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========================================
二次元ラプラス方程式のグリーン関数の確認
========================================
二次元ラプラシアンのグリーン関数は
<tex>
\triangle G(\bm{r}) = - \delta(\bm{r}) \tag{##}
</tex>
に対して、
<tex>
G(\bm{r}-\bm{r}^\prime) = \dfrac{1}{2 \pi } \ln \left( \d...
</tex>
ですね。ただ、ここまでは良く本に書いてあるのですが、どう...
二次元のグリーン関数
====================
まず、簡単の為、式(2)に平行移動を施して、原点で特異性を持...
まずは準備体操です。次を求めます。
<tex>
&\dfrac{\partial}{\partial x} \ln \left( \dfrac{1}{r} \ri...
&= \dfrac{\partial}{\partial(1/r)}\ln \left( \dfrac{1}{r}...
&= r \cdot -\dfrac{1}{r^2} \cdot \dfrac{x}{r} \\
&= -\dfrac{x}{r^2} \tag{##}
</tex>
よって、さらにxで偏微分すると、
<tex>
\dfrac{\partial}{\partial x} \left( -\dfrac{x}{r^2} \righ...
&= 2 \dfrac{x^2}{r^4} - \dfrac{1}{r^2}
</tex>
yでの偏微分も同様なので、 $\triangle \ln \left( \dfrac{1}...
<tex>
\triangle \ln \left( \dfrac{1}{r} \right) &= \left( \dfra...
&= 2 \dfrac{x^2}{r^4} - \dfrac{1}{r^2} + 2 \dfrac{y^2}{r^...
&= 0 \tag{##}
</tex>
となります。よって、グリーン関数のラプラシアンを取った結...
グリーンの公式
==============
以下でグリーンの公式を証明なしでもちいます。その公式とは、
<tex>
&\iint \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} + \dfrac{\pa...
&= \oint fdy - gdx \tag{##}
</tex>
です。これに $f=-\dfrac{x}{r^2}$ , $g=-\dfrac{y}{r^2}$ を...
<tex>
\iint \triangle \ln \left( \dfrac{1}{r} \right) dxdy &= \...
&= \oint \dfrac{-x}{r^2} dy - \dfrac{-y}{r^2} dx \tag{##}
</tex>
ここで、極座標を持ち出します。
<tex>
x &= r \cos \theta \tag{##} \\
y &= r \sin \theta \tag{##}
</tex>
<tex>
\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
\dfrac{dx}{dr} & \dfrac{dx}{d\theta} \\
\dfrac{dy}{dr} & \dfrac{dy}{d\theta}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \end{pmatrix}...
&=\begin{pmatrix}
\cos \theta & -r \sin \theta \\
\sin \theta & r \cos \theta
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \end{pmatrix}...
</tex>
ですから、これらを式(6)に代入すれば、
<tex>
\iint \triangle \ln \left( \dfrac{1}{r} \right) dxdy &= \...
&= \int_{0}^{2 \pi} -1 d \theta \\
&= -2 \pi \tag{##}
</tex>
となります。よって、積分範囲が原点を含むなら、
<tex>
\iint \triangle G dS &= \dfrac{1}{2 \pi} \iint \triangle ...
&= -1 \tag{##}
</tex>
となり、確かに
<tex>
\triangle G(r) = -\delta(r) \tag{##}
</tex>
が確認できました。
今日はここまで。お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2015-10-08@@
@@category:物理数学@@
@@id:2DimGreen@@
終了行:
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二次元ラプラス方程式のグリーン関数の確認
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二次元ラプラシアンのグリーン関数は
<tex>
\triangle G(\bm{r}) = - \delta(\bm{r}) \tag{##}
</tex>
に対して、
<tex>
G(\bm{r}-\bm{r}^\prime) = \dfrac{1}{2 \pi } \ln \left( \d...
</tex>
ですね。ただ、ここまでは良く本に書いてあるのですが、どう...
二次元のグリーン関数
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まず、簡単の為、式(2)に平行移動を施して、原点で特異性を持...
まずは準備体操です。次を求めます。
<tex>
&\dfrac{\partial}{\partial x} \ln \left( \dfrac{1}{r} \ri...
&= \dfrac{\partial}{\partial(1/r)}\ln \left( \dfrac{1}{r}...
&= r \cdot -\dfrac{1}{r^2} \cdot \dfrac{x}{r} \\
&= -\dfrac{x}{r^2} \tag{##}
</tex>
よって、さらにxで偏微分すると、
<tex>
\dfrac{\partial}{\partial x} \left( -\dfrac{x}{r^2} \righ...
&= 2 \dfrac{x^2}{r^4} - \dfrac{1}{r^2}
</tex>
yでの偏微分も同様なので、 $\triangle \ln \left( \dfrac{1}...
<tex>
\triangle \ln \left( \dfrac{1}{r} \right) &= \left( \dfra...
&= 2 \dfrac{x^2}{r^4} - \dfrac{1}{r^2} + 2 \dfrac{y^2}{r^...
&= 0 \tag{##}
</tex>
となります。よって、グリーン関数のラプラシアンを取った結...
グリーンの公式
==============
以下でグリーンの公式を証明なしでもちいます。その公式とは、
<tex>
&\iint \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} + \dfrac{\pa...
&= \oint fdy - gdx \tag{##}
</tex>
です。これに $f=-\dfrac{x}{r^2}$ , $g=-\dfrac{y}{r^2}$ を...
<tex>
\iint \triangle \ln \left( \dfrac{1}{r} \right) dxdy &= \...
&= \oint \dfrac{-x}{r^2} dy - \dfrac{-y}{r^2} dx \tag{##}
</tex>
ここで、極座標を持ち出します。
<tex>
x &= r \cos \theta \tag{##} \\
y &= r \sin \theta \tag{##}
</tex>
<tex>
\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
\dfrac{dx}{dr} & \dfrac{dx}{d\theta} \\
\dfrac{dy}{dr} & \dfrac{dy}{d\theta}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \end{pmatrix}...
&=\begin{pmatrix}
\cos \theta & -r \sin \theta \\
\sin \theta & r \cos \theta
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \end{pmatrix}...
</tex>
ですから、これらを式(6)に代入すれば、
<tex>
\iint \triangle \ln \left( \dfrac{1}{r} \right) dxdy &= \...
&= \int_{0}^{2 \pi} -1 d \theta \\
&= -2 \pi \tag{##}
</tex>
となります。よって、積分範囲が原点を含むなら、
<tex>
\iint \triangle G dS &= \dfrac{1}{2 \pi} \iint \triangle ...
&= -1 \tag{##}
</tex>
となり、確かに
<tex>
\triangle G(r) = -\delta(r) \tag{##}
</tex>
が確認できました。
今日はここまで。お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2015-10-08@@
@@category:物理数学@@
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