記事ソース/電磁場のローレンツ変換
をテンプレートにして作成
査読
rst2hooktail
進行表
執筆中
かぎマニュ
物理のかぎプロジェクト
トップ
最近の更新
ヘルプ
開始行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
電磁場のローレンツ変換
=========================================================...
この記事では速度と力のローレンツ変換を既知として、
電場 $\bm{E}$ と磁束密度 $\bm{B}$ のローレンツ変換を求め...
想定する状況と前提知識
=================================
速度のローレンツ変換
--------------------------
まず、慣性系の一つK系を考えます。
次にx軸方向に $V$ の速度で動く別の慣性系K'系を考えます。
また、粒子がK系では $\bm{v}=(v_x,v_y,v_z)$ で動いているも...
K'系ではその粒子が $\bm{v}^\prime = (v_x^\prime,v_y^\prim...
この時、 $\Gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}}$ として、
<tex>
v_x^\prime &= \dfrac{v_x-V}{1-\dfrac{v_xV}{c^2}} \tag{##}...
v_y^\prime &= \dfrac{v_y}{\Gamma \left( 1-\dfrac{v_xV}{c^...
v_z^\prime &= \dfrac{v_z}{\Gamma \left( 1-\dfrac{v_xV}{c^...
</tex>
の関係があります。
力のローレンツ変換
--------------------------
運動方程式は、次の様になります。
<tex>
\dfrac{d\bm{p}}{dt} = \bm{F} \tag{##}
</tex>
ただし、 $\bm{p}$ は四元運動量の空間成分、 $\bm{F}$ は力...
K系での粒子の速度を $\bm{v}$ , $\gamma=\dfrac{1}{1-v^2/c^...
<tex>
p^\mu = (E/c,\bm{p}) = (m \gamma c, m \gamma v_x, m \gamm...
</tex>
となります。K'系で力を $\bm{F}^\prime$
<tex>
F_x^\prime &= \dfrac{F_x-\dfrac{V}{c^2} \bm{v} \cdot \bm{...
F_x^\prime &= \dfrac{F_y}{\Gamma \left( 1-\dfrac{v_xV}{c^...
F_x^\prime &= \dfrac{F_z}{\Gamma \left( 1-\dfrac{v_xV}{c^...
</tex>
と言う関係があります。
電磁場のローレンツ変換
==============================
x軸方向の成分の変換
---------------------------
さて、K系、K'系を同様に設定して、電荷 $q$ の荷電粒子 $A$ ...
<tex>
\bm{F} = q(\bm{E}+\dfrac{\bm{v}}{c} \times \bm{B}) \tag{##}
</tex>
です。物理法則は不変なはずなので、
これをK'系で見ると、
<tex>
\bm{F}^\prime = q(\bm{E}^\prime+\dfrac{\bm{v}^\prime}{c} ...
</tex>
となります。式 $(6)$ から力のの変換則は $\bm{v} \cdot \bm...
<tex>
F_x^\prime
&= \dfrac{F_x-\dfrac{v_xV}{c^2}F_x}{1-\dfrac{v_xV}{c^2}} \\
&= F_x
\tag{##}
</tex>
となるので、
<tex>
q E_x^\prime = q E_x \tag{##}
</tex>
より、
<tex>
E_x^\prime = E_x \tag{##}
</tex>
となります。x軸方向については $B_x^\prime$ と $B_x$ の関...
どう求めて良いか分かりませんでした。荷電粒子は運動方向の...
参考文献には
<tex>
B_x^\prime = B_x \tag{##}
</tex>
とあります。
z軸方向の成分の変換
---------------------------
まずは、 $\alpha=\dfrac{v_x}{c},\beta=\dfrac{V}{c}$ とし...
<tex>
F_z^\prime = \dfrac{\sqrt{1-\beta^2}}{1 - \alpha \beta} F...
</tex>
となります。よって、
<tex>
q \left( E_z^\prime + \dfrac{v_x^\prime}{c} B_y^\prime \r...
= q \dfrac{\sqrt{1-\beta^2}}{1 - \alpha \beta} \left(E_z ...
</tex>
となり、式 $(1)$ から、
<tex>
\dfrac{v_x^\prime}{c} = \dfrac{\alpha - \beta}{1 - \alpha...
</tex>
ですから、式 $(16)$ を書き直すと、
<tex>
E_z^\prime + \dfrac{\alpha - \beta}{1 - \alpha \beta} B_y...
= \dfrac{\sqrt{1-\beta^2}}{1 - \alpha \beta} \left(E_z + ...
</tex>
となります。
ここで、式 $(18)$ の自由度を落とすため、 $v_x = V \ \ (\a...
すると、
<tex>
E_z^\prime
&= \dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \left(E_z + \beta B_y \rig...
&= \Gamma \left(E_z + \beta B_y \right) \tag{##}
</tex>
が得られます。(ここでさりげなく $\alpha$ を $\beta$ に置...
