記事ソース/半値全幅(FWHM)と分散の関係
をテンプレートにして作成
査読
rst2hooktail
進行表
執筆中
かぎマニュ
物理のかぎプロジェクト
トップ
最近の更新
ヘルプ
開始行:
#rst2hooktail_source
=============================
半値全幅(FWHM)と分散の関係
=============================
ここではガウス分布(正規分布)に現れる分散 $\sigma^2$ と、...
-------------------------
ガウス分布
-------------------------
ガウス分布は正規分布とも呼ばれる、次のような形で表される...
<tex>
G_{X,\sigma} (x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp \left...
</tex>
$\sigma^2$ は分散といいます。ガウス分布は $x = X$ を中心...
.. figure:: co-gauss01.png
ガウス分布
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
幅のパラメータ
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
$x = X + \sigma$ は $G_{X,\sigma} (x)$ の変曲点になってい...
ガウス分布は全範囲にわたって積分すると $1$ になるように規...
$X-\sigma \leq x \leq X+\sigma$ の範囲で積分すると、 $0.6...
通常、ガウス分布の幅はこの $\sigma$ を用いて表されます。
したがって、 $\sigma$ は **幅のパラメータ** とも呼ばれま...
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
半値全幅
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
もうひとつ、ガウス分布の幅を表すのによく用いられるものが...
それが半値全幅(FWHM - Full Width at Half Maximum)です。
FWHM は図のようにガウス分布の最大値のちょうど半分の値をと...
.. figure:: co-gauss02.png
FWHM
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
$\sigma$ と FWHM の関係
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
それでは $\sigma$ と FWHM がどのような関係になっているの...
まず、FWHM の定義から
<tex>
G_{X,\sigma} \left( X + \frac{\rm{FWHM}}{2} \right) = \fr...
</tex>
が成り立ちます。(#ref(eq02)) に (#ref(def-gauss)) を代入...
<tex>
\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{\rm{FWHM}^2}...
</tex>
<tex>
\exp\left(-\frac{\rm{FWHM}^2}{8\sigma^2}\right) = \frac{1...
</tex>
<tex>
\frac{\rm{FWHM^2}}{8\sigma^2} = \ln 2
</tex>
<tex>
\rm{FWHM}^2 = 8\sigma^2 \ln 2
</tex>
FWHM は幅を表すので正号をとって
<tex>
\rm{FWHM} = 2\sigma\sqrt{2 \ln 2} \tag{#def(eq03)}
</tex>
となります。
式 (#ref(eq03)) は大雑把に計算すると
<tex>
\rm{FWHM} \simeq 2.35 \sigma
</tex>
です。もっと大雑把に言えば、FWHM は $\sigma$ の約二倍です。
この関係は覚えておくと良いでしょう。
@@author: CO@@
@@accept: 2006-7-16@@
@@category: 物理数学@@
@@id: fwhmsigma@@
終了行:
#rst2hooktail_source
=============================
半値全幅(FWHM)と分散の関係
=============================
ここではガウス分布(正規分布)に現れる分散 $\sigma^2$ と、...
-------------------------
ガウス分布
-------------------------
ガウス分布は正規分布とも呼ばれる、次のような形で表される...
<tex>
G_{X,\sigma} (x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp \left...
</tex>
$\sigma^2$ は分散といいます。ガウス分布は $x = X$ を中心...
.. figure:: co-gauss01.png
ガウス分布
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
幅のパラメータ
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
$x = X + \sigma$ は $G_{X,\sigma} (x)$ の変曲点になってい...
ガウス分布は全範囲にわたって積分すると $1$ になるように規...
$X-\sigma \leq x \leq X+\sigma$ の範囲で積分すると、 $0.6...
通常、ガウス分布の幅はこの $\sigma$ を用いて表されます。
したがって、 $\sigma$ は **幅のパラメータ** とも呼ばれま...
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
半値全幅
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
もうひとつ、ガウス分布の幅を表すのによく用いられるものが...
それが半値全幅(FWHM - Full Width at Half Maximum)です。
FWHM は図のようにガウス分布の最大値のちょうど半分の値をと...
.. figure:: co-gauss02.png
FWHM
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
$\sigma$ と FWHM の関係
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
それでは $\sigma$ と FWHM がどのような関係になっているの...
まず、FWHM の定義から
<tex>
G_{X,\sigma} \left( X + \frac{\rm{FWHM}}{2} \right) = \fr...
</tex>
が成り立ちます。(#ref(eq02)) に (#ref(def-gauss)) を代入...
<tex>
\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{\rm{FWHM}^2}...
</tex>
<tex>
\exp\left(-\frac{\rm{FWHM}^2}{8\sigma^2}\right) = \frac{1...
</tex>
<tex>
\frac{\rm{FWHM^2}}{8\sigma^2} = \ln 2
</tex>
<tex>
\rm{FWHM}^2 = 8\sigma^2 \ln 2
</tex>
FWHM は幅を表すので正号をとって
<tex>
\rm{FWHM} = 2\sigma\sqrt{2 \ln 2} \tag{#def(eq03)}
</tex>
となります。
式 (#ref(eq03)) は大雑把に計算すると
<tex>
\rm{FWHM} \simeq 2.35 \sigma
</tex>
です。もっと大雑把に言えば、FWHM は $\sigma$ の約二倍です。
この関係は覚えておくと良いでしょう。
@@author: CO@@
@@accept: 2006-7-16@@
@@category: 物理数学@@
@@id: fwhmsigma@@
ページ名:
Modified by
物理のかぎプロジェクト
PukiWiki 1.4.6
Copyright © 2001-2005
PukiWiki Developers Team
. License is
GPL
.
Based on "PukiWiki" 1.3 by
yu-ji
Powered by PHP 5.3.29 HTML convert time to 0.116 sec.