記事ソース/微分形式の引き戻し2
をテンプレートにして作成
査読
rst2hooktail
進行表
執筆中
かぎマニュ
物理のかぎプロジェクト
トップ
最近の更新
ヘルプ
開始行:
#rst2hooktail_source
=====================================================
微分形式の引き戻し2
=====================================================
私達は *引き戻し* という概念を勉強しました。 `微分形式の...
一次微分形式の引き戻し
======================================================
まずは、『二次元の世界 $M$ 』から、『三次元の世界 $N$ 』...
<tex>
\phi ^{*} f = f \circ \phi \tag{1}
</tex>
.. image:: Joh-Pullback08.gif
.. [*] 『○次元の世界』という表現が、いかにも妖しいと思っ...
ここで $\phi$ が行う写像は、座標系 $(x,y)$ を座標系 $(u,v...
<tex>
g(x,y) & = (\phi ^{*} f) (x,y) \\
& = (f \circ \phi)(x,y) \\
& = f(u,v,w) \tag{2}
</tex>
もちろん、ここで $u=u(x,y), \ v=v(x,y), \ w=w(x,y)$ はど...
<tex>
\omega _{1}= F(u,v,w)du + G(u,v,w)dv + H(u,v,w)dw \tag{3}
</tex>
この $\omega$ に対する引き戻し $\phi ^{*}\omega$ は、次の...
<tex>
\phi ^{*} \omega _{1} &=
(\phi ^{*} F)(\phi ^{*} du) +
(\phi ^{*} G)(\phi ^{*} dv) +
(\phi ^{*} H)(\phi ^{*} dw) \\
&=
(\phi ^{*} F) d(\phi ^{*} u) +
(\phi ^{*} G) d(\phi ^{*} v) +
(\phi ^{*} H) d(\phi ^{*} w) \\
&=
(\phi ^{*} F) d(\phi u) +
(\phi ^{*} G) d(\phi v) +
(\phi ^{*} H) d(\phi w)
\tag{4}
</tex>
要するに、右辺の $u,v,w$ に関するところ全てに、個別に $\p...
<tex>
\phi ^{*} (d\omega) = d(\phi ^{*} \omega) \tag{5}
</tex>
これで、式 $(4)$ の定義も安心です。式 $(4)$ の右辺を詳し...
<tex>
\phi ^{*} \omega _{1} &=
(\phi ^{*} F(u,v,w)) d(\phi ^{*} u) +
(\phi ^{*} G(u,v,w)) d(\phi ^{*} v) +
(\phi ^{*} H(u,v,w)) d(\phi ^{*} w) \\
&=
(\phi ^{*} F(u,v,w)) d(\phi u) +
(\phi ^{*} G(u,v,w)) d(\phi v) +
(\phi ^{*} H(u,v,w)) d(\phi w) \\
&= (F(u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z))) \left(
\frac{\partial u}{\partial x}dx +
\frac{\partial u}{\partial y}dy
\right) \\
& \ \ \ +
(G(u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z))) \left(
\frac{\partial v}{\partial x}dx +
\frac{\partial v}{\partial y}dy
\right) \\
& \ \ \ \ \ +
(H(u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z))) \left(
\frac{\partial w}{\partial x}dx +
\frac{\partial w}{\partial y}dy
\right) \tag{6}
</tex>
式 $(6)$ の右辺が、確かに $(x,y,z)$ の関数で、 $M$ 上の一...
二次微分形式の引き戻し
---------------------------------------------------------...
全く同じようにして、二次微分形式の引き戻しも定義します。...
<tex>
\omega _{2} = P(u,v,w) dv \land dw + Q(u,v,w) dw \land du...
</tex>
こまかい計算は冗漫なので、第一成分の引き戻し $\phi ^{*} P...
<tex>
(\phi ^{*} P(u,v,w) )dv \land dw
&= (\phi ^{*} P) (\phi ^{*} dv) \land (\phi ^{*}dw) \\
&= (\phi ^{*} P) d(\phi v) \land d(\phi w) \\
&= (\phi ^{*} P) ( \frac{\partial v}{\partial x}dx + \fra...
dy) \\
& =
P(u(x,y),v(x,y),w(x,y))
\left( \frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial w}{\pa...
