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内積空間
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この記事の内容は、ここまで考えてきた双対基底や、共変ベク...
今すぐに大事なのは『ベクトル $\bm{A}$ の長さは $|\bm{A}|=...
長さとは?
---------------------------------------------------------...
復習になりますが、ベクトル空間とは、ベクトルの満たす加法...
しかし、まだこれだけでは幾何学を始めるのに十分ではありま...
.. [*] 私たちの日常の感覚から言うと、何か物が二つあれば「...
少し脇道に逸れますが、 *位相* という概念を紹介しておきま...
.. figure:: Joh-Topo23.gif
この結び目、どんなに引っ張っても輪っかにはならない。
位相だけ入った世界で考える幾何学の分野を「位相幾何学」と...
.. [*] 直観的イメージとしては、位相幾何は伸縮自在な物質で...
数学者にとっては、空間に位相が入っていないとなかなか幾何...
.. figure:: Joh-Topo1.gif
新品のパソコンに、必要なソフトを順番にインストールしてい...
さて、私達は幾何ベクトルを使って(普通の)幾何学をするこ...
.. [*] 普通の人の感覚では、紙の上に線を引けば誰がどう見て...
距離
---------------------------------------------------------...
集合の元を二つとってきて、その元 $x,y$ に対して次の性質を...
1. $\rho (x,y) \ge 0 \ \ \ (\rho (x,y)=0 \ \Leftrightar...
2. $\rho (x,y) = \rho (y,x)$
3. $\rho (x,z) \le \rho (x,y) + \rho (y,z)$
繰り返しになりますが、集合の元は何だか分かりませんから、...
内積
---------------------------------------------------------...
まず、私達が普通に知っている内積によって、 *ベクトル空間...
<tex>
|\bm{A}| = \sqrt{\bm{A} \cdot \bm{A}} \tag{1}
</tex>
すると、式 $(1)$ の定義を使い、ベクトル空間の二つの元 $\b...
<tex>
\rho (\bm{x},\bm{y}) = |\bm{x} - \bm{y}| \tag{2}
</tex>
距離関数 $\rho (\bm{x},\bm{y})$ が、距離関数の定義 $1.$ ...
高校数学のベクトル分野では、『ベクトルに長さがあること』...
今までの議論について来た人は、高校数学と現代数学が、全く...
内積の概念を拡張
---------------------------------------------------------...
私達の考えていたベクトル空間は抽象的な集合で、幾何ベクト...
ただし、ベクトル空間の元には関数、演算子、行列など、色々...
.. [*] このように、内積という演算を通じて距離の概念を一般...
問題は内積の方です。一般的に、ベクトル空間の二つの元 $x,y...
【一般化された内積】
1. 線形性がある。 $(\alpha x + \beta y)\cdot z=\alpha x\c...
2. 対称性がある。 $x\cdot y=y\cdot x$
3. 正定値性がある。 $x\cdot x\geq 0,\ \ \ x\cdot x=0\ \...
内積の定義されているベクトル空間を *内積空間* と呼びます。
.. [*] 一番目の性質について内積を二変数の関数 $f(x,z)$ と...
角度
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
三番目の定義より、 $-|\bm{A}||\bm{B}| \le \bm{A} \cdot \b...
<tex>
\bm{A} \cdot \bm{B} = |\bm{A}||\bm{B}| \cos \theta \tag{3}
</tex>
このようにして、内積の定義とシュヴァルツの不等式を通じて ...
例1
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
ベクトル空間の元が関数の場合、次の演算 $\{ f,g \} $ は内...
<tex>
\displaystyle \{ f,g\} =\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx \tag{4}
</tex>
また、ノルムを $\displaystyle \big\Arrowvert f\big\Arrowv...
一般的に、関数の間の角度と言われても意味がよく分かりませ...
<tex>
\displaystyle \{ f,g\} =\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0\ \Left...
</tex>
単なる言葉の借用ですから、直交と言っても何かが直角になっ...
.. [*] このように、内積を導入すると距離と角度という概念を...
内積の直観的理解
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
よく使うので関数の内積を例に出しましたが、他にも色々なベ...
内積を関数と考えることも出来ます。二つのベクトルを放り込...
.. [*] 最初原稿を書いたとき、『真横を向いていれば零』の部...
内積をさらに一般のベクトル空間にも拡張するとき、例えば関...
.. important::
内積は、二つのベクトルがどれくらい似ているかを示す。
。
.. [*] フーリエ展開を勉強すると、関数の集合をベクトルのよ...
いまのうちに、内積、距離、距離空間などの知識を整理してお...
.. figure:: Joh-InnerDotEx2.gif
いま内積占いが大流行だ。
まとめ(おさらい)
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
ベクトル空間は、ベクトルの加法とスカラー積の性質を抽象化...
ただし、距離空間の定義は一般にもっと抽象的で、私達が言葉...
抽象的な数学の立場では、集合に距離があるかどうかは自明で...
一般のベクトル空間にも、内積を定義できました。内積が決ま...
一般に、距離や角度を使って普通の幾何学をやりたければ、集...
.. [*] 内積の重要性はベクトル空間に距離を入れることにあり...
.. _ブルバキ: http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%8...
.. _位相空間 : http://www12.plala.or.jp/ksp/welcome/phase...
