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微分形式の張る空間と座標変換
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この記事の内容は、今まで勉強してきた内容の、代数的なおさ...
微分形式の張る空間
=========================================================...
ベクトル空間 $R^{n}$ 上で定義される微分形式の全体 $E (R^{...
<tex>
E (R^{n}) = \land ^{0}(R^{n}) \oplus \land ^{1}(R^{n}) \...
</tex>
ここで $\lambda , \mu \in E (R^{n})$ とすると、 $\lambda$...
1. $\alpha \lambda + \beta \mu \ \ (\alpha , \ \beta \in...
2. $\lambda \land \mu$
3. $f\lambda \ \ \ \ \ $ ( $f \in \land ^{0}(R^{n})$ ...
一番目の線形結合は、 $\lambda$ と $\mu$ が同じ次数の微分...
1. $d(\alpha \lambda + \beta \mu ) = \alpha d\lambda + \...
2. $d(fg)=fdg+gdf \ \ (f,g \in \land^{0}(R^{n}) )$
3. $d(\lambda \land \mu)= d\lambda \land \mu + (-1)^{k} ...
4. $d(d\lambda )=0 \ \ (\forall \lambda \in \land (R^...
.. [*] 外積代数の記号である $E(R^{n})$ や $\land ^{k}R^{n...
微分形式の座標変換
=========================================================...
このセクションでは、微分形式の座標変換を考えてみます。す...
<tex>
du =
\frac{\partial u}{\partial x}dx +
\frac{\partial u}{\partial y}dy +
\frac{\partial u}{\partial z}dz \tag{2}
</tex>
<tex>
dv =
\frac{\partial v}{\partial x}dx +
\frac{\partial v}{\partial y}dy +
\frac{\partial v}{\partial z}dz \tag{3}
</tex>
<tex>
dw =
\frac{\partial w}{\partial x}dx +
\frac{\partial w}{\partial y}dy +
\frac{\partial w}{\partial z}dz \tag{4}
</tex>
式 $(2)(3)(4)$ をあわせれば、 $xyz$ 座標系から $uvw$ 座標...
<tex>
du \land dv =
\frac{\partial (u,v)}{\partial (y,z)}dy \land dz +
\frac{\partial (u,v)}{\partial (z,x)}dz \land dx +
\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}dx \land dy \tag{5}
</tex>
<tex>
dv \land dw =
\frac{\partial (v,w)}{\partial (y,z)}dy \land dz +
\frac{\partial (v,w)}{\partial (z,x)}dz \land dx +
\frac{\partial (v,w)}{\partial (x,y)}dx \land dy \tag{6}
</tex>
<tex>
dw \land du =
\frac{\partial (w,u)}{\partial (y,z)}dy \land dz +
\frac{\partial (w,u)}{\partial (z,x)}dz \land dx +
\frac{\partial (w,u)}{\partial (x,y)}dx \land dy \tag{7}
</tex>
三次微分形式の変換は(一次元なので)もっと単純で、次のよ...
<tex>
du \land dv \land dw =
\frac{\partial (u,v,w)}{\partial (x,y,z)}dx\land dy \land...
</tex>
ヤコビアンの符号は、空間の向きを保つ変換の場合には正、向...
.. important::
微分形式の座標変換は、重積分の積分変数の変換公式のパワー...
何度も強調しているように『積分の向き』『面積分の向き』『...
.. [*] 積分計算と変数変換の論理を一貫させたために、形式的...
ヤコビアン
---------------------------------------------------------...
以前、 面積素と微分形式_ で説明したように、ウェッジ積の性...
もう一つ、微分形式と変数変換について、変数変換に際して、...
<tex>
du^{1} \land du^{2} \land \cdots \land du^{k} =
\frac{\partial (u^{1},u^{2},...,u^{k})}{\partial (x^{1},x...
</tex>
ここでヤコビアン $|J|=\frac{\partial (u^{1},u^{2},...,u^{...
.. [*] 外積代数は交代形式のテンソル解析だと見ることが出来...
テンソルとしてみた場合の微分形式
---------------------------------------------------------...
このセクションでは、テンソル解析の手法に戻って、久しぶり...
<tex>
du \land dv = du \otimes dv - dv \otimes du \tag{10}
</tex>
成分表記すれば、 $du=(du_{1},du_{2},du_{3}), \ dv = (dv_{...