<tex>
E_z^\prime + \dfrac{\alpha - \beta}{1 - \alpha \beta} B_y...
&= \dfrac{\sqrt{1-\beta^2}}{1 - \alpha \beta} \left(E_z +...
&= \Gamma \dfrac{1-\beta^2}{1 - \alpha \beta} \left(E_z +...
&= \Gamma \dfrac{1-\alpha \beta +\alpha \beta - \beta^2}{...
&= \Gamma \left(E_z + \alpha B_y \right) + \Gamma \dfrac{...
&= \Gamma \left(E_z + \beta B_y + (\alpha - \beta) B_y \r...
&= \Gamma \left(E_z + \beta B_y \right) + \Gamma \dfrac{\...
&= \Gamma \left(E_z + \beta B_y \right) + \dfrac{\alpha ...
</tex>
ここで、 $E_z^\prime = \Gamma \left(E_z + \beta B_y \righ...
<tex>
B_y^\prime = \Gamma \left(B_y + \beta E_z \right) \tag{##}
</tex>
が求まりました。
y軸方向も同様に求められます。以上をまとめると、
<tex>
E_x^\prime &= E_x \\
E_y^\prime &= \Gamma \left( E_y - \dfrac{V}{c} B_z \right...
E_y^\prime &= \Gamma \left( E_z + \dfrac{V}{c} B_y \right...
B_x^\prime &= B_x \\
B_y^\prime &= \Gamma \left( B_y + \dfrac{V}{c} E_z \right...
B_y^\prime &= \Gamma \left( B_z - \dfrac{V}{c} E_y \right...
</tex>
となります。これは $x$ 軸方向の運動でしたから、
一般には、運動方向に平行な成分を $\parallel$ 、垂直な成分...
<tex>
\bm{E}_{\parallel}^\prime &= \bm{E}_{\parallel} \\
\bm{E}_{\perp}^\prime &= \Gamma \left( \bm{E}_{\perp} + ...
\bm{B}_{\parallel}^\prime &= \bm{B}_{\parallel} \\
\bm{B}_{\perp}^\prime &= \Gamma \left( \bm{B}_{\perp} - ...
</tex>
となります。今日はここまで。お疲れさまでした。
@@reference: 高原文郎,特殊相対論,培風館,2006,p38-p39,4563...
@@author:クロメル@@
@@accept:2019-10-28@@
@@category:電磁気学@@
@@id:LorentzTransformationOfEMF@@
終了行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
電磁場のローレンツ変換
=========================================================...
この記事では速度と力のローレンツ変換を既知として、
電場 $\bm{E}$ と磁束密度 $\bm{B}$ のローレンツ変換を求め...
想定する状況と前提知識
=================================
速度のローレンツ変換
--------------------------
まず、慣性系の一つK系を考えます。
次にx軸方向に $V$ の速度で動く別の慣性系K'系を考えます。
また、粒子がK系では $\bm{v}=(v_x,v_y,v_z)$ で動いているも...
K'系ではその粒子が $\bm{v}^\prime = (v_x^\prime,v_y^\prim...
この時、 $\Gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}}$ として、
<tex>
v_x^\prime &= \dfrac{v_x-V}{1-\dfrac{v_xV}{c^2}} \tag{##}...
v_y^\prime &= \dfrac{v_y}{\Gamma \left( 1-\dfrac{v_xV}{c^...
v_z^\prime &= \dfrac{v_z}{\Gamma \left( 1-\dfrac{v_xV}{c^...
</tex>
の関係があります。
力のローレンツ変換
--------------------------
運動方程式は、次の様になります。
<tex>
\dfrac{d\bm{p}}{dt} = \bm{F} \tag{##}
</tex>
ただし、 $\bm{p}$ は四元運動量の空間成分、 $\bm{F}$ は力...
K系での粒子の速度を $\bm{v}$ , $\gamma=\dfrac{1}{1-v^2/c^...
<tex>
p^\mu = (E/c,\bm{p}) = (m \gamma c, m \gamma v_x, m \gamm...
</tex>
となります。K'系で力を $\bm{F}^\prime$
<tex>
F_x^\prime &= \dfrac{F_x-\dfrac{V}{c^2} \bm{v} \cdot \bm{...
F_x^\prime &= \dfrac{F_y}{\Gamma \left( 1-\dfrac{v_xV}{c^...
F_x^\prime &= \dfrac{F_z}{\Gamma \left( 1-\dfrac{v_xV}{c^...
</tex>
と言う関係があります。
電磁場のローレンツ変換
==============================
x軸方向の成分の変換
---------------------------
さて、K系、K'系を同様に設定して、電荷 $q$ の荷電粒子 $A$ ...
<tex>
\bm{F} = q(\bm{E}+\dfrac{\bm{v}}{c} \times \bm{B}) \tag{##}
</tex>
です。物理法則は不変なはずなので、
これをK'系で見ると、
<tex>
\bm{F}^\prime = q(\bm{E}^\prime+\dfrac{\bm{v}^\prime}{c} ...
