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非正規直交系に対するホッジ作用素
=========================================================...
この記事は下に挙げる参考文献『理論物理学のための幾何学と...
に解説されている「双対変換(Hodge作用素*)」を非正規直交系...
定義など基本的な事
=======================
まず、 $m$ 次元多様体 $M$ を考えます。 $r$ 形式 $\Omega^r...
<tex>
\varepsilon_{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_m} =
\begin{cases}
1 \ \ \ \ \ \ \ (\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_m) \mathrm{ \ is ...
-1 \ \ \ \ \ (\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_m) \mathrm{ \ is \ a...
0 \ \ \ \ \ \ \ (\mathrm{otherwise})
\end{cases}
\tag{##}
</tex>
ここで substitution とは置換のことを言っています。つまり...
さて、ここでホッジ作用素 $\ast: \Omega^r(M) \to \Omega^{m...
<tex>
\ast(dy^{\mu_1} \wedge dy^{\mu_2} \wedge \cdots \wedge dy...
</tex>
ここで、計量を $g_{\mu\nu}$ とし、 $g = \mathrm{det} g_{\...
<tex>
g^{\mu_1 \nu_1} \varepsilon_{\nu_1 \nu_2} = g^{\mu_1 1} \...
</tex>
を意味します。
なお、 $\ast 1$ に関しては、
<tex>
\ast1
&= \dfrac{\sqrt{|g|}}{m!} \varepsilon_{\nu_{1} \nu_{2} \c...
&= \sqrt{|g|} dy^{\nu_{1}} \wedge \cdots \wedge dy^{\nu_{...
</tex>
と定めます。これは座標系に依らないので不変体積要素と呼ば...
<tex>
\omega = \dfrac{1}{r!} \omega_{\mu_{1}\mu_{2} \cdots \mu_...
</tex>
に対しては、
<tex>
\ast \omega = \dfrac{1}{r!(m-r)!} \omega_{\mu_{1}\mu_{2} ...
</tex>
となっています。ここでホッジ作用素は、線形性とマイナス1...
線形性、
<tex>
\ast(c_1 \omega_1 + c_2 \omega_2) = c_1 \ast \omega_1 + c...
</tex>
リーマン多様体の時、( $j$ が偶数の時、)
<tex>
\ast \ast \omega = (-1)^{r(m-r)} \omega \tag{##}
</tex>
ローレンツ多様体の時、( $j$ が奇数の時、)
<tex>
\ast \ast \omega = (-1)^{r(m-r)+1} \omega \tag{##}
</tex>
実際に計算してみる1
=========================
ここで、実際に定義を具体例で計算してみてホッジ作用素がど...
つまり、三次元多様体上の一形式の双対変換です。一形式は $d...
<tex>
\ast(dy^1) &= \dfrac{\sqrt{|g|}}{(3-1)!} \times \\
&\left( g^{11} \varepsilon_{111} dy^1 \wedge dy^1 + g^{11...
&+ g^{11} \varepsilon_{113} dy^1 \wedge dy^3 + g^{11} \va...
&+ g^{11} \varepsilon_{122} dy^2 \wedge dy^2 + g^{11} \va...
&+ g^{11} \varepsilon_{131} dy^3 \wedge dy^1 + \cdots \\
&+ g^{12} \varepsilon_{211} dy^1 \wedge dy^1 + g^{12} \va...
&+ g^{12} \varepsilon_{213} dy^1 \wedge dy^3 + \cdots \\
&\left. \cdots + g^{13} \varepsilon_{333} dy^3 \wedge dy^...
\tag{##}
</tex>
となりますが、完全反対称テンソルがゼロにならないところだ...
<tex>
\ast(dy^1) &= \dfrac{\sqrt{|g|}}{2} \times \\
&\left( g^{11} \varepsilon_{123} dy^2 \wedge dy^3 + g^{11...
&+ g^{12} \varepsilon_{213} dy^1 \wedge dy^3 + g^{12} \va...
&\left. + g^{13} \varepsilon_{312} dy^1 \wedge dy^2 + g^{...
\tag{##}
</tex>
ここで $dy^1 \wedge dy^2 = -dy^2 \wedge dy^1$ ですから、...