<tex>
du \otimes dv =
\left(
\begin{array}{ccc}
du_{1}dv_{1} & du_{1}dv_{2} & du_{1}dv_{3} \\
du_{2}dv_{1} & du_{2}dv_{2} & du_{2}dv_{3} \\
du_{3}dv_{1} & du_{3}dv_{2} & du_{3}dv_{3} \\
\end{array}
\right) \tag{11-1}
</tex>
<tex>
dv \otimes du = \left(
\begin{array}{ccc}
dv_{1}du_{1} & dv_{1}du_{2} & dv_{1}du_{3} \\
dv_{2}du_{1} & dv_{2}du_{2} & dv_{2}du_{3} \\
dv_{3}du_{1} & dv_{3}du_{2} & dv_{3}du_{3} \\
\end{array}
\right) \tag{11-2}
</tex>
式 $(11-1)(11-2)$ より、次式が言えます。
<tex>
du \otimes dv - dv \otimes du = \left(
\begin{array}{ccc}
0 & du_{1}dv_{2} - dv_{1}du_{2} & du_{1}dv_{3} -dv_{1}...
du_{2}dv_{1} -dv_{2}du_{1} & 0 & du_{2}dv_{3} -dv_{2}du_{...
du_{3}dv_{1}-dv_{3}du_{1} & du_{3}dv_{2} -dv_{3}du_{2} ...
\end{array}\right) \tag{12}
</tex>
これは反対称行列で、これを行列 $c_{ij}$ と名づければ、成...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & du_{1}dv_{2} - dv_{1}du_{2} & du_{1}dv_{3} -dv_{1}du_...
du_{2}dv_{1} -dv_{2}du_{1} & 0 & du_{2}dv_{3} -dv_{2}du_{...
du_{3}dv_{1}-dv_{3}du_{1} & du_{3}dv_{2} -dv_{3}du_{2} & ...
\end{array}\right)
\sim
\left(
\begin{array}{c}
du_{2}dv_{3} -dv_{2}du_{3} \\
du_{3}dv_{1} -dv_{3}du_{1} \\
du_{1}dv_{3} -dv_{1}du_{3} \\
\end{array}\right)
= \left(
\begin{array}{c}
du_{1} \\
du_{2} \\
du_{3} \\
\end{array} \right)
\times \left(
\begin{array}{c}
dv_{1} \\
dv_{2} \\
dv_{3} \\
\end{array} \right) \tag{13}
</tex>
式 $(13)$ の右辺の絶対値は、ベクトルの外積の定義より、ベ...
.. [*] 式 $(13)$ で、反対称行列とベクトルを対応させた同型...
さて、一次微分形式の基底とも言うべき微小量 $dx, dy, dz$ ...
<tex>
du =
\frac{\partial u}{\partial x}dx +
\frac{\partial u}{\partial y}dy +
\frac{\partial u}{\partial z}dz \tag{2}
</tex>
<tex>
dv =
\frac{\partial v}{\partial x}dx +
\frac{\partial v}{\partial y}dy +
\frac{\partial v}{\partial z}dz \tag{3}
</tex>
<tex>
dw =
\frac{\partial w}{\partial x}dx +
\frac{\partial w}{\partial y}dy +
\frac{\partial w}{\partial z}dz \tag{4}
</tex>
ここで、 $x,y,z$ を $x^{1},x^{2},x^{3}$ 、 $u,v,w$ を $\x...
<tex>
d\xi ^{i} =
\frac{\partial \xi ^{i} }{\partial x^{j}}dx^{j} \tag{14}
</tex>
ここで $dx^{j}$ と $d\xi ^{i}$ をベクトルと見れば、 共変...
<tex>
\omega _{p} = f_{i} d\omega ^{i} \tag{15}
</tex>
右辺は縮約になっており、 $f_{i} = f_{i} (x^{1},x^{2},.......
.. [*] テンソルで最も本質的な性質と言えば、多重線形性です...
.. _共変ベクトルと反変ベクトル: http://www12.plala.or.jp/...
.. _外微分: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialform...
.. _ポアンカレの補題: http://www12.plala.or.jp/ksp/differ...
.. _外微分の座標不変性: http://www12.plala.or.jp/ksp/diff...
.. _面積素と微分形式: http://www12.plala.or.jp/ksp/differ...
.. _微分形式の引き戻し: http://www12.plala.or.jp/ksp/diff...
