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#rst2hooktail_source
=====================================================
微分形式
=====================================================
いよいよ、微分形式と呼ばれる量を導入します。こんなものを...
また、当面の間、三次元ユークリッド空間 $E^{3}$ の中だけで...
.. [*] 三次元ユークリッド空間で一番普通なのは直交座標を取...
外積代数の復習
=========================================================...
私達は、テンソル空間に次のようなルールを導入することで外...
1. $\alpha \land \alpha = 0$
2. $ \alpha \land \beta = - \beta \land \alpha$ (交代性)
3. $(a\alpha + b \beta )\land \gamma = a \alpha \land \g...
4. $n$ 次元ベクトル空間 $R^{n}$ に対して、 ${\rm dim}\l...
ここで行われている乗法 $\land$ を *ウェッジ積* もしくは *...
<tex>
1, \ x, \ y, \ z, \ x \land y, \ y \land z, \ z \land x, ...
</tex>
それ以外の積の形は、例えば $x \land x$ のように同じ元を含...
微分形式
=========================================================...
ここで一工夫して、 $R^{3}$ として、微小量 $dx,dy,dz$ が張...
<tex>
\land ^{0}R^{3}: \ \ \ 1 \tag{2-0}
</tex>
<tex>
\land ^{1}R^{3}: \ \ \ dx, \ dy, \ dz \tag{2-1}
</tex>
<tex>
\land ^{2}R^{3}: \ \ \ dx \land dy, \ dy \land dz, \ dz ...
</tex>
<tex>
\land ^{3}R^{3}: \ \ \ dx \land dy \land dz \tag{2-3}
</tex>
.. [*] $\land ^{0}R^{3}$ は単なる実数 $R$ です。実数体は...
これらを基底とするベクトル関数が微分形式です。ウェッジ積...
<tex>
\omega_2 (x,y,z) = P(x,y,z)dy\land z + Q(x,y,z)dz \land ...
</tex>
次の形のものは、 *一次微分形式* です。 $\land ^{1}R^{3}$ ...
<tex>
\omega_{1} (x,y,z) = f(x,y,z)dx + g(x,y,z)dy + h(x,y,z)...
</tex>
次の形のものは *三次微分形式* です。 $\land ^{3}R^{3}$ の...
<tex>
\omega_{3} (x,y,z) = \Theta (x,y,z) dx \land dy \land dz ...
</tex>
また、テンソル解析でスカラーのことを $0$ 次のテンソルだと...
<tex>
\omega_{0} = f(x,y,z) \ \ \ \ \ etc. \tag{6}
</tex>
三次元ユークリッド空間上の微分形式の定義はここまでです。...
.. admonition:: definition
【零次微分形式】
$\omega_{0} = f(x,y,z)$ (関数)
【一次微分形式】
$\omega_{1} (x,y,z) = f(x,y,z)dx + g(x,y,z)dy + h(x,y...
【二次微分形式】
$\omega_2 (x,y,z) = P(x,y,z)dy\land z + Q(x,y,z)dz \la...
【三次微分形式】
$\omega_{3} (x,y,z) = \Theta (x,y,z) dx \land dy \land ...
次のセクションに注意点と、これから勉強するポイントをまと...
.. [*] 関数( $0$ 次微分形式)と $1$ 次以上の微分形式の積...
.. [*] 細かいことを言えば、このセクションで考えたように、...
ポイント1
---------------------------------------------------------
上の例では、三次元ベクトル空間 $R^{3}$ から生成した微分形...
【 $k$ 次微分形式】
<tex>
\sum \limits _{H}a_{H}dx^{h_{1}} \land dx^{h_{2}} \land \...
</tex>
ただし、 $1 \le h_{1} \le h_{2} \le ... \le h_{k} \le n $...
ポイント2
-----------------------------------------------------------
ベクトル空間の基底として、なぜいきなり $(x,y,z)$ ではなく...
.. [*] 教科書によっては、『 $dx,dy,dz$ などはベクトル空間...
ポイント3
-----------------------------------------------------------
微小量の普通の積 $dxdy$ や $dxdydz$ と(これらは 面積分_ ...
<tex>
dxdy = dy dx
</tex>
<tex>
dx\land dy = - dy \land dx
</tex>
また、普通の積では $dxdx=dx^2$ ですが、微分形式では $dx \...
今までに勉強した内容で、ベクトル解析の積分公式には『積分...
.. [*] そもそも、外積代数はテンソル代数の特別な場合(交代...
ポイント4
-----------------------------------------------------------
外積代数には出てこなかった新しい概念に、 外微分_ がありま...
.. [*] 外積代数だけでも面白い代数構造をしてはいましたが、...
今のところ、 $dx,dy,dz$ などについている $d$ は単に微小量...
外微分については、おいおい勉強するとして、この外微分には...
.. [*] もちろん、ベクトルやテンソルだって、その『実体』と...
.. _マックスウェルの方程式: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _多様体の概念: http://www12.plala.or.jp/ksp/manifold/M...
.. _面積素と微分形式: http://www12.plala.or.jp/ksp/differ...
.. _微小量の積: http://www12.plala.or.jp/ksp/differential...
.. _外微分: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialform...
.. _イデアルで類別: http://www12.plala.or.jp/ksp/differen...
.. _面積分: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/S...