<tex>
\ast(dy^1) &= \sqrt{|g|} \left( g^{11} dy^2 \wedge dy^3 +...
\tag{##}
</tex>
となります。正規直交系の時なら、
<tex>
\ast(dy^1) &= dy^2 \wedge dy^3 \tag{##}
</tex>
の様に単純だったのですが、非正規直交系と言うことで、式 $(...
本当にこんな汚くて $\ast \ast dy^1 = (-1)^{?} dy^1$ にな...
試しに $\ast (dy^2 \wedge dy^3)$ を計算してみます。ここで...
<tex>
\ast(dy^2 \wedge dy^3)
&= \dfrac{\sqrt{|g|}}{(3-2)!} \times \\
&\left( g^{21} g^{32} \varepsilon_{123} dy^3 + g^{22} g^{...
&+g^{21} g^{33} \varepsilon_{132} dy^2 + g^{23} g^{31} \v...
&\left. +g^{22} g^{33} \varepsilon_{231} dy^1 + g^{23} g^...
&= \sqrt{|g|} \left\{
\begin{vmatrix}
g^{22} & g^{23} \\
g^{32} & g^{33}
\end{vmatrix} dy^1
-\begin{vmatrix}
g^{21} & g^{23} \\
g^{31} & g^{33}
\end{vmatrix} dy^2
+\begin{vmatrix}
g^{21} & g^{22} \\
g^{31} & g^{32}
\end{vmatrix} dy^3 \right\}
\tag{##}
</tex>
となります。同様に
<tex>
\ast(dy^3 \wedge dy^1)
&= \sqrt{|g|} \left\{
-\begin{vmatrix}
g^{12} & g^{13} \\
g^{32} & g^{33}
\end{vmatrix} dy^1
+\begin{vmatrix}
g^{11} & g^{13} \\
g^{31} & g^{33}
\end{vmatrix} dy^2
-\begin{vmatrix}
g^{11} & g^{12} \\
g^{31} & g^{32}
\end{vmatrix} dy^3 \right\}
\tag{##}
</tex>
<tex>
\ast(dy^1 \wedge dy^2)
&= \sqrt{|g|} \left\{
\begin{vmatrix}
g^{12} & g^{13} \\
g^{22} & g^{23}
\end{vmatrix} dy^1
-\begin{vmatrix}
g^{11} & g^{13} \\
g^{21} & g^{23}
\end{vmatrix} dy^2
+\begin{vmatrix}
g^{11} & g^{12} \\
g^{21} & g^{22}
\end{vmatrix} dy^3 \right\}
\tag{##}
</tex>
では、式 $(12)$ にさらに $\ast$ を作用させた式に代入して...
<tex>
\ast \ast(dy^1)
&= \sqrt{|g|} \left( g^{11} \ast( dy^2 \wedge dy^3 ) + g^...
&= \sqrt{|g|} \left( g^{11} \ast( dy^2 \wedge dy^3 )+ g^{...
&= \sqrt{|g|}^2
\left(
\begin{vmatrix}
g^{11} & g^{12} & g^{13} \\
g^{21} & g^{22} & g^{23} \\
g^{31} & g^{32} & g^{33}
\end{vmatrix} dy^1
-\begin{vmatrix}
g^{11} & g^{11} & g^{13} \\
g^{21} & g^{21} & g^{23} \\
g^{31} & g^{31} & g^{33}
\end{vmatrix} dy^2
+
\begin{vmatrix}
g^{11} & g^{11} & g^{12} \\
g^{21} & g^{21} & g^{22} \\
g^{31} & g^{31} & g^{32}
\end{vmatrix} dy^3 \right)
\tag{##}
</tex>
ここで、 $g_{\mu \nu}$ の逆行列は $g^{\mu \nu}$ ですから...
<tex>
|g| \times
\begin{vmatrix}
g^{11} & g^{12} & g^{13} \\
g^{21} & g^{22} & g^{23} \\
g^{31} & g^{32} & g^{33}
\end{vmatrix}
= |g| \times g^{-1} = (-1)^?