.. _参考: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/Ten...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-13@@
@@category: 微分形式@@
@@id: DiffFormsSpaceAndTrans@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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微分形式の張る空間と座標変換
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この記事の内容は、今まで勉強してきた内容の、代数的なおさ...
微分形式の張る空間
=========================================================...
ベクトル空間 $R^{n}$ 上で定義される微分形式の全体 $E (R^{...
<tex>
E (R^{n}) = \land ^{0}(R^{n}) \oplus \land ^{1}(R^{n}) \...
</tex>
ここで $\lambda , \mu \in E (R^{n})$ とすると、 $\lambda$...
1. $\alpha \lambda + \beta \mu \ \ (\alpha , \ \beta \in...
2. $\lambda \land \mu$
3. $f\lambda \ \ \ \ \ $ ( $f \in \land ^{0}(R^{n})$ ...
一番目の線形結合は、 $\lambda$ と $\mu$ が同じ次数の微分...
1. $d(\alpha \lambda + \beta \mu ) = \alpha d\lambda + \...
2. $d(fg)=fdg+gdf \ \ (f,g \in \land^{0}(R^{n}) )$
3. $d(\lambda \land \mu)= d\lambda \land \mu + (-1)^{k} ...
4. $d(d\lambda )=0 \ \ (\forall \lambda \in \land (R^...
.. [*] 外積代数の記号である $E(R^{n})$ や $\land ^{k}R^{n...
微分形式の座標変換
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このセクションでは、微分形式の座標変換を考えてみます。す...
<tex>
du =
\frac{\partial u}{\partial x}dx +
\frac{\partial u}{\partial y}dy +
\frac{\partial u}{\partial z}dz \tag{2}
</tex>
<tex>
dv =
\frac{\partial v}{\partial x}dx +
\frac{\partial v}{\partial y}dy +
\frac{\partial v}{\partial z}dz \tag{3}
</tex>
<tex>
dw =
\frac{\partial w}{\partial x}dx +
\frac{\partial w}{\partial y}dy +
\frac{\partial w}{\partial z}dz \tag{4}
</tex>
式 $(2)(3)(4)$ をあわせれば、 $xyz$ 座標系から $uvw$ 座標...
<tex>
du \land dv =
\frac{\partial (u,v)}{\partial (y,z)}dy \land dz +
\frac{\partial (u,v)}{\partial (z,x)}dz \land dx +
\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}dx \land dy \tag{5}
</tex>
<tex>
dv \land dw =
\frac{\partial (v,w)}{\partial (y,z)}dy \land dz +
\frac{\partial (v,w)}{\partial (z,x)}dz \land dx +
\frac{\partial (v,w)}{\partial (x,y)}dx \land dy \tag{6}
</tex>
<tex>
dw \land du =
\frac{\partial (w,u)}{\partial (y,z)}dy \land dz +
\frac{\partial (w,u)}{\partial (z,x)}dz \land dx +
\frac{\partial (w,u)}{\partial (x,y)}dx \land dy \tag{7}
</tex>
三次微分形式の変換は(一次元なので)もっと単純で、次のよ...
<tex>
du \land dv \land dw =
\frac{\partial (u,v,w)}{\partial (x,y,z)}dx\land dy \land...
</tex>
ヤコビアンの符号は、空間の向きを保つ変換の場合には正、向...
.. important::
微分形式の座標変換は、重積分の積分変数の変換公式のパワー...
何度も強調しているように『積分の向き』『面積分の向き』『...
.. [*] 積分計算と変数変換の論理を一貫させたために、形式的...
ヤコビアン
---------------------------------------------------------...
以前、 面積素と微分形式_ で説明したように、ウェッジ積の性...
もう一つ、微分形式と変数変換について、変数変換に際して、...
<tex>
du^{1} \land du^{2} \land \cdots \land du^{k} =
\frac{\partial (u^{1},u^{2},...,u^{k})}{\partial (x^{1},x...
</tex>
ここでヤコビアン $|J|=\frac{\partial (u^{1},u^{2},...,u^{...
.. [*] 外積代数は交代形式のテンソル解析だと見ることが出来...
テンソルとしてみた場合の微分形式
---------------------------------------------------------...
このセクションでは、テンソル解析の手法に戻って、久しぶり...
<tex>
du \land dv = du \otimes dv - dv \otimes du \tag{10}
</tex>
成分表記すれば、 $du=(du_{1},du_{2},du_{3}), \ dv = (dv_{...