- \frac{\partial v}{\partial y}
\frac{\partial w}{\partial x}
\right)
dx \land dy \tag{8}
</tex>
他の成分に関しては、文字を巡回的にずらせば、真面目に計算...
<tex>
\phi ^{*} \omega _{2}
& = \Big[
P(u(x,y),v(x,y),w(x,y))
\left( \frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial w}{\pa...
- \frac{\partial v}{\partial y}
\frac{\partial w}{\partial x}
\right) \\
& \ \ \ \ +
Q(u(x,y),v(x,y),w(x,y))
\left( \frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial u}{\pa...
- \frac{\partial w}{\partial y}
\frac{\partial u}{\partial x}
\right) \\
& \ \ \ \ +
R(u(x,y),v(x,y),w(x,y))
\left( \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\pa...
- \frac{\partial u}{\partial y}
\frac{\partial v}{\partial x}
\right) \Big]
dx \land dy \tag{9}
</tex>
式 $(9)$ の右辺も、確かに $x,y$ だけの関数で、 $M$ 上の二...
引き戻しをしても、外微分は不変であること
=========================================================...
一次微分形式と二次微分形式を例に、実際に微分形式に引き戻...
.. admonition:: corollary
引き戻しをしても、外微分は変わりません。
式で書くと、 $\omega$ を適当な微分形式として次式のように...
<tex>
d(\phi ^{*} \omega) = \phi ^{* } (d\omega) \tag{10}
</tex>
よく見れば(よく見なくても)、『外微分の座標不変性』で示...
.. [*] あまり数学的にドライに議論を進めていってしまうと、...
.. [*] 引き戻しとは、関数に関して、変数変換後(例では $N$...
.. _引き戻し: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialfo...
.. _`微分形式の引き戻し1`: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. 平面のグリーンの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/dif...
.. _外微分の座標不変性: http://www12.plala.or.jp/ksp/diff...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-13@@
@@category: 微分形式@@
@@id: DiffFormsPullback2@@
終了行:
#rst2hooktail_source
=====================================================
微分形式の引き戻し2
=====================================================
私達は *引き戻し* という概念を勉強しました。 `微分形式の...
一次微分形式の引き戻し
======================================================
まずは、『二次元の世界 $M$ 』から、『三次元の世界 $N$ 』...
<tex>
\phi ^{*} f = f \circ \phi \tag{1}
</tex>
.. image:: Joh-Pullback08.gif
.. [*] 『○次元の世界』という表現が、いかにも妖しいと思っ...
ここで $\phi$ が行う写像は、座標系 $(x,y)$ を座標系 $(u,v...
<tex>
g(x,y) & = (\phi ^{*} f) (x,y) \\
& = (f \circ \phi)(x,y) \\
& = f(u,v,w) \tag{2}
</tex>
もちろん、ここで $u=u(x,y), \ v=v(x,y), \ w=w(x,y)$ はど...
<tex>
\omega _{1}= F(u,v,w)du + G(u,v,w)dv + H(u,v,w)dw \tag{3}
</tex>
この $\omega$ に対する引き戻し $\phi ^{*}\omega$ は、次の...
<tex>
\phi ^{*} \omega _{1} &=
(\phi ^{*} F)(\phi ^{*} du) +
(\phi ^{*} G)(\phi ^{*} dv) +
(\phi ^{*} H)(\phi ^{*} dw) \\
&=
(\phi ^{*} F) d(\phi ^{*} u) +
(\phi ^{*} G) d(\phi ^{*} v) +
(\phi ^{*} H) d(\phi ^{*} w) \\
&=
(\phi ^{*} F) d(\phi u) +
(\phi ^{*} G) d(\phi v) +
(\phi ^{*} H) d(\phi w)
\tag{4}
</tex>
要するに、右辺の $u,v,w$ に関するところ全てに、個別に $\p...
<tex>
\phi ^{*} (d\omega) = d(\phi ^{*} \omega) \tag{5}
</tex>
これで、式 $(4)$ の定義も安心です。式 $(4)$ の右辺を詳し...
