T(P,S) \tag{9-1}
</tex>
<tex>
S=S(T,P) \tag{9-2}
</tex>
<tex>
P=P(T,S) \tag{9-3}
</tex>
これらは二次元空間上の量なので、自由度は $2$ です。このと...
<tex>
dT \land dS &=
\left( \left(
\frac{\partial T}{\partial P}\right) _{S}dP +
\left( \frac{\partial T}{\partial S}\right) _{P}dS \right...
&= \left(
\frac{\partial T}{\partial P}\right) _{S}dP \land dS \\
&= \left( \frac{\partial T}{\partial P}\right) _{S} dP \l...
\left( \left(
\frac{\partial S}{\partial T}\right) _{P}dT +
\left( \frac{\partial S}{\partial P}\right) _{T}dP \right...
&= \left( \frac{\partial T}{\partial P}\right) _{S}
\left( \frac{\partial S}{\partial T}\right) _{P}
dP \land dT \\
& =
\left( \frac{\partial T}{\partial P}\right) _{S}
\left( \frac{\partial S}{\partial T}\right) _{P}
\left( \left(
\frac{\partial P}{\partial T}\right) _{S}dT +
\left( \frac{\partial P}{\partial S}\right) _{T}dS \right...
&=
\left( \frac{\partial T}{\partial P}\right) _{S}
\left( \frac{\partial S}{\partial T}\right) _{P}
\left( \frac{\partial P}{\partial S}\right) _{T}dS \land ...
</tex>
この両辺を比べて、次式を得ます。
<tex>
\left( \frac{\partial T}{\partial P}\right) _{S}
\left( \frac{\partial S}{\partial T}\right) _{P}
\left( \frac{\partial P}{\partial S}\right) _{T} =-1 \tag...
</tex>
これも熱力学では重要な公式です。
練習問題4
------------------------------------------------------
エントロピーの代わりにエンタルピー $H=H(T,P)$ を使い、次...
<tex>
\left( \frac{\partial T}{\partial P}\right) _{H}
\left( \frac{\partial H}{\partial T}\right) _{P}
\left( \frac{\partial P}{\partial H}\right) _{T} =-1
</tex>
発展的な補足
---------------------------------------------------------...
式 $(4)$ から残りのマックスウェルの関係式を導くとき、 ル...
そこで、空間の概念を拡張した、二次元多様体という集合をそ...
.. [*] さらに言えば、ルジャンドル変換で考える多様体は、シ...
.. _ルジャンドル変換:
.. _多様体の概念: http://www12.plala.or.jp/ksp/manifold/i...
.. _余接ベクトル: http://www12.plala.or.jp/ksp/manifold/M...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-13@@
@@category: 微分形式@@
@@id: ThermodynamicsDiffForms@@
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