.. _双線形関数: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalys...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-07-15@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: InnerdotSpace@@
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内積空間
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この記事の内容は、ここまで考えてきた双対基底や、共変ベク...
今すぐに大事なのは『ベクトル $\bm{A}$ の長さは $|\bm{A}|=...
長さとは?
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復習になりますが、ベクトル空間とは、ベクトルの満たす加法...
しかし、まだこれだけでは幾何学を始めるのに十分ではありま...
.. [*] 私たちの日常の感覚から言うと、何か物が二つあれば「...
少し脇道に逸れますが、 *位相* という概念を紹介しておきま...
.. figure:: Joh-Topo23.gif
この結び目、どんなに引っ張っても輪っかにはならない。
位相だけ入った世界で考える幾何学の分野を「位相幾何学」と...
.. [*] 直観的イメージとしては、位相幾何は伸縮自在な物質で...
数学者にとっては、空間に位相が入っていないとなかなか幾何...
.. figure:: Joh-Topo1.gif
新品のパソコンに、必要なソフトを順番にインストールしてい...
さて、私達は幾何ベクトルを使って(普通の)幾何学をするこ...
.. [*] 普通の人の感覚では、紙の上に線を引けば誰がどう見て...
距離
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集合の元を二つとってきて、その元 $x,y$ に対して次の性質を...
1. $\rho (x,y) \ge 0 \ \ \ (\rho (x,y)=0 \ \Leftrightar...
2. $\rho (x,y) = \rho (y,x)$
3. $\rho (x,z) \le \rho (x,y) + \rho (y,z)$
繰り返しになりますが、集合の元は何だか分かりませんから、...
内積
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まず、私達が普通に知っている内積によって、 *ベクトル空間...
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|\bm{A}| = \sqrt{\bm{A} \cdot \bm{A}} \tag{1}
</tex>
すると、式 $(1)$ の定義を使い、ベクトル空間の二つの元 $\b...
<tex>
\rho (\bm{x},\bm{y}) = |\bm{x} - \bm{y}| \tag{2}
</tex>
距離関数 $\rho (\bm{x},\bm{y})$ が、距離関数の定義 $1.$ ...
高校数学のベクトル分野では、『ベクトルに長さがあること』...
今までの議論について来た人は、高校数学と現代数学が、全く...
内積の概念を拡張
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私達の考えていたベクトル空間は抽象的な集合で、幾何ベクト...
ただし、ベクトル空間の元には関数、演算子、行列など、色々...
.. [*] このように、内積という演算を通じて距離の概念を一般...
問題は内積の方です。一般的に、ベクトル空間の二つの元 $x,y...
【一般化された内積】
1. 線形性がある。 $(\alpha x + \beta y)\cdot z=\alpha x\c...
2. 対称性がある。 $x\cdot y=y\cdot x$
3. 正定値性がある。 $x\cdot x\geq 0,\ \ \ x\cdot x=0\ \...
内積の定義されているベクトル空間を *内積空間* と呼びます。
.. [*] 一番目の性質について内積を二変数の関数 $f(x,z)$ と...
角度
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三番目の定義より、 $-|\bm{A}||\bm{B}| \le \bm{A} \cdot \b...
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\bm{A} \cdot \bm{B} = |\bm{A}||\bm{B}| \cos \theta \tag{3}
</tex>
このようにして、内積の定義とシュヴァルツの不等式を通じて ...
例1
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ベクトル空間の元が関数の場合、次の演算 $\{ f,g \} $ は内...
<tex>
\displaystyle \{ f,g\} =\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx \tag{4}
</tex>
また、ノルムを $\displaystyle \big\Arrowvert f\big\Arrowv...
一般的に、関数の間の角度と言われても意味がよく分かりませ...
<tex>
\displaystyle \{ f,g\} =\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0\ \Left...
</tex>
単なる言葉の借用ですから、直交と言っても何かが直角になっ...
.. [*] このように、内積を導入すると距離と角度という概念を...
内積の直観的理解
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よく使うので関数の内積を例に出しましたが、他にも色々なベ...
内積を関数と考えることも出来ます。二つのベクトルを放り込...
.. [*] 最初原稿を書いたとき、『真横を向いていれば零』の部...
内積をさらに一般のベクトル空間にも拡張するとき、例えば関...
.. important::
内積は、二つのベクトルがどれくらい似ているかを示す。
。
.. [*] フーリエ展開を勉強すると、関数の集合をベクトルのよ...
いまのうちに、内積、距離、距離空間などの知識を整理してお...
.. figure:: Joh-InnerDotEx2.gif
いま内積占いが大流行だ。
まとめ(おさらい)
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ベクトル空間は、ベクトルの加法とスカラー積の性質を抽象化...
ただし、距離空間の定義は一般にもっと抽象的で、私達が言葉...
抽象的な数学の立場では、集合に距離があるかどうかは自明で...
一般のベクトル空間にも、内積を定義できました。内積が決ま...
一般に、距離や角度を使って普通の幾何学をやりたければ、集...
.. [*] 内積の重要性はベクトル空間に距離を入れることにあり...
.. _ブルバキ: http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%8...
.. _位相空間 : http://www12.plala.or.jp/ksp/welcome/phase...
.. _双線形関数: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalys...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-07-15@@
@@category: ベクトル解析@@
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