\tag{##}
</tex>
となります。例えばリーマン多様体とすると、確かに
<tex>
\ast \ast(dy^1) = (-1)^{1(3-1)} dy^1 = dy^1
\tag{##}
</tex>
が成立していることが分かります。
実際に計算してみる2
=========================
ここで、今度は多様体の次元 $m=2$ とし、正規直交ベクトルの...
非正規直交ベクトルの双対の一形式を $dy^i \ (i=1,2)$ とし、
<tex>
dy^1 = p^1_1 dx^1 +p^1_2 dx^2 \\
dy^2 = p^2_1 dx^1 +p^2_2 dx^2 \tag{##}
</tex>
で、 $dy^1,dy^2$ を右手系とします。つまり、 $p^1_1 p^2_2 ...
とすると、
<tex>
\begin{pmatrix}
g^{11} & g^{12} \\
g^{21} & g^{22}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
dy^1 \cdot dy^1 & dy^1 \cdot dy^2 \\
dy^2 \cdot dy^1 & dy^2 \cdot dy^2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
(p^1_1)^2 +(p^1_2)^2 & p^1_1 p^2_1 + p^1_2 p^2_2 \\
p^1_1 p^2_1 + p^1_2 p^2_2 & (p^2_1)^2 +(p^2_2)^2
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
であり、
<tex>
\mathrm{det} g^{\mu \nu} = g^{-1} = g^{11} g^{22} - g^{12...
\tag{##}
</tex>
となります。
ここで、疑問が一つ出てきます。例えば $r=1$ つまり、1形式...
<tex>
\ast dy^1 =? \ast (p^1_1 dx^1 + p^1_2 dx^2) \tag{##}
</tex>
の等号は成立するのでしょうか?
実際に計算して一致を確かめましょう。
(1)*(p1dx1+p2dx2)の計算
---------------------------
これは簡単です。
<tex>
\ast (p^1_1 dx^1 + p^1_2 dx^2) = - p^1_2 dx^1 + p^1_1 dx^2
\tag{##}
</tex>
となります。
(1)*dyの計算
----------------
定義式、式 $(2)$ より、リーマン多様体(固有値が全て正)だ...
<tex>
\ast dy^1 &= \dfrac{\sqrt{g}}{(2-1)!}\left( g^{12} \varep...
&= \sqrt{g} \left( g^{12} \varepsilon_{21} dy^1 + g^{11} ...
&= \sqrt{g} \left( -g^{12} (p^1_1 dx^1 +p^1_2 dx^2) + g^{...
&= \sqrt{g} \left( (g^{11} p^2_1 - g^{12} p^1_1) dx^1 + (...
</tex>
式 $(21)$ から、
<tex>
g^{11} &= (p^1_1)^2 + (p^1_2)^2 \\
g^{12} &= p^1_1 p^2_1 + p^1_2 p^2_2
\tag{##}
</tex>
ですから、
<tex>
(g^{11} p^2_1 - g^{12} p^1_1)
&= \left( \left\{ (p^1_1)^2 + (p^1_2)^2 \right\} p^2_1 - ...
&= p^1_2 \left( p^1_2 p^2_1 - p^1_1 p^2_2 \right) \\
&= - \sqrt{g^{-1}} p^1_2
\tag{##}
</tex>
と、
<tex>
(g^{11} p^2_2 - g^{12} p^1_2)
&= \left( \left\{ (p^1_1)^2 + (p^1_2)^2 \right\} p^2_2 - ...
&= p^1_1 \left( p^1_2 p^2_1 - p^1_1 p^2_2 \right) \\
&= \sqrt{g^{-1}} p^1_1
\tag{##}
</tex>
を使って、
<tex>
\ast dy^1 &= \sqrt{g} \sqrt{g^{-1}}(- p^1_2 dx^1 + p^1_1 ...
&= - p^1_2 dx^1 + p^1_1 dx^2
\tag{##}
</tex>
が言えました。確かにどちらの計算も同じになりますね。
今日はここまで、お疲れさまでした!
@@reference: 中原幹夫 佐久間一浩,理論物理学のための幾何学...
@@reference: 中原幹夫 佐久間一浩,理論物理学のための幾何学...
@@author:クロメル@@
@@accept:2019-08-27@@
@@category:微分・位相幾何学@@
@@id:hodgeNonOrthoNormal@@
終了行:
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=========================================================...