</tex>
となります。式 $(6)$ から力のの変換則は $\bm{v} \cdot \bm...
<tex>
F_x^\prime
&= \dfrac{F_x-\dfrac{v_xV}{c^2}F_x}{1-\dfrac{v_xV}{c^2}} \\
&= F_x
\tag{##}
</tex>
となるので、
<tex>
q E_x^\prime = q E_x \tag{##}
</tex>
より、
<tex>
E_x^\prime = E_x \tag{##}
</tex>
となります。x軸方向については $B_x^\prime$ と $B_x$ の関...
どう求めて良いか分かりませんでした。荷電粒子は運動方向の...
参考文献には
<tex>
B_x^\prime = B_x \tag{##}
</tex>
とあります。
z軸方向の成分の変換
---------------------------
まずは、 $\alpha=\dfrac{v_x}{c},\beta=\dfrac{V}{c}$ とし...
<tex>
F_z^\prime = \dfrac{\sqrt{1-\beta^2}}{1 - \alpha \beta} F...
</tex>
となります。よって、
<tex>
q \left( E_z^\prime + \dfrac{v_x^\prime}{c} B_y^\prime \r...
= q \dfrac{\sqrt{1-\beta^2}}{1 - \alpha \beta} \left(E_z ...
</tex>
となり、式 $(1)$ から、
<tex>
\dfrac{v_x^\prime}{c} = \dfrac{\alpha - \beta}{1 - \alpha...
</tex>
ですから、式 $(16)$ を書き直すと、
<tex>
E_z^\prime + \dfrac{\alpha - \beta}{1 - \alpha \beta} B_y...
= \dfrac{\sqrt{1-\beta^2}}{1 - \alpha \beta} \left(E_z + ...
</tex>
となります。
ここで、式 $(18)$ の自由度を落とすため、 $v_x = V \ \ (\a...
すると、
<tex>
E_z^\prime
&= \dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \left(E_z + \beta B_y \rig...
&= \Gamma \left(E_z + \beta B_y \right) \tag{##}
</tex>
が得られます。(ここでさりげなく $\alpha$ を $\beta$ に置...
<tex>
E_z^\prime + \dfrac{\alpha - \beta}{1 - \alpha \beta} B_y...
&= \dfrac{\sqrt{1-\beta^2}}{1 - \alpha \beta} \left(E_z +...
&= \Gamma \dfrac{1-\beta^2}{1 - \alpha \beta} \left(E_z +...
&= \Gamma \dfrac{1-\alpha \beta +\alpha \beta - \beta^2}{...
&= \Gamma \left(E_z + \alpha B_y \right) + \Gamma \dfrac{...
&= \Gamma \left(E_z + \beta B_y + (\alpha - \beta) B_y \r...
&= \Gamma \left(E_z + \beta B_y \right) + \Gamma \dfrac{\...
&= \Gamma \left(E_z + \beta B_y \right) + \dfrac{\alpha ...
</tex>
ここで、 $E_z^\prime = \Gamma \left(E_z + \beta B_y \righ...
<tex>
B_y^\prime = \Gamma \left(B_y + \beta E_z \right) \tag{##}
</tex>
が求まりました。
y軸方向も同様に求められます。以上をまとめると、
<tex>
E_x^\prime &= E_x \\
E_y^\prime &= \Gamma \left( E_y - \dfrac{V}{c} B_z \right...
E_y^\prime &= \Gamma \left( E_z + \dfrac{V}{c} B_y \right...
B_x^\prime &= B_x \\
B_y^\prime &= \Gamma \left( B_y + \dfrac{V}{c} E_z \right...
B_y^\prime &= \Gamma \left( B_z - \dfrac{V}{c} E_y \right...
</tex>
となります。これは $x$ 軸方向の運動でしたから、
一般には、運動方向に平行な成分を $\parallel$ 、垂直な成分...
<tex>
\bm{E}_{\parallel}^\prime &= \bm{E}_{\parallel} \\
\bm{E}_{\perp}^\prime &= \Gamma \left( \bm{E}_{\perp} + ...
\bm{B}_{\parallel}^\prime &= \bm{B}_{\parallel} \\
\bm{B}_{\perp}^\prime &= \Gamma \left( \bm{B}_{\perp} - ...
</tex>
となります。今日はここまで。お疲れさまでした。
@@reference: 高原文郎,特殊相対論,培風館,2006,p38-p39,4563...
@@author:クロメル@@
@@accept:2019-10-28@@
@@category:電磁気学@@
@@id:LorentzTransformationOfEMF@@
ページ名:
Modified by
物理のかぎプロジェクト
PukiWiki 1.4.6
Copyright © 2001-2005
PukiWiki Developers Team
. License is
GPL
.
Based on "PukiWiki" 1.3 by
yu-ji
Powered by PHP 5.3.29 HTML convert time to 0.002 sec.