.. _体積分: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/S...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-13@@
@@category: 微分形式@@
@@id: DiffFormsDef@@
終了行:
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微分形式
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いよいよ、微分形式と呼ばれる量を導入します。こんなものを...
また、当面の間、三次元ユークリッド空間 $E^{3}$ の中だけで...
.. [*] 三次元ユークリッド空間で一番普通なのは直交座標を取...
外積代数の復習
=========================================================...
私達は、テンソル空間に次のようなルールを導入することで外...
1. $\alpha \land \alpha = 0$
2. $ \alpha \land \beta = - \beta \land \alpha$ (交代性)
3. $(a\alpha + b \beta )\land \gamma = a \alpha \land \g...
4. $n$ 次元ベクトル空間 $R^{n}$ に対して、 ${\rm dim}\l...
ここで行われている乗法 $\land$ を *ウェッジ積* もしくは *...
<tex>
1, \ x, \ y, \ z, \ x \land y, \ y \land z, \ z \land x, ...
</tex>
それ以外の積の形は、例えば $x \land x$ のように同じ元を含...
微分形式
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ここで一工夫して、 $R^{3}$ として、微小量 $dx,dy,dz$ が張...
<tex>
\land ^{0}R^{3}: \ \ \ 1 \tag{2-0}
</tex>
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\land ^{1}R^{3}: \ \ \ dx, \ dy, \ dz \tag{2-1}
</tex>
<tex>
\land ^{2}R^{3}: \ \ \ dx \land dy, \ dy \land dz, \ dz ...
</tex>
<tex>
\land ^{3}R^{3}: \ \ \ dx \land dy \land dz \tag{2-3}
</tex>
.. [*] $\land ^{0}R^{3}$ は単なる実数 $R$ です。実数体は...
これらを基底とするベクトル関数が微分形式です。ウェッジ積...
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\omega_2 (x,y,z) = P(x,y,z)dy\land z + Q(x,y,z)dz \land ...
</tex>
次の形のものは、 *一次微分形式* です。 $\land ^{1}R^{3}$ ...
<tex>
\omega_{1} (x,y,z) = f(x,y,z)dx + g(x,y,z)dy + h(x,y,z)...
</tex>
次の形のものは *三次微分形式* です。 $\land ^{3}R^{3}$ の...
<tex>
\omega_{3} (x,y,z) = \Theta (x,y,z) dx \land dy \land dz ...
</tex>
また、テンソル解析でスカラーのことを $0$ 次のテンソルだと...
<tex>
\omega_{0} = f(x,y,z) \ \ \ \ \ etc. \tag{6}
</tex>
三次元ユークリッド空間上の微分形式の定義はここまでです。...
.. admonition:: definition
【零次微分形式】
$\omega_{0} = f(x,y,z)$ (関数)
【一次微分形式】
$\omega_{1} (x,y,z) = f(x,y,z)dx + g(x,y,z)dy + h(x,y...
【二次微分形式】
$\omega_2 (x,y,z) = P(x,y,z)dy\land z + Q(x,y,z)dz \la...
【三次微分形式】
$\omega_{3} (x,y,z) = \Theta (x,y,z) dx \land dy \land ...
次のセクションに注意点と、これから勉強するポイントをまと...
.. [*] 関数( $0$ 次微分形式)と $1$ 次以上の微分形式の積...
.. [*] 細かいことを言えば、このセクションで考えたように、...
ポイント1
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上の例では、三次元ベクトル空間 $R^{3}$ から生成した微分形...
【 $k$ 次微分形式】
<tex>
\sum \limits _{H}a_{H}dx^{h_{1}} \land dx^{h_{2}} \land \...
</tex>
ただし、 $1 \le h_{1} \le h_{2} \le ... \le h_{k} \le n $...
ポイント2
-----------------------------------------------------------
ベクトル空間の基底として、なぜいきなり $(x,y,z)$ ではなく...
.. [*] 教科書によっては、『 $dx,dy,dz$ などはベクトル空間...
ポイント3
-----------------------------------------------------------
微小量の普通の積 $dxdy$ や $dxdydz$ と(これらは 面積分_ ...
<tex>
dxdy = dy dx
</tex>
<tex>
dx\land dy = - dy \land dx
</tex>
また、普通の積では $dxdx=dx^2$ ですが、微分形式では $dx \...
今までに勉強した内容で、ベクトル解析の積分公式には『積分...
.. [*] そもそも、外積代数はテンソル代数の特別な場合(交代...
ポイント4
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外積代数には出てこなかった新しい概念に、 外微分_ がありま...
.. [*] 外積代数だけでも面白い代数構造をしてはいましたが、...
今のところ、 $dx,dy,dz$ などについている $d$ は単に微小量...
外微分については、おいおい勉強するとして、この外微分には...
.. [*] もちろん、ベクトルやテンソルだって、その『実体』と...
.. _マックスウェルの方程式: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _多様体の概念: http://www12.plala.or.jp/ksp/manifold/M...
.. _面積素と微分形式: http://www12.plala.or.jp/ksp/differ...
.. _微小量の積: http://www12.plala.or.jp/ksp/differential...
.. _外微分: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialform...
.. _イデアルで類別: http://www12.plala.or.jp/ksp/differen...
.. _面積分: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/S...
.. _体積分: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/S...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-13@@
@@category: 微分形式@@
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