非正規直交系に対するホッジ作用素
=========================================================...
この記事は下に挙げる参考文献『理論物理学のための幾何学と...
に解説されている「双対変換(Hodge作用素*)」を非正規直交系...
定義など基本的な事
=======================
まず、 $m$ 次元多様体 $M$ を考えます。 $r$ 形式 $\Omega^r...
<tex>
\varepsilon_{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_m} =
\begin{cases}
1 \ \ \ \ \ \ \ (\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_m) \mathrm{ \ is ...
-1 \ \ \ \ \ (\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_m) \mathrm{ \ is \ a...
0 \ \ \ \ \ \ \ (\mathrm{otherwise})
\end{cases}
\tag{##}
</tex>
ここで substitution とは置換のことを言っています。つまり...
さて、ここでホッジ作用素 $\ast: \Omega^r(M) \to \Omega^{m...
<tex>
\ast(dy^{\mu_1} \wedge dy^{\mu_2} \wedge \cdots \wedge dy...
</tex>
ここで、計量を $g_{\mu\nu}$ とし、 $g = \mathrm{det} g_{\...
<tex>
g^{\mu_1 \nu_1} \varepsilon_{\nu_1 \nu_2} = g^{\mu_1 1} \...
</tex>
を意味します。
なお、 $\ast 1$ に関しては、
<tex>
\ast1
&= \dfrac{\sqrt{|g|}}{m!} \varepsilon_{\nu_{1} \nu_{2} \c...
&= \sqrt{|g|} dy^{\nu_{1}} \wedge \cdots \wedge dy^{\nu_{...
</tex>
と定めます。これは座標系に依らないので不変体積要素と呼ば...
<tex>
\omega = \dfrac{1}{r!} \omega_{\mu_{1}\mu_{2} \cdots \mu_...
</tex>
に対しては、
<tex>
\ast \omega = \dfrac{1}{r!(m-r)!} \omega_{\mu_{1}\mu_{2} ...
</tex>
となっています。ここでホッジ作用素は、線形性とマイナス1...
線形性、
<tex>
\ast(c_1 \omega_1 + c_2 \omega_2) = c_1 \ast \omega_1 + c...
</tex>
リーマン多様体の時、( $j$ が偶数の時、)
<tex>
\ast \ast \omega = (-1)^{r(m-r)} \omega \tag{##}
</tex>
ローレンツ多様体の時、( $j$ が奇数の時、)
<tex>
\ast \ast \omega = (-1)^{r(m-r)+1} \omega \tag{##}
</tex>
実際に計算してみる1
=========================
ここで、実際に定義を具体例で計算してみてホッジ作用素がど...
つまり、三次元多様体上の一形式の双対変換です。一形式は $d...
<tex>
\ast(dy^1) &= \dfrac{\sqrt{|g|}}{(3-1)!} \times \\
&\left( g^{11} \varepsilon_{111} dy^1 \wedge dy^1 + g^{11...
&+ g^{11} \varepsilon_{113} dy^1 \wedge dy^3 + g^{11} \va...
&+ g^{11} \varepsilon_{122} dy^2 \wedge dy^2 + g^{11} \va...
&+ g^{11} \varepsilon_{131} dy^3 \wedge dy^1 + \cdots \\
&+ g^{12} \varepsilon_{211} dy^1 \wedge dy^1 + g^{12} \va...
&+ g^{12} \varepsilon_{213} dy^1 \wedge dy^3 + \cdots \\
&\left. \cdots + g^{13} \varepsilon_{333} dy^3 \wedge dy^...
\tag{##}
</tex>
となりますが、完全反対称テンソルがゼロにならないところだ...
<tex>
\ast(dy^1) &= \dfrac{\sqrt{|g|}}{2} \times \\
&\left( g^{11} \varepsilon_{123} dy^2 \wedge dy^3 + g^{11...
&+ g^{12} \varepsilon_{213} dy^1 \wedge dy^3 + g^{12} \va...
&\left. + g^{13} \varepsilon_{312} dy^1 \wedge dy^2 + g^{...
\tag{##}
</tex>
ここで $dy^1 \wedge dy^2 = -dy^2 \wedge dy^1$ ですから、...
