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二変数のテイラー展開
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この記事では、任意回数だけ微分できる普通の二変数関数のテ...
<tex>
f(x+ \delta x , y + \delta y) = \sum_{i,j=0}^{\infty} \df...
</tex>
を直観的に理解する為に書きます。厳密性は置いておきます(...
一変数のテイラー展開(復習)
==============================
まず、一変数のテイラー展開を復習しておきます。
<tex>
f(x+ \delta x ) &= f(x) + \dfrac{f^\prime(x)}{1!}\delta x...
&= \sum_{i=0}^\infty \dfrac{(\dfrac{d}{dx})^i f(x)}{i!}(\...
</tex>
これはいいでしょうか?おそらく気になるところと言えば、分...
二変数のテイラー展開
================================
さて、これを拡張しましょう。
<tex>
f(x + \delta x, y + \delta y) = ? \tag{##}
</tex>
を展開するわけです。 $y$ の変化は取りあえず置いておいて、...
<tex>
f(x + \delta x, y + \delta y) = f(x , y+\delta y) + \dfra...
</tex>
ここで、今度は $y$ 方向の展開をそれぞれの項について考えて...
ここでは4次まで書いて行こうと思います。
<tex>
f(x , y+\delta y) = f(x,y) + \dfrac{\partial_y f(x , y)}{...
</tex>
次に式 $(4)$ の右辺第二項を展開します。
<tex>
\dfrac{\partial_x f(x , y+\delta y)}{1!} = \dfrac{\partia...
</tex>
同様に第三項以降も展開します。
<tex>
\dfrac{\partial_x^2 f(x , y+\delta y)}{2!} = \dfrac{\part...
</tex>
<tex>
\dfrac{\partial_x^3 f(x , y+\delta y)}{3!} = \dfrac{\part...
</tex>
<tex>
\dfrac{\partial_x^4 f(x , y+\delta y)}{4!} = \dfrac{\part...
</tex>
よって、これらを合わせると、
<tex>
f(x + \delta x, y + \delta y) &= f(x,y) + \dfrac{\partial...
&+ \dfrac{\partial_x f(x , y)}{1!}\delta x + \dfrac{\part...
&+ \dfrac{\partial_x^2 f(x , y)}{2!}(\delta x)^2 + \dfrac...
&+ \dfrac{\partial_x^3 f(x , y)}{3!}(\delta x)^3 + \dfrac...
&+ \dfrac{\partial_x^4 f(x , y)}{4!}(\delta x)^4 + \cdots...
</tex>
この展開の中で二つとして同じ項はありません。
よって、式 $(1)$ の直観的理解は達成されたと思います。
今日はここまで。お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2018-02-03@@
@@category:物理数学@@
@@id:taylorMultivariable@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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二変数のテイラー展開
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この記事では、任意回数だけ微分できる普通の二変数関数のテ...
<tex>
f(x+ \delta x , y + \delta y) = \sum_{i,j=0}^{\infty} \df...
</tex>
を直観的に理解する為に書きます。厳密性は置いておきます(...
一変数のテイラー展開(復習)
==============================
まず、一変数のテイラー展開を復習しておきます。
<tex>
f(x+ \delta x ) &= f(x) + \dfrac{f^\prime(x)}{1!}\delta x...
&= \sum_{i=0}^\infty \dfrac{(\dfrac{d}{dx})^i f(x)}{i!}(\...
</tex>
これはいいでしょうか?おそらく気になるところと言えば、分...
二変数のテイラー展開
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さて、これを拡張しましょう。
<tex>
f(x + \delta x, y + \delta y) = ? \tag{##}
</tex>
を展開するわけです。 $y$ の変化は取りあえず置いておいて、...
<tex>
f(x + \delta x, y + \delta y) = f(x , y+\delta y) + \dfra...
</tex>
ここで、今度は $y$ 方向の展開をそれぞれの項について考えて...
ここでは4次まで書いて行こうと思います。
<tex>
f(x , y+\delta y) = f(x,y) + \dfrac{\partial_y f(x , y)}{...
</tex>
次に式 $(4)$ の右辺第二項を展開します。
<tex>
\dfrac{\partial_x f(x , y+\delta y)}{1!} = \dfrac{\partia...
</tex>
同様に第三項以降も展開します。
<tex>
\dfrac{\partial_x^2 f(x , y+\delta y)}{2!} = \dfrac{\part...
</tex>
<tex>
\dfrac{\partial_x^3 f(x , y+\delta y)}{3!} = \dfrac{\part...
</tex>
<tex>
\dfrac{\partial_x^4 f(x , y+\delta y)}{4!} = \dfrac{\part...
</tex>
よって、これらを合わせると、
<tex>
f(x + \delta x, y + \delta y) &= f(x,y) + \dfrac{\partial...
&+ \dfrac{\partial_x f(x , y)}{1!}\delta x + \dfrac{\part...
&+ \dfrac{\partial_x^2 f(x , y)}{2!}(\delta x)^2 + \dfrac...
&+ \dfrac{\partial_x^3 f(x , y)}{3!}(\delta x)^3 + \dfrac...
&+ \dfrac{\partial_x^4 f(x , y)}{4!}(\delta x)^4 + \cdots...
</tex>
この展開の中で二つとして同じ項はありません。
よって、式 $(1)$ の直観的理解は達成されたと思います。
今日はここまで。お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2018-02-03@@
@@category:物理数学@@
@@id:taylorMultivariable@@
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