<tex>
du \otimes dv =
\left(
\begin{array}{ccc}
du_{1}dv_{1} & du_{1}dv_{2} & du_{1}dv_{3} \\
du_{2}dv_{1} & du_{2}dv_{2} & du_{2}dv_{3} \\
du_{3}dv_{1} & du_{3}dv_{2} & du_{3}dv_{3} \\
\end{array}
\right) \tag{11-1}
</tex>
<tex>
dv \otimes du = \left(
\begin{array}{ccc}
dv_{1}du_{1} & dv_{1}du_{2} & dv_{1}du_{3} \\
dv_{2}du_{1} & dv_{2}du_{2} & dv_{2}du_{3} \\
dv_{3}du_{1} & dv_{3}du_{2} & dv_{3}du_{3} \\
\end{array}
\right) \tag{11-2}
</tex>
式 $(11-1)(11-2)$ より、次式が言えます。
<tex>
du \otimes dv - dv \otimes du = \left(
\begin{array}{ccc}
0 & du_{1}dv_{2} - dv_{1}du_{2} & du_{1}dv_{3} -dv_{1}...
du_{2}dv_{1} -dv_{2}du_{1} & 0 & du_{2}dv_{3} -dv_{2}du_{...
du_{3}dv_{1}-dv_{3}du_{1} & du_{3}dv_{2} -dv_{3}du_{2} ...
\end{array}\right) \tag{12}
</tex>
これは反対称行列で、これを行列 $c_{ij}$ と名づければ、成...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & du_{1}dv_{2} - dv_{1}du_{2} & du_{1}dv_{3} -dv_{1}du_...
du_{2}dv_{1} -dv_{2}du_{1} & 0 & du_{2}dv_{3} -dv_{2}du_{...
du_{3}dv_{1}-dv_{3}du_{1} & du_{3}dv_{2} -dv_{3}du_{2} & ...
\end{array}\right)
\sim
\left(
\begin{array}{c}
du_{2}dv_{3} -dv_{2}du_{3} \\
du_{3}dv_{1} -dv_{3}du_{1} \\
du_{1}dv_{3} -dv_{1}du_{3} \\
\end{array}\right)
= \left(
\begin{array}{c}
du_{1} \\
du_{2} \\
du_{3} \\
\end{array} \right)
\times \left(
\begin{array}{c}
dv_{1} \\
dv_{2} \\
dv_{3} \\
\end{array} \right) \tag{13}
</tex>
式 $(13)$ の右辺の絶対値は、ベクトルの外積の定義より、ベ...
.. [*] 式 $(13)$ で、反対称行列とベクトルを対応させた同型...
さて、一次微分形式の基底とも言うべき微小量 $dx, dy, dz$ ...
<tex>
du =
\frac{\partial u}{\partial x}dx +
\frac{\partial u}{\partial y}dy +
\frac{\partial u}{\partial z}dz \tag{2}
</tex>
<tex>
dv =
\frac{\partial v}{\partial x}dx +
\frac{\partial v}{\partial y}dy +
\frac{\partial v}{\partial z}dz \tag{3}
</tex>
<tex>
dw =
\frac{\partial w}{\partial x}dx +
\frac{\partial w}{\partial y}dy +
\frac{\partial w}{\partial z}dz \tag{4}
</tex>
ここで、 $x,y,z$ を $x^{1},x^{2},x^{3}$ 、 $u,v,w$ を $\x...
<tex>
d\xi ^{i} =
\frac{\partial \xi ^{i} }{\partial x^{j}}dx^{j} \tag{14}
</tex>
ここで $dx^{j}$ と $d\xi ^{i}$ をベクトルと見れば、 共変...
<tex>
\omega _{p} = f_{i} d\omega ^{i} \tag{15}
</tex>
右辺は縮約になっており、 $f_{i} = f_{i} (x^{1},x^{2},.......
.. [*] テンソルで最も本質的な性質と言えば、多重線形性です...
.. _共変ベクトルと反変ベクトル: http://www12.plala.or.jp/...
.. _外微分: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialform...
.. _ポアンカレの補題: http://www12.plala.or.jp/ksp/differ...
.. _外微分の座標不変性: http://www12.plala.or.jp/ksp/diff...
.. _面積素と微分形式: http://www12.plala.or.jp/ksp/differ...
.. _微分形式の引き戻し: http://www12.plala.or.jp/ksp/diff...
.. _参考: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/Ten...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-13@@
@@category: 微分形式@@
@@id: DiffFormsSpaceAndTrans@@
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