<tex>
\ast(dy^1) &= \sqrt{|g|} \left( g^{11} dy^2 \wedge dy^3 +...
\tag{##}
</tex>
となります。正規直交系の時なら、
<tex>
\ast(dy^1) &= dy^2 \wedge dy^3 \tag{##}
</tex>
の様に単純だったのですが、非正規直交系と言うことで、式 $(...
本当にこんな汚くて $\ast \ast dy^1 = (-1)^{?} dy^1$ にな...
試しに $\ast (dy^2 \wedge dy^3)$ を計算してみます。ここで...
<tex>
\ast(dy^2 \wedge dy^3)
&= \dfrac{\sqrt{|g|}}{(3-2)!} \times \\
&\left( g^{21} g^{32} \varepsilon_{123} dy^3 + g^{22} g^{...
&+g^{21} g^{33} \varepsilon_{132} dy^2 + g^{23} g^{31} \v...
&\left. +g^{22} g^{33} \varepsilon_{231} dy^1 + g^{23} g^...
&= \sqrt{|g|} \left\{
\begin{vmatrix}
g^{22} & g^{23} \\
g^{32} & g^{33}
\end{vmatrix} dy^1
-\begin{vmatrix}
g^{21} & g^{23} \\
g^{31} & g^{33}
\end{vmatrix} dy^2
+\begin{vmatrix}
g^{21} & g^{22} \\
g^{31} & g^{32}
\end{vmatrix} dy^3 \right\}
\tag{##}
</tex>
となります。同様に
<tex>
\ast(dy^3 \wedge dy^1)
&= \sqrt{|g|} \left\{
-\begin{vmatrix}
g^{12} & g^{13} \\
g^{32} & g^{33}
\end{vmatrix} dy^1
+\begin{vmatrix}
g^{11} & g^{13} \\
g^{31} & g^{33}
\end{vmatrix} dy^2
-\begin{vmatrix}
g^{11} & g^{12} \\
g^{31} & g^{32}
\end{vmatrix} dy^3 \right\}
\tag{##}
</tex>
<tex>
\ast(dy^1 \wedge dy^2)
&= \sqrt{|g|} \left\{
\begin{vmatrix}
g^{12} & g^{13} \\
g^{22} & g^{23}
\end{vmatrix} dy^1
-\begin{vmatrix}
g^{11} & g^{13} \\
g^{21} & g^{23}
\end{vmatrix} dy^2
+\begin{vmatrix}
g^{11} & g^{12} \\
g^{21} & g^{22}
\end{vmatrix} dy^3 \right\}
\tag{##}
</tex>
では、式 $(12)$ にさらに $\ast$ を作用させた式に代入して...
<tex>
\ast \ast(dy^1)
&= \sqrt{|g|} \left( g^{11} \ast( dy^2 \wedge dy^3 ) + g^...
&= \sqrt{|g|} \left( g^{11} \ast( dy^2 \wedge dy^3 )+ g^{...
&= \sqrt{|g|}^2
\left(
\begin{vmatrix}
g^{11} & g^{12} & g^{13} \\
g^{21} & g^{22} & g^{23} \\
g^{31} & g^{32} & g^{33}
\end{vmatrix} dy^1
-\begin{vmatrix}
g^{11} & g^{11} & g^{13} \\
g^{21} & g^{21} & g^{23} \\
g^{31} & g^{31} & g^{33}
\end{vmatrix} dy^2
+
\begin{vmatrix}
g^{11} & g^{11} & g^{12} \\
g^{21} & g^{21} & g^{22} \\
g^{31} & g^{31} & g^{32}
\end{vmatrix} dy^3 \right)
\tag{##}
</tex>
ここで、 $g_{\mu \nu}$ の逆行列は $g^{\mu \nu}$ ですから...
<tex>
|g| \times
\begin{vmatrix}
g^{11} & g^{12} & g^{13} \\
g^{21} & g^{22} & g^{23} \\
g^{31} & g^{32} & g^{33}
\end{vmatrix}
= |g| \times g^{-1} = (-1)^?