<tex>
\phi ^{*} \omega _{1} &=
(\phi ^{*} F(u,v,w)) d(\phi ^{*} u) +
(\phi ^{*} G(u,v,w)) d(\phi ^{*} v) +
(\phi ^{*} H(u,v,w)) d(\phi ^{*} w) \\
&=
(\phi ^{*} F(u,v,w)) d(\phi u) +
(\phi ^{*} G(u,v,w)) d(\phi v) +
(\phi ^{*} H(u,v,w)) d(\phi w) \\
&= (F(u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z))) \left(
\frac{\partial u}{\partial x}dx +
\frac{\partial u}{\partial y}dy
\right) \\
& \ \ \ +
(G(u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z))) \left(
\frac{\partial v}{\partial x}dx +
\frac{\partial v}{\partial y}dy
\right) \\
& \ \ \ \ \ +
(H(u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z))) \left(
\frac{\partial w}{\partial x}dx +
\frac{\partial w}{\partial y}dy
\right) \tag{6}
</tex>
式 $(6)$ の右辺が、確かに $(x,y,z)$ の関数で、 $M$ 上の一...
二次微分形式の引き戻し
---------------------------------------------------------...
全く同じようにして、二次微分形式の引き戻しも定義します。...
<tex>
\omega _{2} = P(u,v,w) dv \land dw + Q(u,v,w) dw \land du...
</tex>
こまかい計算は冗漫なので、第一成分の引き戻し $\phi ^{*} P...
<tex>
(\phi ^{*} P(u,v,w) )dv \land dw
&= (\phi ^{*} P) (\phi ^{*} dv) \land (\phi ^{*}dw) \\
&= (\phi ^{*} P) d(\phi v) \land d(\phi w) \\
&= (\phi ^{*} P) ( \frac{\partial v}{\partial x}dx + \fra...
dy) \\
& =
P(u(x,y),v(x,y),w(x,y))
\left( \frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial w}{\pa...
- \frac{\partial v}{\partial y}
\frac{\partial w}{\partial x}
\right)
dx \land dy \tag{8}
</tex>
他の成分に関しては、文字を巡回的にずらせば、真面目に計算...
<tex>
\phi ^{*} \omega _{2}
& = \Big[
P(u(x,y),v(x,y),w(x,y))
\left( \frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial w}{\pa...
- \frac{\partial v}{\partial y}
\frac{\partial w}{\partial x}
\right) \\
& \ \ \ \ +
Q(u(x,y),v(x,y),w(x,y))
\left( \frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial u}{\pa...
- \frac{\partial w}{\partial y}
\frac{\partial u}{\partial x}
\right) \\
& \ \ \ \ +
R(u(x,y),v(x,y),w(x,y))
\left( \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\pa...
- \frac{\partial u}{\partial y}
\frac{\partial v}{\partial x}
\right) \Big]
dx \land dy \tag{9}
</tex>
式 $(9)$ の右辺も、確かに $x,y$ だけの関数で、 $M$ 上の二...
引き戻しをしても、外微分は不変であること
=========================================================...
一次微分形式と二次微分形式を例に、実際に微分形式に引き戻...
.. admonition:: corollary
引き戻しをしても、外微分は変わりません。
式で書くと、 $\omega$ を適当な微分形式として次式のように...
<tex>
d(\phi ^{*} \omega) = \phi ^{* } (d\omega) \tag{10}
</tex>
よく見れば(よく見なくても)、『外微分の座標不変性』で示...
.. [*] あまり数学的にドライに議論を進めていってしまうと、...
.. [*] 引き戻しとは、関数に関して、変数変換後(例では $N$...
.. _引き戻し: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialfo...
.. _`微分形式の引き戻し1`: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. 平面のグリーンの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/dif...
.. _外微分の座標不変性: http://www12.plala.or.jp/ksp/diff...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-13@@
@@category: 微分形式@@
@@id: DiffFormsPullback2@@
ページ名:
Modified by
物理のかぎプロジェクト
PukiWiki 1.4.6
Copyright © 2001-2005
PukiWiki Developers Team
. License is
GPL
.
Based on "PukiWiki" 1.3 by
yu-ji
Powered by PHP 5.3.29 HTML convert time to 0.002 sec.