\tag{##}
</tex>
となります。例えばリーマン多様体とすると、確かに
<tex>
\ast \ast(dy^1) = (-1)^{1(3-1)} dy^1 = dy^1
\tag{##}
</tex>
が成立していることが分かります。
実際に計算してみる2
=========================
ここで、今度は多様体の次元 $m=2$ とし、正規直交ベクトルの...
非正規直交ベクトルの双対の一形式を $dy^i \ (i=1,2)$ とし、
<tex>
dy^1 = p^1_1 dx^1 +p^1_2 dx^2 \\
dy^2 = p^2_1 dx^1 +p^2_2 dx^2 \tag{##}
</tex>
で、 $dy^1,dy^2$ を右手系とします。つまり、 $p^1_1 p^2_2 ...
とすると、
<tex>
\begin{pmatrix}
g^{11} & g^{12} \\
g^{21} & g^{22}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
dy^1 \cdot dy^1 & dy^1 \cdot dy^2 \\
dy^2 \cdot dy^1 & dy^2 \cdot dy^2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
(p^1_1)^2 +(p^1_2)^2 & p^1_1 p^2_1 + p^1_2 p^2_2 \\
p^1_1 p^2_1 + p^1_2 p^2_2 & (p^2_1)^2 +(p^2_2)^2
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
であり、
<tex>
\mathrm{det} g^{\mu \nu} = g^{-1} = g^{11} g^{22} - g^{12...
\tag{##}
</tex>
となります。
ここで、疑問が一つ出てきます。例えば $r=1$ つまり、1形式...
<tex>
\ast dy^1 =? \ast (p^1_1 dx^1 + p^1_2 dx^2) \tag{##}
</tex>
の等号は成立するのでしょうか?
実際に計算して一致を確かめましょう。
(1)*(p1dx1+p2dx2)の計算
---------------------------
これは簡単です。
<tex>
\ast (p^1_1 dx^1 + p^1_2 dx^2) = - p^1_2 dx^1 + p^1_1 dx^2
\tag{##}
</tex>
となります。
(1)*dyの計算
----------------
定義式、式 $(2)$ より、リーマン多様体(固有値が全て正)だ...
<tex>
\ast dy^1 &= \dfrac{\sqrt{g}}{(2-1)!}\left( g^{12} \varep...
&= \sqrt{g} \left( g^{12} \varepsilon_{21} dy^1 + g^{11} ...
&= \sqrt{g} \left( -g^{12} (p^1_1 dx^1 +p^1_2 dx^2) + g^{...
&= \sqrt{g} \left( (g^{11} p^2_1 - g^{12} p^1_1) dx^1 + (...
</tex>
式 $(21)$ から、
<tex>
g^{11} &= (p^1_1)^2 + (p^1_2)^2 \\
g^{12} &= p^1_1 p^2_1 + p^1_2 p^2_2
\tag{##}
</tex>
ですから、
<tex>
(g^{11} p^2_1 - g^{12} p^1_1)
&= \left( \left\{ (p^1_1)^2 + (p^1_2)^2 \right\} p^2_1 - ...
&= p^1_2 \left( p^1_2 p^2_1 - p^1_1 p^2_2 \right) \\
&= - \sqrt{g^{-1}} p^1_2
\tag{##}
</tex>
と、
<tex>
(g^{11} p^2_2 - g^{12} p^1_2)
&= \left( \left\{ (p^1_1)^2 + (p^1_2)^2 \right\} p^2_2 - ...
&= p^1_1 \left( p^1_2 p^2_1 - p^1_1 p^2_2 \right) \\
&= \sqrt{g^{-1}} p^1_1
\tag{##}
</tex>
を使って、
<tex>
\ast dy^1 &= \sqrt{g} \sqrt{g^{-1}}(- p^1_2 dx^1 + p^1_1 ...
&= - p^1_2 dx^1 + p^1_1 dx^2
\tag{##}
</tex>
が言えました。確かにどちらの計算も同じになりますね。
今日はここまで、お疲れさまでした!
@@reference: 中原幹夫 佐久間一浩,理論物理学のための幾何学...
@@reference: 中原幹夫 佐久間一浩,理論物理学のための幾何学...
@@author:クロメル@@
@@accept:2019-08-27@@
@@category:微分・位相幾何学@@
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